6.1 Energia układów wyspowych.
Energię określamy jako całkę względem 3-wymiarowego obszaru, która to moŜe być przekształcona, za pomocą twierdzenia Gaussa w całkę względem 2-wymiarowej powierzchni otaczającej źródło. Wynika stąd, Ŝe dla przestrzennie zamkniętego świata energia całkowita jest równa zeru. Z tej przyczyny zastanowimy się nad modelami otwartymi asymptotycznie płaskimi, poniewaŜ w tym przypadku pojęcie energii całkowej jest sensowne.
Uściślijmy pojęcie „czasoprzestrzeni asymptotycznie płaskiej”. Szczegółowa analiza asymptotycznej struktury
czasoprzestrzeni wprowadzona jest w rozdziale 7, teraz wystarczające będzie podejście nieco naiwne, ale wystarczająco dokładne dla naszych celów, oparte na asymptotycznym układzie współrzędnych kartezjańskich.
W takim układzie współrzędnych 4-wymiarowa metryka oraz jej pochodne przy r →∞ zachowują się jak : gµν - ηµν = O(1/r) ; gµν, α = O( 1/r2 ) ; Γµ
νλ = O( 1/r2 ) (6.1)
Dla metryki 3-wymiarowej bij , pędów πij , funkcji tempa N oraz przesunięcia Ni słuszna jest następująca asymptotyka :
gij - ηij = O(1/r) ; πij = O( 1/r2 ) (6.2)
N – 1 = O(1/r) (6.2)
N, k = O( 1/r2 ) ; Ni = O(1/r) (6.2)
Ni, k = O( 1/r2 ) ; Γi
jk = O( 1/r2 ) (6.2)
Warunki te nie ograniczają przekształceń współrzędnościowych x’µ = fµ(x), w skończonym obszarze jednak funkcje asymptotyczne fµ powinny mieć postać [137] :
fµ (x) = Λµ
ν xν + aµ + O(1/r) (6.3)
∂ν fµ (x) = Λµ
ν + O(1/r2 ) (6.3)
∂α ∂β fµ (x) = O( 1/r2+ ε ) , ε > 0 (6.3)
gdzie : Λµ
ν – macierz przekształcenia Lorentza, aµ
– dowolny stały wektor.
Dla przekształceń infinitezymalnych metryki oraz współczynników koneksji ( symboli Christoffela ) [ zobacz (1.11) ] :
δθ gµν = - £θ gµν = -gµν, ρ θρ - gµα θα, ν - gνα θρ,µ (6.4)
δθΓλ
µν = - £θΓλ
µν = -∇ν ∇µ θλ - θρRλµρν (6.4)
gdzie : θµ = ωµν xν + aµ ; ωµν = Λµ ν - δµ
ν ; aµ – wielkości infinitezymalne.
Postępując za L.D. Faddewem [137], oznaczymy przez G nieskończenie parametryczną grupę, generowaną przez powyŜsze przekształcenia. W grupie tej istnieje podgrupa normalna G0 generowana przez przekształcenia postaci (6.4), toŜsamościowymi w przestrzennej nieskończoności. Grupa ilorazowa : P = G/G0 pokrywa się z grupą Poincare’go.
Grupa G jest grupą symetrii działania i równań ruchu, grupa G0 jest grupą cechowania w asymptotycznej czasoprzestrzeni. Zatem, obserwable określone są z dokładnością do przekształceń naleŜących do grupy G0.
Przeanalizujemy podejście Yorka dotyczącego konforemnych własności energii [95]. WyraŜenie ADM dla energii (2.45) zaleŜy w sposób jawny tylko od wewnętrznej geometrii przekroju Σt ,a nie jawnie od wewnętrznej geometrii πij
( przez rozwiązanie równań więzów ). Porównajmy energię określoną przez róŜne warunki początkowe dla których geometrię wewnętrzne są zaleŜne konforemnie, bij = φ4 bij. Wtedy z (2.45) wynika, Ŝe :
E = E0 – (4/κ)
∮
∇o φ ▲dso ∞lub
E - E0 = - (4/κ)
∮
∇o φ ▲dso ∞Stąd za pomocą twierdzenia Gaussa otrzymujemy :
E - E0 = - (4/κ)
∫
∇o φ √bo d3x (6.5)Σt
W przypadku płaskiej metryki tła, energia całkowa jest równa :
E = - (4/κ)
∫
∇o φ √bo d3x (6.6)Σt
Zatem, w definicji energii według Yorka wymagamy, aby geometria czasoprzestrzeni była asymptotycznie konforemnie-płaską. Jest słabszy warunek niŜ wymaganie geometrii asymptotycznie płaskiej.
Rozpatrzmy maksymalny przekrój Σt , który określony jest przez warunek xij = 0 o topologii R3 × T. ZałóŜmy, Ŝe brak jest źródeł asymptotycznych. W tym przypadku µij = 0 [ zobacz definicję µij we wzorze (2.46)], a z (2.46) wynika, Ŝe bij spełnia konformene równanie Killinga :
£w bij = ∇i Wj + ∇j Wi = 2/3 ( ∇L WL )bij (6.7)
Więz hamiltonowski (2.47) przyjmuje postać :
8 ∇o φ = - 2κ φ5ρ (6.8)
gdzie : φ → ∞ w przestrzennej nieskończoności,
dla energii całkowitej otrzymujemy zatem następujące wyraŜenie :
E =
∫
φ-1 √b ρ d3x (6.9)Σt
Łatwo zauwaŜyć, Ŝe (6.6)przechodzi w newtonowską definicję energii grawitacyjnej układu, jeśli uwzględnić zachowanie asymptotyczne φ : φ ≈ 1 – ½ Φ , gdzie : Φ potencjał newtonowski
E = (1/4π)
∫
∆Φ dV (6.10)Rola całek powierzchniowch w określeniu energii. Po raz pierwszy najpełniejsze badanie roli dywergencji w zasadzie wariacyjnej zostało przeprowadzone w pracach Regge’go i Teitelboim’a [113]. ( później analogiczne badanie zostało wykonane przez Gibbonsa i Hawkinga ) Ich analiza oparta była na wymaganiu inwariantności działania względem grupy asymptotycznych symetrii G, określonej wcześniej. Rozpatrzmy wykorzystywany zwykle w OTW lagranŜjan :
Ŧ = √-g R. Po uwzględnieniu warunków asymptotycznych (6.1), (6.3) : δŦ = - £θ Ŧ = - ( £θα ),α = O( 1/r3 )
Skąd po scałkowaniu ( z wykorzystaniem twierdzenia Gaussa )wynika, Ŝe δθ I ≠ 0 tj. działanie nie jest inwariantne względem przekształceń z grupy G. Wywód ten jest słuszny równieŜ dla podejścia ADM. Inwariantność działania w tym
oraz innych przypadkach związana jest z obecnością w 3-wymiarowej krzywiźnie członów liniowych względem symboli Christoffela, które mogą być wydzielone w postaci dywergencji. Odrzucenie dywergencji pozwala przejść do
lagranŜjanu, zapewniającego inwariantność działania względem grupy symetrii asymptotycznych.
Znajdziemy teraz zmianę funkcji Hamiltona przy wariowaniu zmiennych kanonicznych :
δH =
∫
d3x [ ( 3δH/δbij ) δbij + ( 3δH/δπij ) δπij ] -∮
dsp Gijkp ( Nδ bij |k – N, k δbij ) --
∫
dsp [ 2Nk δπkp + ( 2Nk πjp – Np πij ) δbij ] (6.11)Gijkp := ½ √b ( bik bjp – bip bjk – 2bij bkp ) (6.12)
Wykorzystując warunki asymptotyczne (6.2) oraz równania pola, dla wariacji działania otrzymujemy wyraŜenie o postaci :
2κδI = -
∫
dt∮
dsp Gijkp δbij | k (6.13)Pierwsza część tego wyraŜenia pokrywa się z (2.45), jeśli załoŜyć, Ŝe : δbij = bij - ηij . Na podstawie tego Regge i Teitelboim wnioskują o konieczności odjęcia dywergencji z hamiltonianu i zakładają :
H~ = H + E[bij ] (6.14)
Gdzie :
E[bij ] =
∮
dsp ( bik, i – bij, k ) (6.15)WyraŜenie to po podzielniu przez 2κ pokrywa się z definicją energii według ADM.
W takim razie zarówno analiza Yorka jak i analiza Regge’go i Teitelboim’a prowadzi do wniosku o konieczności odjęcia dywergencji (6.15) przy definiowaniu energii. ZauwaŜmy równieŜ, Ŝe energia ADM pokrywa się z jej wyraŜeniem poprzez pseudotensor energii-pędu Landaua-Lifszyca.
Podstawowym niedostatkiem energii ADM jest to, Ŝe jej wyraŜenie jest jawnie niekowariantne i wymaga pozostawania w klasie współrzędnych asymptotycznie kartezjańskich. Kowariantne wyraŜenie dla energii moŜna otrzymać jeśli załoŜymy, Ŝe przestrzeń jest asyptotycznie konformenie-płaska. W tym przypadku z (6.7) wynika, Ŝe :
δw bij = - 2/3 bij∇a Wa = -2 Φbij (6.16)
współczynnik 2 wprowadzono dla wygody. Funkcja Φ asymptotycznie zachowuje się jak Φ → 1 ( r →∞ ).
Podstawiając (6.16) do (6.13) , znajdujemy : δI = -(2/κ)
∫
dt∫
√b ∇ Φ▲dsAby zatem działanie było inwariantne względem grupy przekształceń konforemnych – grupy asymptotycznych symetrii ( dowód tego, Ŝe grupa przekształceń konforemnych jest grupą symetrii asymptotycznych odłoŜymy do rozdziału 7 ) koniecznym jest dodanie do funkcji Hamiltona całki postaci :
E = (a/κ)
∫
d3x √b ∆Φ = (a/κ)∫
√b ∆Φ▲dsGdzie współczynnik a określamy z wymogu inwariantności działania względem przekształceń (6.16) i jest on równy 2.
Ostatecznie dla funkcji Hamiltona otrzymujemy wyraŜenie o postaci :
H~ = H + E (Φ )
E (Φ ) = (2/κ)
∮
√b ∆Φ▲ds (6.17)∞
Łatwo zrozumieć, Ŝe moŜna je w trywialny sposób uogólnić na przypadek dowolnego rozczepienia czasoprzestrzeni za pomocą cięcia Σt :
E (Φ ) = (2/κ)
∫
∆Φ dV (6.18)Σt.
Nasze wyraŜenie dla energii róŜni się od wyraŜenia ADM i Yorka (6.5). Jak wyjaśnimy w paragrafie 6.3 i 6.4 pokrywa się ono z określeniem energii według Komara-Piranie’go ( zobacz paragraf 3.4 ) i tym samym ustanowiony zostaje związek między energią ADM i jedno indeksowymi wielkościami zachowanymi.
6.2 Twierdzenie Noether i formalizm Lie-monadowy.
Podejście lagranŜjanowskie. Zastosujemy twierdzenie Noether w postaci, wskazanej w paragrafie 3.1 w ramach formalizmu Lie-monadowego. Niech lagranŜajn zaleŜny będzie równieŜ od drugich pochodnych :
Ŧ = Ŧ ( AB- , AB- ,α- , AB- ,α-, β- , £ξ AB- )
( taką postać ma np. lagranŜjan pola grawitacyjnego w sformułowaniu Lie-monadowym ).
Z wymogu jego inwariantności względem infinitezymalnych translacji, wzdłuŜ pola wektorowego ξ otrzymujemy słabe prawo zachowania [85, 87 ] :
£ξ℘ + æα,α = 0 (6.19)
gdzie : ℘ -to hamiltonian (1.98), a :
æα = ( 3δŦ/ δAB- ,α- ) £ξ AB- + ( ∂Ŧ/ ∂AB- ,α-, β- ) £ξ AB-, β- (6.20) - jest gęstością wektora Poynting'a.
Przy analizie twierdzenia Noether dla przestrzennych translacji wzdłuŜ pola wektorowego η, g(η, ξ ) =0 dochodzimy do W przypadku kongruencji tworzących dwuparametryczną rodzinę krzywych, pola η i ξ komutują : [ η, ξ ] = 0 i (6.21) moŜemy przepisać następująco :
£ξ P(η) + Tα(η ), α = 0 (6.23)
Dalszą analizę będziemy prowadzić przy załoŜeniu, Ŝe [ η, ξ ] =0. ToŜsamości Noether dla rozpatrywanego przypadku mają postać ( porównaj z formalizmem symetrycznym w rozdziale 3 ) :
( δŦ/ δAB- ) AB-, ρ- + [ ( δŦ/ δAB- ) 3AB |τ
U podstaw definicji gęstości pędu ustanowimy wymóg liniowości względem pola wektorowego η ( wielkość P(η) nie posiada takiej własności ). Z tych wszystkich przedstawionych załoŜeń określimy gęstość pędu w kierunku pola wektorowego η jako :
Þ(η) = [ ( ∂Ŧ/ ∂£ξ AB- ) AB-, ρ - Чα
ρ, α ] ηρ (6.25)
( analogiczna konstrukcja w mechanice ośrodków ciągłych nazywa się gęstością pędu falowego ) Wykorzystując toŜsamości Noether (6.24) i definicje (6.25), moŜemy przepisać (6.23) do postaci :
£ξ Þ(η) + ŧα (η), α = 0 (6.26)
gdzie :
ŧα (η) = 3Љαβ ηβ + pαβ ( 3Чτβ
σ ησ + 2 3Џτλβ σ ησ, λ ) (6.27)
3Љαβ = Љα -β- - gęstość symetrycznego tensora energii-pędu.
Z (6.19) , (6.26) otrzymujemy całkowe prawa zachowania :
£ξ
∫
℘ d3x = -∫
æα dsα (6.28)Σ ∂Σ
£ξ
∫
Þ(η) d3x = -∫
ŧα (η) dsα (6.29)Σ ∂Σ
Nich wektory ei obrazują przestrzenną bazę na Σt. W tym przypadku składowe gęstości pędu pola mają postać : Þi = βji ei i odpowiednie prawa zachowania mają postać ( w przypadku bazy naturalnej wielkości Þi określają składowe współrzędnościowe gęstości pędu pola ) :
£ξ Þi + ŧα
i, α = 0 (6.30)
£ξ
∫
Þi d3x = -∫
ŧαi dsα (6.31)Σ ∂Σ
Istotne jest to, Ŝe względem ogólnych przekształceń współrzędnościowych wielkości Þ(η) ,℘, P(η) zachowują się jak gęstości skalarne o wadze 1, a wielkości ŧα (η), Tα (η) ,æα – jak gęstości wektorowe o wadze 1 ( w przypadku jeśli lagranŜjan jest gęstością skalarną ) zatem otrzymywane prawa zachowania są kowariantne. ZauwaŜmy, Ŝe na Σt przejście od jednej bazy do drugiej dokonuje się według zasady : e’i = αji ej . Zatem dla Þi prawo przekształcenia moŜemy zapisać
następująco : Þ’i = αj
i Þj . Liniowy charakter tego przekształcenia jest waŜny dla uzgodnienia naszych definicji i definicji wprowadzanych w STW.
Podejście hamiltonowskie. W celu uproszczenia, rozpatrzymy przypadek z lagranŜjanem nie zaleŜnym od drugich pochodnych : Ŧ = Ŧ (AB- , AB- ,α- , πB- ). Prawa zachowania energii i pędu mają poprzednią postać, zmieniają się tylko określenia wielkości wchodzących w te prawa :
æα = - ( ∂Ŧ/ δAB- ,α- ) £ξ AB- (6.32)
Þ(η) = ( πB- AB- ,ρ- -Чα
ρ, α ) ηρ (6.32)
Чαρ = πB- 3AB |αρ (6.32)
ZauwaŜmy, Ŝe hamiltonian określony jest z dokładnościa do pochodnej zupełnej po czasie ( pochodnej Liego ) gęstości sklarnej I dywergencji od 3-wymiarowej gęstości. Odpowiada to niejednoznaczności lagranzjanu, dopuszczającego dodanie składowych o postaci :
Џα, α = £ξ Џt + Џα-, α ; Џt = Џα ζα Nich ℘ = ℘0 + Џα
, α , wtedy wyraŜenie dla gęstości wektora Poyntinga przyjmuje postać :
æα = æo α - £ξ Џα- (6.33)
6.3 Analiza konkretnych pól.
Rozpatrzymy teraz zastosowanie twierdzenia Noether do pola elektromagnetycznego i grawitacyjnego.
Hamiltonian swobodnego pola E-M jest równy :
℘ = - (N/2√b ) ( πµπµ + ℑµℑµ )
Z (6.32) dla gęstości wektora Poyntinga i pędu pola znajdujemy :
æα = - (N/2√b ) eαβγ πβ ℑγ (6.34)
Þi (η) = ( 1/N2 )æα ηα (6.35)
Nich płaska fala E-M rozprzestrzenia się w kierunku pola wektorowego θ = ∂/∂u, wtedy :
℘ = - (N/√b ) πµπµ
Stąd po uwzględnieniu związku między polami elektrycznym i magnetycznym w płaskiej fali E-M : æα = ℘θα ; Þ(η) = (1/N2 )℘θα ηα
Prawa zachowania energii i pędu mają postać [ porównaj z (6.19) , (6.26) ] :
(℘λα ), α = 0 (6.36)
( Þ(η) λα ), α = 0 (6.37)
gdzie : λ = ξ + θ – wektor izotropowy.
Przejdziemy teraz do analizy pola grawitacyjnego. Podobnie jak w elektrodynamice, moŜna tu spróbować wydzielić z pośród zmiennych opisujących pole grawitacyjne, zmienne dynamiczne odpowiedzialne za promieniowanie grawitacyjne ( w liczbie 2 ) oraz zmienne analogiczne do składowych podłuŜnych potencjału wektorowego pola elektrycznego oraz zmienne określające „coulombowską część” pola grawitacyjnego. Nasza analiza, dynamicznych charakterystyk pola grawitacyjnego oparta jest na 2+1+1-rozczepieniu czasoprzestrzeni ( zobacz paragraf 1.6 )
Wykorzystując takie rozczepienie, zapiszemy lagranŜajn pola grawitacyjnego następująco :
Ŧg = ( N / √b ) ( σ*µν σ* µν - θ*µν θ* µν ) + √-g [ ½ ( d2 + η2 ) + 2pσ pσ + 2df – 2R – 2Aµ | µ + (2/√b ) £ω (√γ θ ) ] NiezaleŜne stopnie swobody będziemy utoŜsamiali z konforemnie inwariantna 2-wymiarową metryką
γ*µν = γ-1/2 γµν oraz kanonicznie sprzęŜonymi pędami πµν T : πµν T = (∂ Ŧg /∂£ξ γ*µν ) = σ* µν = ( √b/2N) γ* µρ γ* νδ £ξ γ*ρδ
Po uwzględnieniu tych wielkości oraz podstawowych wzorów wprowadzonych w ramach 2+1+1- rozczepienia łatwo zauwaŜyć, Ŝe zaleŜności hamiltonowskie i pędowe mają nastepującą strukturę :
℘dyn + Y0 (x) = 0 (6.38)
Þα- ( γ* , πT ) + Yα- (x)= 0 (6.39)
Gdzie :
℘dyn = ( N / √b ) ( πµνT πT µν + θ* µν θ*µν ) + 2√-g ( pσ pσ – ½ 2R – 2Aµ | µ )
ZauwaŜmy, Ŝe ℘dyn daje prawdziwe równania „ruchu” tylko dla zmiennych niezaleŜnych γ* , πT. Z (6.39) wynika, Ŝe Þ ( γ* , πT ) opisuje gęstość pędu pola grawitacyjnego. W istocie – jeśli obliczyć gęstość pędu pola grawitacyjnego, wykorzystując (6.25) , dla lagranŜjanu równego :
℘dyn = πµνT £ξ γ*µν - ℘dyn
to otrzymane wyraŜenie pokrywa się z Þα- ze wzoru (6.39).
Aby związać ℘dyn z energią, naleŜy zastosować zasadę odpowiedniości z teorią Newtona, dla układów wyspowych w tym przypadku z hamiltonianu powinniśmy otrzymać całkowita masę układu. JednakŜe 2-wymiarowa krzywizna dla takich układów w oddali od źródeł zachowuje się jak 2R = O(1/r2 ) i odpowiednio całka określająca masę jest rozbieŜna.
MoŜemy pozbyć się takiej rozbieŜności za pomocą przekształcenia konforemnego 2-wymiarowej metryki γµν = e2σ γoµν . Wtedy dla 2-wymiarowej krzywizny [164] otrzymujemy :
√γ 2R = √ γo ( 2R + 2∆o σ)
Wprowadzając trójwymiarową dywergencje powyŜsze wyraŜenie moŜemy przepisać następująco : 2R = e-2σ 2R o + (2/√-g ) ( √- go σ, ρ γρσ ), σ - 4e-2σ [ ln (Nk) ], ρ-- σ , ρ--
Odrzucając składowe dywergentne dochodzimy do nowego hamiltonianu postaci :
℘(~) = ( N/ √b) ( πµνT πT µν + θ*µν θ* µν ) + 2√-g ( pα pβ γαβ – Aµ | µ ) + √- go { 4 [ ln (Nk) ], ρ-- σ , ρ-- - Ro } (6.40) PoniewaŜ w wyborze przekształcenia konforemnego 2-wymiarowej metryki istnieje dowolność ( niezaleŜne stopnie swobody opisywane są przez wielkości konforemnie inwariantne ), moŜna zastanowić się nad jednym z cechowań – a konkretnie będziemy zakładali, Ŝe 2-wymiarowa geometria jest płaska. Taki wybór cechowania jest zawsze moŜliwy , poniewaŜ wszystkie 2-wymiarowe czasoprzestrzenie odpowiadają sobie konforemnie [164]. ZauwaŜmy, Ŝe wybór geometrii tła jest analogiczny do cechowania potencjału wektorowego w elektrodynamice.
Przepiszmy (6.40) po uwzględnieniu wybranej geometrii tła do postaci :
℘~
g = ( N/ √b) ( πµνT πT µν + θ*µν θ* µν ) + 2√-g { [ pα pβ + 2 exp ( -2σ)( ln(Nk) ), α σβ ] γαβ – Aµ | µ } (6.41) Znaleziony hamiltonian jest wolny od rozbieŜności dla układów wyspowych jednak energia całkowa jest równa zeru. W tej sytuacji koniecznym jest odwołać się do zasady odpowiedniości. Przypomnijmy, Ŝe nawet w mechanice klasycznej funkcja Hamiltona pokrywa się z energią tylko po odpowiedniej renormalizacji. ( problem ten omówiliśmy juŜ w paragrafie 6.1). Aby otrzymać hamiltonian prowadzący do prawidłowej wartości masy całkowej dla układów wyspowych, dodamy do (6.41) dywergencje z (6.18). Wtedy hamiltonian przyjmie postać :
℘g = ℘~
g + 4√b ∆Φ (6.42)
Przejdźmy zatem do konkretnych przykładów.
Na początek rozpatrzymy pole Schwarzschilda we współrzędnych krzywizny : ds2 = [ 1- (r0 / r)] dt2 - { dr2 / [ 1- (r0 / r)] } - r2dσ2
Wybierzemy naturalne 3+1-rozczepienie czasoprzestrzeni za pomocą przekrojów współrzędnościowych : t = const. ; N = [ 1- (r0 / r)]1/2
Wybierając wektor θµ = δµ1 i odpowiednio k = [ 1- (r0 / r)]1/2 znajdujemy, Ŝe :
℘g = 4√b ∆Φ
Następny krok polega na określeniu funkcji Φ i wektora W, jako rozwiązań równania róŜniczkowego (6.16).
Znajdujemy dla nich : Wµ = Nr θµ , Φ = N. Po uwzględnieniu tych zaleŜności hamiltonian pola grawitacyjnego dla rozwiązania Schwarzschilda moŜemy zapisać następująco :
℘g = 4√b ∆N lub
℘g = 4√b ( NGα ) | α
Stąd po scałkowaniu otrzymujemy masę źródła pola Schwarzschilda E = (2/κ)
∫
[ (- g )1/2 Gα ] ,α d3x = (2/κ)∫
√b Gα dsα = mΣ ∂Σ
WyraŜenie to pokrywa się z definicją masy całkowej wyraŜonej przez jedno indeksowe wielkości zachowane, typu Komara-Piraniego.
Znajdziemy teraz dynamiczne charakterystyki pola grawitacyjnego : gęstość wektora Poynting'a i gęstość pędu.
Wychodząc ze wzorów (6.32), (6.33), (6.42) otrzymujemy :
æα = (2N/ √b ) ( πµνT || ν + παβT θαβ Lµ ) – 2 £ξ ( √-g0 σ ,µ ) – 4 £ξ ( √b∆Φ ) (6.43)
Þ(η) = (2N/ √b ) ( πµνT || ν + παβT θαβ Lµ ) ηµ (6.44)
Niech płaska fala grawitacyjna rozprzestrzenia się z kierunku pola wektorowego θ = ∂/∂u = kL , u – parametr wzdłuŜ kongruencji. ZałoŜymy równieŜ ,Ŝe metryka γµν , N, K – zaleŜne są tylko od czasu opóźnionego t – u ( fala typu Bondiego [ 73] ). W tym przypadku wektor izotropowy λ = ξ + θ jest wektorem Killinga i jak łatwo sprawdzić :
£ξ γµν = 0
Uwzględniając tą zaleŜność i tą okoliczność , Ŝe w rozpatrywanym przypadku : 2 R = ρσ = Aµ = Φ = 0 , πµνT || ν = 0
znajdujemy :
℘g = (2N/ √b ) πµνT πT µν æα = (2N/ √b ) πµνT πT µν θα Z czego wynika, Ŝe :
£ξ ℘g + æα, α = 0 (6.45)
lub
[ (2N/ √b ) πµνT πT µν λα ), α = 0 (6.46)
Analogicznie dla gęstości pędu pola grawitacyjnego znajdujemy wyraŜenie :
Þ(η) = (1/N2 )æα ηα (6.47)
Otrzymane prawa zachowania (6.45), (6.46) moŜna przepisać do postaci : ( £ξ λα
), α = 0 ; [ Þ(η) λα ], α = 0
W tym zapisie dostrzegamy ścisłą analogię z elektrodynamiką [ zobacz (6.36), (6.37) ].
6.4 Newtonowska granica teorii Einsteina.
W klasycznym sformułowaniu grawitacyjnej teorii Newtona, zakłada się ,Ŝe istnieje czas kosmiczny T, zbiór współrzędnych Galileusza ( Kartezjusza ) oraz potencjał newtonowski Φ, spełniający równanie Poissona :
∆Φ = 4πγρ. Cząstki swobodne pod działaniem sił grawitacyjnych poruszają się zgodnie z równaniem : d2xj / dt2 = - ∂Φ/ ∂xj ( j = 1,2, 3 )
Oprócz tego określona jest równieŜ procedura pomiaru : „idealny zegar“ odmierza czas kosmiczny, „idealna linijka“
odmierza długość we współrzędnych Galileusza.
Geometryczna zawartość grawitacyjnej teorii Newtona została po raz pierwszy ujawniona w pracach Cartan’a [53], a następnie w pracy Trautmana i innych ( zobacz [26] ). W tym podejściu zakłada się ,Ŝe ruch cząstek pod działaniem sił grawitacyjnych moŜna rozpatrywać jako ruch po geodezyjnych w zakrzywionej czasoprzestrzeni (* Wykorzystanie idei Caratan’a w celu badania newtonowskiego przedziału OTW za pomocą hiperpowierzchni izotropowych – zobacz [17] *) Przedyskutujemy pewne geometryczne własności czasoprzestrzeni Newtona kierując się pracą Kuchara [60].
Istnieją trzy niezaleŜne struktury : przestrzenna, kontrawariantna metryka g~αβ , α, β = 0, 1, 2, 3 ;
3+1-rozczepienia dokonywane jest za pomocą cięć T = const. , T – czas kosmiczny ; czasowa metryka hαβ oraz symetryczna koneksja ∇. Struktury te spełniają następujące postulaty :
A) Metryka g~αβ jest osobliwa o sygnaturze ( 0, 1, 1, 1 ), metryka czasowa hαβ jest osobliwa o sygnaturze ( 1, 0, 0, 0 ). ZauwaŜmy, Ŝe : hαβ = T, α T, β. Te dwie metryki są wzajemnie ortogonalne : g~αρ hρσ = 0.
B) Koneksja ∇ jest uzgodniona z obiema metrykami tj. : ∇ g = ∇ h = 0 C) Tensor krzywizny koneksji afinicznej posiada następujące własności : Hα [β Rαδ] µν = 0 ; R[ α β γ ]δ = 0
Układ tych aksjomatów dopełnia się załoŜeniem, Ŝe odległości mierzymy „idealnymi linijkami”, czas – „idealnym zegarem”, a cząstki swobodne poruszają się po geodezyjnych.
NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe w newtonowskiej czasoprzestrzeni nie moŜna wprowadzić nieosobliwej metryki
czasoprzestrzennej – moŜna wprowadzić tylko nieosobliwa przestrzenną 3-metrykę. Wynika to z tego, Ŝe w układach współrzędnych Galileusza róŜne od zera składowe koneksji mają postać Γα
00. Proste rozumowanie pokazuje, Ŝe załoŜenie o istnieniu nieosobliwej 4-metryki prowadzi do Rk0L0 ≠ - R0kL0, wynik ten jest sprzeczny z własnościami symetrii tensora Riemanna. Zatem, newtonowska teoria grawitacji opiera się bardziej na strukturze afinicznej
czasoprzestrzeni niŜ na metrycznej. Oprócz tego jak pokazujemy niŜej, załoŜenie o płaskiej 3-wymiarowej przestrzeni ( nieuchronne w podejściu Komara )nie jest zgodne z równaniami Einsteina, poniewaŜ w tym przypadku gęstość źródeł pola grawitacyjnego była by równa zeru.
Mając na uwadze dalsze przejście graniczne do teorii Newtona, załoŜymy, Ŝe tensor prędkości deformacji χαβ jest równy zeru. W tym przypadku z równania Gaussa-Codazzi’ego wynika, Ŝe :
3R = R – 2Rαβ τα τβ
Wprowadzimy następujące oznaczenia : Tµν gµν = ρ - 3T
Gdzie : 3T = - bαβ Tαβ ; ρ = Tµν τµ τν - gęstość źródeł pola grawitacyjnego.
Wtedy równanie Einsteina moŜemy zapisać w postaci :
3 R = 2κρ ; Gµ; µ = (κ/2) ( ρ - 3T ) (6.48)
Z czego wynika, Ŝe załoŜenie o płaskiej 3-wymiarowej przestrzeni prowadzi do zaniku źródeł pola grawitacyjnego ( ρ = 0). Zatem, poprawne przejście do przedziału newtonowskiego OTW powinno być wykonane z uwzględnieniem niezerowej krzywizny 3-wymiarowej przestrzeni – fakt na który wcześniej nie zwracano uwagi.
Dla symetrycznych w czasie danych początkowych ( χαβ = 0 ) 3-wymiarowa geometria jest konforemnie płaska [132]
Dokonajmy przekształcenia konforemnego bαβ = Ω2 boαβ ( odpowiednio : bαβ = Ω-2 bo αβ ), gdzie : boαβ – metryka płaska. Dla przekształcenia konforemnego krzywizny skalarnej 3R otrzymujemy wyraŜenie :
3R = 4Ω| β | γ bo βγ Ω-3 - 2Ω-4 Ω, α Ω, β bo βγ (6.49)
( linią pionową oznaczono pochodną kowariantną względem metryki tła bαβ ) Przepiszemy (6.49) następująco :
3R = - 4Ω-3 ∆o Ω + 2 [∇ ln(Ω) ]2 (6.50)
gdzie : ∆o – operator Laplacea względem metryki boαβ.
[ ∇ ln(Ω) ]2 := [ ∇ ln(Ω) ]2▲[ ∇ ln(Ω) ]
Równania Einsteina po uwzględnieniu przekształcenia konforemnego mają postać :
ρ = -(2/κ) Ω-3 ∆o Ω + (1/κ) [ ∇ ln(Ω) ]2 (6.51)
ρ + 3T = (2/κ) { ∆ ln(N) + [ ∇ ln(N) ]2 } (6.52)
Scałkujmy (6.51) względem obszaru Σ ⊂ Σt :
∫
{ ρ – (1/κ)[ ∇ ln(Ω) ]2 } dV = - (2/κ)∫
∆o Ω dVo Σ ∂ΣCałkę po prawej stronie moŜemy przekształcić w całkę po brzegu : (2/κ)
∫
∆o Ω dVo = (2/κ)∫
∇ Ω ▲ dsSkąd wynika, Ŝe w przypadku układu wyspowego gradient funkcji Ω zachowuje się asymptotycznie jak ∇ Ω ≈ γm/r2 , gdzie : m - masa źródła.
Przy tym widać równieŜ, Ŝe grawitacja ukazuje działanie ekranujące : masa źródła zmniejsza się efektywnie w związku z obecnością członu : – (1/κ) [ ∇ ln(Ω) ]2. Dlatego moŜna przyjąć , Ŝe wyraŜenie :
w = – (1/κ) [ ∇ ln(Ω) ]2 (6.53)
opisuje gęstość energii pola grawitacyjnego. W granicy newtonowskiej ( r → ∞ ) w przechodzi w znane wyraŜenie [ 61, str. 433 ] :
w → wN = - (1/8πγ) ( ∇ Φ )2 (6.53a)
gdzie : Φ - potencjał newtonowski.
ZauwaŜmy, Ŝe gęstość energii pola grawitacyjnego związana jest nie z przyspieszeniem , jak zwykło się uwaŜać, a z konforemną częścią 3-geometrii ( badanie związku między konforemną 3-geometrią i przybliŜeniem newtonowskim moŜna znaleźć równieŜ w [95] ).
Przepiszmy równania (6.51), (6.52) do ścisłej ( nie asymptotycznej ) postaci :
Ω-3 ∆o Ω = - (κ/2) ( ρ + w ) (6.54)
∆ ln(N) = (κ/2) ( ρ + 3T + 2w~ ) (6.55)
gdzie :
w = - (1/κ) [ ∇ ln(Ω) ]2 ; w~ = -( 1/κ) [ ∇ ln(N) ]2 przy czym asymptotycznie w = w~.
Równanie (6.54) określa geometrię 3-przestrzeni ( przez Ω ). W jego prawą część wchodzi gęstość energii pola grawitacyjnego równoprawnie z gęstością energii innych pól. Równanie to moŜemy rozpatrywać jako uogólnione równanie Poissona, uwzględniające „coulombowską część” pola grawitacyjnego. W swój sposób równanie (6.55) jest równieŜ uogólnieniem równania Poissona, w którym wkład do źródeł daje nie tylko gęstość energii pola grawitacyjnego i pól nie grawitacyjnych, ale równieŜ tensor napręŜeń. Tensor napręŜeń 3tµν pola grawitacyjnego moŜna wyprowadzić z warunku równowagi źródeł i pola grawitacyjnego : Tµ- ν- + 3tµν = 0 – jest to stara i zapomniana idea Lorentza.
Określa on juŜ 4-wymiarową geometrię ( przez N i Ω ). Oczywiście podział taki jest w pewnym sensie umowny, poniewaŜ do 4-wymiarowej geometrii daje wkład równieŜ gęstość energii pola grawitacyjnego ( przez Ω ). JednakŜe na 3-wymiarową geometrię, tensor napręŜenia pola grawitacyjnego i innych pól nie wpływa. Wniosek ten został ujawniony w pracy [23], w której pokazano, Ŝe krzywizna 3-wymiarowej przestrzeni nie jest związana z lokalną zasadą
równowaŜności ( w duchu windy Einsteina ), ale zaleŜność chodu zegara od pola grawitacyjnego jest jej prostą konsekwencją. W istocie bowiem czas własny ds. = Ndt oraz przyspieszenie obserwatora G = - ∇ ln(N) związane są czynnikiem normującym N. W związku z tymi rezultatami jest chyba zrozumiałe, dlaczego gęstość energii pola grawitacyjnego według Piraniego [107], pokrywająca się z 2w~, róŜni się dwukrotnie w granicy newtonowskiej od wN.