Twierdzenie Noether i prawa zachowania
3.3 Pseudotensory i ich krytyka
W tym paragrafie zajmiemy się historycznym ( chociaŜ nie chronologicznym ) omówieniem pseudotensorowego określenia tensora energii-pędu oraz momentu pędu w OTW. Prototypem takiego opisu był opis tych wielkości w fizyce nierelatywistycznej i w STW, generalnie będziemy odwoływali się do tego ostatniego sformułowania.
Opis za pomocą wielkości pseudotensorowych był uŜyteczny zarówno w mechanice jak i elektrodynamice ( ogólnie moŜna powiedzie ,Ŝe w teorii dowolnych pól i obiektów w płaskiej – maksymalnie symetrycznej czasoprzestrzeni ) Z punktu widzenia twierdzenia Noether rozchodzi się o to, Ŝe w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, o maksymalnej symetrii, działa 10-cio parametryczna grupa izometrii sprowadzająca się dla płaskiego świata Minkowskiego do grupy Poincare’go. W tym przypadku istnieją globalnie w czystej postaci przekształcenia translacji ( 4 parametry : 1- czasowy, 3 –przestrzenne translacje ) ora przekształcenia obrotu ( 3 –przestrzenne , 3 –pchnięcia tj. obroty hiperboliczne Lorentza zatem mamy tu 6 parametrów ). Nie będziemy wprowadzali bardziej ogólnego przypadku grupy DeSittera, dla której taka globalna klasyfikacja jest niemoŜliwa ( translacje i obroty nieuchronnie zostają przemieszane ).
Z translacjami twierdzenie Noether wiąŜe energię i pęd , z obrotami – moment pędu ( obroty przestrzenne ) oraz prawo bezwładności ( pchnięcia ). Twierdzenie Noether ukazuje strukturę gęstości tych wielkości, gęstości ich strumieni, a inwariantność lagranŜjanu względem odpowiednich przekształceń prowadzi do praw zachowania.
Translacja w kierunku współrzędnej o numerze α opisywana jest ( z dokładnością do infinityzemalnego, niezaleŜnego od współrzędnych składnika ) wektorem : ξ- = ∂α tj. ξµ = δµα . Podstawiając taki wektor do zaleŜności (3.6) oraz
Interesujące są dwa przypadki, kiedy w róŜniczkowym prawie zachowania, pod znakiem dywergencji stoją wielkości :
Њf βα + Њg βα = - Жt βα (3.31)
Љf βα + Љf βα = - Жg βα (3.32)
W obu przypadkach zachowana zostaje kombinacja wielkości, jedna z których charakteryzuje pole grawitacyjne, a druga kombinacja inne pola materialne, jednak w drugim przypadku całkowicie wyraŜa się przez czysto grawitacyjne
konstrukcje, chociaŜ opisuje ona zachowanie całego układu. PoniewaŜ lagranŜjan grawitacyjny, od wyboru którego zaleŜy Жg β
α ( dodanie członu dywergentnego zmienia teraz obraz teorii, w odróŜnieniu od zachowania symetrycznego tensora energii-pędu ). W róŜnych pracach lagranŜjan ten bywał przyjmowany róŜnie i róŜne teŜ były otrzymywane tensory energii-pędu (3.32). Jednak translacja – to przekształcenie liniowe ( tak jak i obrót ), dlatego względem niej jest inwariantny równieŜ wprowadzony przez Einsteina nie kowariantny lagranŜjan :
ŦEinst = - (√-g /2κ) gµν ( Γα µν Γβ
αβ - Γα µβ Γβ
να ) (3.33)
Nie zawierający drugich pochodnych tensora metrycznego. Zostają one odrzucone razem z członem dywergentnym wydzielonym z lagranŜjanu ogólnie kowariantnego, proporcjonalnego do krzywizny skalarnej :
Ŧg = - (√-g /2κ)R = ŦEinst + [ (√-g /2κ) ( Γν
βν gαβ - Γα
βν gνβ ), α Wynikający z tego lagranŜjanu kanoniczny pseudotensor Einsteina : ЊEinstασ = (∂ŦEinst /∂gµν, α ) gµν, σ - δα
σ ŦEinst
Daje, zgodnie z (3.32) wyraŜenie, którego dywergencja zeruje się ( róŜniczkowe prawo zachowania ), co szczególnie prosto wyraŜa się jako wynik antysymetrii odpowiedniego superpotencjału, względem jego indeksów górnych :
ЊEinstασ + Љf ασ = ЮEinst τασ, τ (3.34)
ЮEinst τασ, τ = - ( gσε / 2κ √-g ) [ (-g) ( gτε gαω - gαε gτω )], ω (3.35) Z pomocą tego superpotencjału, posługując się twierdzeniem Gaussa, łatwo jest obliczyć całkową energię (masę ) układu fizycznego. W tym celu naleŜy wybrać współrzędne w których wektor ξ = ∂α opisuje na duŜych odległościach translacje tj. wziąć współrzędne asymptotycznie kartezjańskie. W przeciwnym wypadku ujawni się „paradoks Bauera”
( zobacz [99, 77] ): w asymptotycznie sferycznych współrzędnych energia całkowa okazuje się nieskończona, nawet jeśli obliczenia prowadzimy dla płaskiej czasoprzestrzeni, nie zawierającej Ŝadnej energii !.
Do tego paradoksu jeszcze powrócimy dalej, teraz jedynie zauwaŜymy, Ŝe moŜe się on ujawnić nawet dla pozostałych pseudotensorów ( oprócz pseudotensora Papapetrou , jeśli podchodzi się do niego w poprawny sposób ).
Ogólnie kowariantny lagranŜjan grawitacyjny : ŦEinst = (√-g /2κ) R
Bezpośrednio prowadzi do innego pseudotensora, który po raz pierwszy został znaleziony przez Schrödinger’a , następnie po dziesięciu latach zapomnienia ponownie odkrywa go Mickjewicz i Moeller ( doszli do niego niezaleŜnie, i podchodząc do niego z róŜnych stron w 1958, m.in. artykuł [75] ). Ten pseudotensor SMM wyraŜa się za pomocą superpotencjału, zaleŜnością o postaci (3.34), przy czym :
ЮSMM τα
σ = ( √-g / 2κ) ( gσω, ε – gσε, ω ) gετ gωα (3.36)
Zapiszmy równieŜ dla ogólnie kowariantnego lagranŜjanu wielkości : Шg ατβ
Pseudotensor SMM posiada dogodniejsze własności transformacyjne, niŜ pseudotensor Einsteina ( paradoks typu Bauera jest silnie ukryty ). Podkreślmy jedną z takich dogodnych własności pseudotensora SMM.
JeŜeli weźmiemy stacjonarne, próŜniowe pole grawitacyjne, dla którego metryka posiada postać Kerra-Schild’a , to łatwo jest pokazać, Ŝe superpotencjał SMM posiada postać gradientu :
ЮSMM 0i0 = - H, iε / κ
Gdzie : H – funkcja wchodząca do metryki Kerra-Schild’a ( gµν = δµν – 2H Lµ Lν )
Zatem pseudotensor SMM jest róŜny od zera tylko w punkcie osobliwym, dla składowej 00 : ЊSMM00 = - ∆(H/ κ) ~ δ(r)
Szeroko znany jest równieŜ pseudotensor Landaua-Lifszyca-Foka (LLF ), który w odróznieniu od wcześniejszych dwóch pseudotensorów, posiada dwa kontrawariantne indeksy, względem których jest on symetryczny. On równiez moŜe być wyraŜony przez superpotencjał, zbudowany wyłącznie z pomocą zmiennych grawitacyjnych [ chociaz wyraŜa on własności wszystkich występujacyh pól razem z (3.32) ] :
ЊLLF α[ βγ] = (1/2κ) [ (-g) ( gαβ gγε - gαγ gβε ) ] , ε (3.38) Pseudotensor LLF równieŜ prowadzi do paradoksu Bauera i przy analizie układów wyspowych naleŜy go rozpatrywać we współrzędnych asymptotycznie kartezjańskich. Istnieje prosty związek między superpotencjałem Einsteina a LLF : ЊEinst βγλ = ( gαλ / √-g ) ЊLLF α[βγ]
Omówienie pewnych innych problemów teorii pseudotensora LLF moŜna znaleźć w [61 , 143].
Na pewnym innym miejscu na tle omawianych pseudotensorów naleŜy umiejscowić pseudotensor Papapetrou
( symetryczny, o dwóch indeksach górnych ). Nie wynika on z ogólnych konstrukcji jedno indeksowych, zachowujących się wielkości ( zobacz paragraf 3.4 ) przy konkretyzacji pola wektorowego ξ, moŜe on jednak być zbudowany za pomocą budulca stanowiącego osnowę toŜsamości Noether [77]. Jego logiczne wyprowadzenie z tzw. bimetrycznego
formalizmu, nie wyprowadzą nas poza ramy einsteinowskiej teorii grawitacji ( zobacz paragraf 4.2 ).
W tej chwili wprowadzimy zmodernizowany wariant naszego wcześniejszego wywodu. Oznaczmy poszukiwany pseudotensor jako : θαβ . Powinien on posiadać w pierwszej kolejności dwie własności : symetrię θαβ = θβα i prawo zachowania : θαβ, β = 0.
W odróŜnieniu od pseudotensora LLF do jego konstrukcji wchodzi, oprócz tensora metrycznego ( oraz jego pierwszych i drugich pochodnych ), równieŜ metryka Minkowskiego. Dalej będziemy zakładali, Ŝe rozpatrywane współrzędne są kartezjańskimi, względem tej płaskiej metryki. W charakterze konstrukcji, do których włączamy tensor metryczny weźmiemy równieŜ gęstość bispinu, dwukrotnie zróŜniczkowaną względem współrzędnych czasoprzestrzennych.
Wtedy, wykorzystując metodę nieokreślonych mnoŜników, łatwo dojść do wyraŜenia ( z dokładnością do stałego czynnika ) : które przy podstawieniu do niego (3.37) pozwala otrzymać :
θαβ = (1/2κ) ( гαβ ηστ
Odpowiedni wybór stałego współczynnika sprawia, Ŝe prawa strona (3.39) w przybliŜeniu słabego pola grawitacyjnego pokrywa się z lewą stroną równań Einsteina, jest ona liniowa względem гαβ , tak ,Ŝe wielkości te dogodnie jest wybrać w charakterze zmiennych grawitacyjnych ( w szczególności warunek harmoniczności гαβ, β = 0 moŜna traktować wtedy jako analog warunku Lorentza w elektrodynamice ) W pełnej teorii po uwzględnieniu nieliniowości pola grawitacyjnego, wyraŜenie (3.39) naleŜy rozumieć jako połączenie energii-pędu źródeł nie grawitacyjnych oraz czysto grawitacyjnej części energii-pędu, która sprowadza się do nieliniowej względem гαβ części konserwatywnego tensora Einsteina ( jego gęstości ). Takie podejście jest szczególnie interesujące , jeśli ( dla układu wyspowego ) moŜemy nada jakiś fizyczny sens płaskiemu tłu ηαβ.
Pseudotensor Papapetrou jest dogodny dla określenia całkowych wartości energii (masy), pędu, momentu pędu oraz momentów multipolowych układów wyspowych, zwłaszcza w sytuacji kiedy metryka zapisana jest we współrzędnych harmonicznych. Dla metryk w formie Kerra-Schild’a jest teraz słuszna uwaga którą wypowiedzieliśmy w związku z pseudotensorem SMM. Dogodne jest zwłaszcza to, Ŝe tensor Papapetrou nie prowadzi do paradoksu Bauera, w sytuacji kiedy wymagamy aby asymptotycznie płaska metryka pokrywała się z asymptotyczną metryka (fizyczną )
pseudoriemannowską, a to oznacza moŜliwość wykorzystania dla metryki Minkowskiego, ogólnie mówiąc
współrzędnych nie kartezjańskich. Wtedy jako pochodne w wyraŜeniu (3.39) naleŜy brać nie pochodne cząstkowe ale kowariantne względem metryki Minkowskiego. Jest jasne, Ŝe pseudotensor Papapetrou moŜna wyrazić równieŜ z pomocą odpowiedniego superpotencjału :
JeŜeli przy obliczaniu energii oraz innych wielkości za pomocą pseudotensora Papapetrou posługujemy się
współrzędnymi asymptotycznie kartezjańskimi, względem metryki pseudoriemannowskiej, ale metrykę Minkowskiego brać nie w asymptotycznie kartezjańskiej formie, to pojawi się paradoks Bauera.
Paradoks ten pojawia się równieŜ przy wykorzystywaniu w twierdzeniu Noether, w miejsce tensora metrycznego czwórki wektorów ortonormalnych ( tetrady), , zorientowanych względem linii współrzędnościowych układu sferycznego, nawet jeśli w dalszych obliczeniach byłyby wykorzystane współrzędne kartezjańskie ( aby otrzymać prawidłowe wyniki musimy dokonać asymptotycznie kartezjańskiego cechowania tetrady ). Oprócz paradoksu Bauera znane są przykłady ( opracowane przez Schrödinger’a w 1918 roku )które nakładają pewne ograniczenia na stosowalność pseudotensorów w konkretnych obliczeniach.
W 1958 roku Moeller przeanalizował wymagania, które powinny spełniać pseudotensory energii-pędu, tak aby moŜna było im przypisać racjonalny sens fizyczny [71, 72]. Tym samym zakończył się pewien etap rozwoju OTW, w którym praktycznie nie podejmowano krytyki definicji energii-pędu. Krytyka taka występowała co prawda na wczesnym etapie, zaraz po pojawieniu się OTW ( paradoks Bauera, przykłady Schrödinger’a oraz odpowiedzi Einsteina na nie – do roku 1920 ), ale kiedy nastąpił etap w którym otrzymano ścisłe rozwiązania równań Einsteina, analizowano efekty
grawitacyjne wynikające z OTW wraz z zastosowaniem ich do astrofizyki i kosmologii, to właściwie zapomniano na długi czas o tych defektach energii-pędu. Moeller dąŜył do przeanalizowania samych podstaw OTW, włączając w to zasadę równowaŜności, własności masy bezwładnej i grawitacyjnej, roli układów przyspieszonych a finalnie przechodzi do problemu energii. Narzucił on pewne wymagania w stosunku do pseudotensorów energii-pędu, w tej chwili podamy je w nieco zmodyfikowanej postaci [77].
I. Kanoniczny pseudotensor θαβ w dowolnym punkcie xµ powinien być gęstością tensorową o wadze +1, algebraicznie zaleŜną od funkcji polowych oraz ich pierwszych i drugich pochodnych w xµ .
II. Pseudotensor θαβ powinien spełniać słabe prawo zachowania θαβ, α = 0.
III. Składowe θαβ ( gęstość energii i jej strumień ) powinny przekształca się jak gęstość 4-wymiarowego wektora kontrawariantnego przy czysto przestrzennych przekształceniach współrzędnych x’i = x’i ( xk ) , x’0 = x0.
IV. Przy przekształceniach liniowych współrzędnych „wektor“ całkowy energii-pędu Pα =
∫
θβα dSβ powinienprzekształca się jak 4-wektor, przy czym nie powinien on zmieniać się przy przekształceniach przechodzących na duŜych odległościach w toŜsamości lub przy przekształceniach dowolnej postaci.
V. W układzie środka masy „wektor“ energii-pędu powinien mieć postać Pα = ( M, 0, 0, 0)
OdróŜnienie od oryginalnego sformułowania Moeller’a polega na tym ,Ŝe w wymaganiu II rozchodzi się o słabe prawo zachowania a nie silne a wymóg V nie został sformułowany przez Moeller'a jako osobny punkt. Pierwsze dwa
wymagania są spełnione automatycznie na podstawie twierdzenie Noether. Wymóg III zapewnia nie pojawianie się paradoksu Bauera, poniewaŜ po jego spełnieniu energia całkowa P0 dla dowolnej ( w tym równieŜ skończonej )
objętości, jest inwariantna względem czysto przestrzennych przekształceń ( nie musimy się nawet ograniczać do układów wyspowych . Tylko wymogi IV i V zakładają ich wykorzystanie ). Co zaś dotyczy niezmienności Pα przy
przekształceniach asymptotycznie toŜsamościowych ( a w skończonych obszarach dowolnych ) przekształceniach współrzędnych czaso-przestrzennych, to załoŜenie dopełnia pierwszą część wymogu IV, po uwzględnieniu
nieokreśloności pojęcia przekształceń liniowych ( ściślej – przekształceń Lorentza ) wewnątrz układu wyspowego, gdzie czasoprzestrzeń jest płaska. MoŜna pokazać, Ŝe wymóg III jest spełniony automatycznie dla pseudotensora, wynikłego z twierdzenia Noether, jeŜeli lagranŜjan grawitacyjny to gęstość skalarna, względem dowolnych przekształceń
współrzędnych. Dlatego teŜ istnienie paradoksu Bauera dla energii, określanej za pomocą pseudotensora Einsteina wywołane jest niekowariantnością einsteinowskiego lagranŜjanu. Inne analogi paradoksu Bauera wywoływane są właśnie niekowariantnością lagranŜjanu względem odpowiednich przekształceń cechowania ( np. lokalnych obrotów tetrady ), kiedy lagranŜjan otrzymywany jest z ogólnie kowariantnego wyraŜenia (3.25) po odrzuceniu pewnego dywergentnego członu.
Zatem spełnienie wymogu III Moeller’a wynika z ogólnej kowariantności lagranŜjanu. W istocie w tym przypadku pod znakiem dywergencji w (3.30) pojawia się gęstość wektora kontrawariantnego, względem dowolnych przekształceń : ( Џασξσ + Чατ
σξσ, τ + Шατβ
σ ξσ, τ, β ) = | J | -1 (∂x’µ / ∂xλ ) ( Џλεξε + Чληε ξε, η + Шληµε ξε , η, µ ) Pole wektorowe ξ teraz nie jest juŜ związane w Ŝaden sposób z nowymi przekształconymi współrzędnymi, uwzględniając jego wektorowy charakter oraz dowolność otrzymujemy prawa przekształcenia [76] : Џνµ = | J | (∂xν /∂x’α )[ (∂x’σ /∂xµ )Џ’α Zatem gęstość bispinu jest gęstością tensorową o wadze +1i walencji 4; gęstość spinu uogólnionego razem z bispinem obrazuje jednorodny obiekt geometryczny, spinowa składowa energii-pędu ( lub jak łatwo zauwaŜyć równieŜ pseudotensor SMM ) obrazuje razem z nimi jeszcze inny jednorodny obiekt geometryczny. Pod pojęciem „obiekt geometryczny” rozumiemy wielkość, składowe, której przy przekształceniu współrzędnych stanowią swoje kombinacje, przy czym współczynniki takich liniowych kombinacji to pochodne ( nie tylko pierwszego rzędu )jednych
współrzędnych względem drugich. Jako przykład takiego obiektu moŜe słuŜyć np. zbiór składowych tensora metrycznego i symboli Christoffela. JeŜeli „dobry” pseudo tensor θβα przekształcić według prawa (3.41) ( z dokładnością do znaków przed drugimi i trzecimi składowymi w nawiasach ), to w kontekście wymogu III, Moeller'a przy czysto przestrzennych przekształceniach współrzędnych, otrzymujemy :
θ’β0 = | J |-1 (∂x’β /∂xλ ) θλ0
tj. prawo przekształcenia gęstości wektorowej. Warto podkreślić , Ŝe równieŜ wielkość Чα00 zachowuje się przy czysto przestrzennych przekształceniach jak gęstość wektorowa. Dalsze komentarze czytelnik moŜe znaleźć w [77].
Mogłoby się wydawać, Ŝe moŜliwość spełnienia wymagań Moeller’a rozwiązuje problem określenia energii ( chociaŜby dla układów wyspowych ), jednak rzeczywista sytuacja jest bardziej złoŜona , zwłaszcza, jeśli do wymogów tych dodać nowy VI mówiący o spełnieniu zasady odpowiedniości z teoria Newtona w przybliŜeniu słabego pola grawitacyjnego dla gęstości energii [77].
Pojawia się pytanie : czy nie moŜna było by ogólnie dąŜyć do wykorzystywania dla opisu gęstości energii-pędu układów fizycznych ( z uwzględnieniem grawitacji ) w OTW, pseudotensorów, tj. dwu indeksowych gęstości tensorowych ? Na początku tego paragrafu , widzieliśmy, Ŝe do takich wielkości prowadzą przekształcenia typu translacja ,jednak przekształcenia te mogą być wprowadzone tylko względem kartezjańskich układów współrzędnych, które w
zakrzywionej czasoprzestrzeni nie istnieją (globalnie). W najlepszym przypadku takie współrzędne ( i odpowiadające im translacje )mogą być wprowadzane asymptotycznie dla wyspowych układów fizycznych.
Tym samym musielibyśmy wykluczyć z analizy wszystkie modele kosmologiczne, tym samym wszelkie konkretne przykłady nabierałyby w znacznej mierze akademickiego charakteru ( Ŝyjemy w takim wszechświecie, którego asymptotyka jest jawnie kosmologiczna ). Czy naleŜy, zatem poprawić definicje pseudotensorów, dodając coś do wymogów Moeller’a ?
Nadto, jakie wielkości naleŜy uwaŜać jako bardziej fundamentalne ?
Gęstość ( oraz odpowiadające jej prawa zachowania ) lub wielkości całkowe ?
Dla formalizmu kanonicznego i dla celów kwantowania waŜne są te ostatnie. W kaŜdym przypadku wielkości całkowe powinny być „dobrymi” , ale co to właściwie oznacza ?
JeŜeli podchodzić ku nim bez uproszczeń, to powinny być one skalarami a nie wektorami lub tensorami. Bowiem te ostatnie przekształcają się mając przed swoimi składowymi współczynniki zaleŜne od punktu tj. mogą one mieć charakter lokalny a nie globalny. MoŜna oczywiście przypisać im lokalizacje w centrum ciąŜenia układu, jeśli ma on charakter wyspowy, ale podobna deklaracja z niczego nie wynika. Zatem wielkości całkowe w swojej naturze powinny być skalarami.
Ale przecieŜ w STW polu E-M przypisujemy całkowy wektor energii-pędu , ale jak to robimy ?
JeŜeli pod pojęciem STW rozumie tylko opis we współrzędnych kartezjańskich, to formalnie jest to moŜliwe :
Przekształcenia Lorentza są ściśle liniowe i nie wnoszą zaleŜności od punktu. Nikt jednak nie mógłby protestowa, jeśli w STW wykorzystywalibyśmy 3-wymiarowe współrzędne sferyczne, a w nich składowe 3-pędu okazują się funkcją punktu, poniewaŜ są one kombinacją składowych kartezjańskich o współczynnikach zaleŜnych od współrzędnych.
Oprócz tego, jeśli wziąć nie przekształcenie gotowej wielkości całkowej od współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych sferycznych, a całkować w STW składowe gęstości pędu pola E-M wprost w układzie sferycznym, to otrzymamy wielkość bezsensowną ( jedynie składowa φ zachowa sens fizyczny jako rzut momentu pędu ).
Zatem, na przykładzie elektrodynamiki w płaskim świecie widać, Ŝe coś nie jest w porządku z energią-pędem, jeśli odejdziemy od ściśle kartezjańskich współrzędnych. Pewną alternatywą jest wprowadzenie bazy, której wektory mają
kierunki translacji właściwych ( w przestrzeni płaskiej jest to zawsze moŜliwe ), a współrzędne wybrać dowolnie, wymagając jedynie inwariantności względem nich wielkości całkowych. Wtedy ich gęstości powinny być gęstościami związanymi z wektorami kontrawariantnymi o wadze +1. Doszlibyśmy tym sposobem do gęstości jednoindeksowych zachowującymi się.
Zanim przejdziemy do wykorzystania tych jednoindeksowych wielkości, dokonajmy pewnego podsumowania.
Całkowanie gęstości tensorowych nie moŜe prowadzić do matematycznie ( i fizycznie ) sensownych wielkości, oprócz skalarów i wtedy gęstość tensorowa będzie gęstością związaną z wektorami kontrawariantnymi. Ani pseudotensory, ani zwykły tensor energii-pędu nie mogą słuŜyć same w sobie dla określenia konstrukcji całkowych, naleŜy zastosować oprócz nich pole wektorowe ( przypomnijmy sobie ξ ) lub układ takich pól, kiedy wymagamy znalezienia większej ilości wielkości całkowych – w STW w skrajnym przypadku będą to wszystkie „składowe” energii-pędu i momentu, jak równieŜ określenie centrum mas. Przekształcenie tych „składowych” nie jest teraz związane z przekształceniem
współrzędnych – są one w istocie skalarami, a cała rzecz w przekształceniu starych „składowych” w nowe przy przejściu od jednego układu generatorów przekształceń Poincare’go do drugiego układu takich generatorów. W STW
przywykliśmy mówić o przekształceniach wielkości całkowych, a poniewaŜ zwykle pracujemy w układzie kartezjańskim przekształcimy te współrzędne za pomocą przejścia między generatorami grupy Poincare’go.
Stanie się to jaśniejsze tylko wtedy kiedy przeanalizujemy strukturę OTW przez pryzmat układów odniesienia i baz tetradowych.
ZauwaŜymy jeszcze, Ŝe wielu autorów poświęciło swoją uwagę analizie niekonserwatywności pseudotensorów i budowie układów współrzędnych, w których takie lub inne ich składowe ( czasami wszystkie razem ) zerują się.
Dopuszczali się przy tym szeregu nieścisłości, jednak podstawowa idea była prawdziwa : same pseudotensory nie mogą stanowić podstawę dla opisu energii-pędu w OTW. Są one przydatne ( jeśli wyjdziemy poza ramy układów wyspowych o asymptotycznie kartezjańskich współrzędnych ) tylko w charakterze budulca w skład którego koniecznie muszą wchodzić gęstości spinu uogólnionego i bispinu.