4.1 Pseudotensor Papapetrou
Rozpatrzymy teraz jeden z najbardziej uŜytecznych, według naszego mniemania, pseudotensorów charakteryzujących energię i pęd pola grawitacyjnego – „pseudotensor” Papapetrou. Termin „pseudotensor” wzięliśmy w cudzysłów dlatego, Ŝe nie odpowiada on w pełnej mierze swojej nazwie : przy pewnych dodatkowych załoŜeniach, określona przez
Papapetrou energetyczna charakterystyka ma własności tensorowe. Jednak w ogólnym planie fizycznych interpretacji, te dodatkowe załoŜenia wyprowadzają nas poza ramy OTW i pojawia się nadzwyczaj złoŜona sytuacja :
Opisuje się dynamikę i energię pola grawitacyjnego na bazie teorii Einsteina, ale przy tym w sposób szczególny odchodzi się od niej, zakładając obecność „dodatkowych” obiektów geometrycznych.
Zastanowimy się teraz nad takim podejściem. Z twierdzenia Noether wiemy, Ŝe suma gęstości tensora energii-pędu źródła i pseudotensora energii-pędu pola grawitacyjnego wyraŜona jest przez „silnie zachowaną” część energii, która na swój sposób jest wynikiem cząstkowej dywergencji gęstości geometrycznego spinu uogólnionego Чατ
σ . Tym właśnie kierował się Papapetrou [98] i za pomocą procedury Belifante’go-Rozenfelda zbudował symetryczną, zachowującą się wielkość, posiadającą sens gęstości tensora energii-pędu pola grawitacyjnego. Przy tym Papapetrou, wielkości θµν , które są związane ze znanymi juŜ trudnościami wykorzystania pseudotensorów, wziął za podstawę tradycyjnego ( maxwellowskiego ) podejścia polowego do interpretacji składowych tensora metrycznego gµν tylko jako potencjałów pola grawitacyjnego, uwaŜając, Ŝe sama czasoprzestrzeń jest płaska i opisywana jest metryką pseudoeuklidesową ηµν ( we współrzędnych kartezjańskich jest to metryka Minkowskiego ). Dlatego w procedurze symetryzacji spinowej części energii Papapetrou wykorzystuje dla podniesienia i obniŜania wskaźników wielkości pojawiającej się w twierdzeniu Noether Чατσ właśnie wielkość ηµν . Wyprowadzenie θµν jest następujące ( zobacz równieŜ [77] ) :
W pierwszym kroku określamy symetryczną wielkość :
θµν = ½ [ ( Чαµσ + Чµασ ), α ησν + ( Чανσ + Чνασ ), α ησµ - ( Чµνσ + Чνµσ ), α ησα ] (4.1) Gęstość uogólnionego spinu w jawnej postaci otrzymujemy z kowariantnego lagranŜjanu OTW zgodnie z zasadą
( zobacz paragraf 3.1 ) Чατ
σ = ( δŦem /δAB, α ) aB |τ
σ - ( ∂Ŧem /∂AB, α, τ ) AB, σ + ( ∂Ŧem /∂AB, α, β ) aB |τ
σ, β (4.2) Podstawiając (4.2) do (4.1) po nieskomplikowanych obliczeniach znajdujemy :
(* Obliczenia moŜna jeszcze bardziej uprościć jeśli wykorzystamy formalny sposób określenia θµν z pomocą tzw.
gęstości bispinu [77] :
wynikającej równieŜ z twierdzenia Noether dla pól, których lagranŜjany zawierają drugie pochodne koneksji. W tym przypadku , zakładając : Zatem moŜe być wyraŜona przez trójindeksowy superpotencjał :
θµν = (1/κ) ( ηµ [ ν гβ ] α
, α + гµ [ ν
, α ηβ ] α
) , β = ЊP µ [ αβ]
, β (4.4)
ostatnią własność, po określeniu 4-wektora pędu całkowego : Pα =
∫
θαβ dSβNaturalnym jest wykorzystać w celu całkowania z pomocą twierdzenia Gaussa. Jako dodatkowy argument na wykorzystanie θµν jako gęstości energii-pędu, moŜe posłuŜyć porównanie (4.3) z lewą częścią równań Einsteina zapisanych z rozwiniętej postaci w rozdziale 2. WyraŜenia te są bardzo podobne jedno do drugiego, a w przybliŜeniu słabego pola pokrywają się ściśle. We współrzędnych harmonicznych гµν, ν = 0 i dochodzimy do równania d’Alemberta
гµν = 2κθµν
co pozwala utoŜsamić wielkość określoną przez Papapetrou, z relatywistycznym tensorem energii-pędu wszystkich pól danego układu fizycznego ( włączając w to i pole grawitacyjne ); w prawej części θµν oprócz tensora energii-pędu źródeł grawitacji obecne są konstrukcje kwadratowe względem pierwszych pochodnych metryki-natęŜenia pola gµν.
Pojawienie się w (4.3) metryki Euklidesa, Papapetrou – jak juŜ mówiliśmy – objaśnił „polowym” kierunkiem swojego podejścia, który uwzględnia pewne uwagi przedstawione przez Nordstroma wkrótce po opublikowaniu OTW, a znacznie później przywołane równieŜ przez Rosena, który kładzie podstawy formalizmu dwumetrycznego w teorii grawitacji.
4.2 Dwumetryczny formalizm Rosena.
W celu określenia bardziej zadowalających niŜ pseudotensory, energetycznych charakterystyk w teorii grawitacji Rosen [117] załoŜył aby wprowadzić czysto formalnie, w kaŜdym punkcie rozmaitości riemannowskiej oprócz metryki gµν jeszcze metrykę płaskiego świata eµν. Z geometrycznego punktu widzenia, krok ten wykonuje się poprzez
odwzorowanie przestrzeni Riemanna na przestrzeń płaską o metryce eµν ( przy czym punktom odpowiadającym sobie przypisuje się jedno i to samo znaczenie współrzędnych ), metryka eµν jest „metryką porównawczą” : taka jest czasoprzestrzeń przy braku źródeł pola grawitacyjnego ( a zatem i jego samego ). Autor podejścia dwumetrycznego podkreślał, Ŝe przy wprowadzeniu drugiej metryki na rozmaitości, badanej za pomocą gµν, nie przypisuje się jej Ŝadnych nowych własności. NajwaŜniejszy punkt teorii Rosena polega na tym, Ŝe metryka eµν., opisująca płaski świat koniecznie powinna być tensorem tj. nie być metryką Minkowskiego przy przekształceniu współrzędnych. Wtedy bowiem po wprowadzeniu kowariantnej względem eµν pochodnej i zgodnej z nią koneksją γµ
να ( będziemy stosowali oznaczenia z godne z [77] ), takich ,Ŝe :
eµν | λ = eµν, λ - eµα γανλ - eαν γαµλ = 0 (4.5)
gdzie : γµνα – wyraŜa się w standardowy sposób przez pochodne cząstkowe eµν : γµνλ = ½ eµα ( eαν, λ + eαλ, ν – eνλ, α )
znajdujemy, Ŝe róŜnica symboli Christoffela Γµ
νλ i koneksji γµ
νλ przedstawia sobą obiekt geometryczny, mający sens koneksji a będący tensorem ( na mocy jednakowych własności transformacyjnych Γ i γ ) względem dopuszczalnych przekształceń współrzędnych , róŜnica ta wyraŜa się przez e-kowariantne pochodne metryki riemannowskiej : Πµ
νλ = Γµ
νλ – γµνλ = ½ gµα ( gαν | λ + gαλ | ν – gνλ | α )
PoniewaŜ metryka eµν odpowiada płaskiemu światu, to zbudowany z niej tensor krzywizny toŜsamościowo jest równy zeru i tensor Riemanna oraz wszystkie jego zawęŜenia wyraŜają się tylko przez metrykę gµν i wielkości Πµ
νλ .
Jak juŜ mówiliśmy, wszystkie zaleŜności OTW moŜna przepisać za pomocą Πµ
νλ oraz e-kowariantnych pochodnych, co teŜ dało Rosen’owi podstawę do zastosowania go do zdefiniowania odpowiedniego tensora ( gęstości ) energii-pędu pola grawitacyjnego w postaci analogicznej do pseudotensora Einsteina, ale z zamianą wszystkich „źle przekształcających się składowych” na składowe e-kowariantne. W ten sposób zakłada się wyeliminowanie paradoksu Bauera. Innym
atrakcyjnym aspektem podejścia dwumetrycznego jest moŜliwość określenia uzupełniających, kowariantnych warunków Zapewniających jednoznaczność funkcji metryki ( liczba których przewyŜsza liczbę równań Einsteina 4 z nich spełnione są na mocy toŜsamości Bianchi ). WyraŜając np. warunek DeDondera-Lanczos’a-Foka : гµν, ν = 0 i zamieniając w nim pochodną cząstkową na e-pochodną, otrzymujemy uzupełniające warunki kowariantne dla funkcji metryki : гµν | ν = 0 Spełnione we wszystkich układach współrzędnych ( chociaŜ wybór samych warunków oczywiście jak wcześniej jest dowolny ).
Podejście dwumetryczne do teorii grawitacji wprowadza bardzo interesującą sytuacje : z matematycznego punktu widzenia niczego nie zmieniliśmy, zawsze poprzez wybór eµν = const. od formalizmu dwumetrycznego moŜemy przejść do wszystkich dotychczas uzyskanych zaleŜności OTW, a zatem równania pola pozostają w istocie takie same. Jednak sens wielkości występujących w teorii oddziaływań fundamentalnych zmienia się jakościowo. Teraz sama
czasoprzestrzeń ( bez grawitacji )jest zawsze płaska, a na jej tle rozpatruje się zmieniający się potencjał gµν , przy czym ds2 = gµν dxµ dxν nie uwaŜa się za fizyczny interwał. Do dyspozycji obserwatora jest teraz jego własny standard 4-wymiarowej długości : dσ2 = eµν dxµ dxν i istnieje podstawowa moŜliwość zaobserwowania zmiany skali w polu grawitacyjnym. Jak zauwaŜa sam autor podejścia dwumetrycznego [117] w jego teorii „mniej jest względności” niŜ w teorii Einsteina. Prędkość światła ( z punktu widzenia obserwatora w eµν ) okazuje się mniejsza niŜ w płaskim świecie, tam gdzie gµν ≠ eµν tj. pole grawitacji traktuje się jako pewien ośrodek optyczny, posiadający róŜny od 1 współczynnik załamania. Statyczne pole grawitacyjne przybiera sens absolutnego układu odniesienia , przy jego ruchu względem obserwatora ( lub odwrotnie ) „pociąga” ono światło za sobą, tak jak to zakłada się w doświadczeniu Fizeau. Ruch cząstek o zerowej masie spoczynkowej w teorii Rosena takŜe posiada swoje osobliwości. Obserwatorowi przychodzi mierzyć zaleŜność współrzędnych cząstek próbnych względem swojego standardowi σ, podczas gdy równanie geodezyjnej
ma swój parametr „nie fizyczną” wielkość s. Przejście do „wymaganego” parametru dokonuje się za pomocą wprowadzenie masy do równań ruchu, które ( toŜsamościowo !) przepisać moŜemy następująco :
D/dσ [ m (dxµ / dσ) ] + m Πµ
αβ (dxα / dσ) (dxβ / dσ ) = 0 (4.7)
Gdzie : D/dσ – absolutna pochodna e-kowariantna , m- masa własna cząstki wyraŜona przez masę tej cząstki w przypadku braku grawitacji m0, zgodnie ze wzorem : m = m0(ds/dσ).
MoŜemy zatem wnioskować, Ŝe podobnie jak w OTW , masa bezwładna i grawitacyjna cząstki są równe nie koniecznie teraz są one stałe ( dlatego masa w sposób jawny wchodzi do równań ruchu, w układzie odniesienia obserwatora : m= m0 (e00/g00)1/2, w przybliŜeniu słabego pola grawitacyjnego : m= m0 ( 1- φ ) ; φ – potencjał newtonowski ) Konieczność spełnienia wszystkich znanych klasycznych efektów grawitacyjnych wymaga aby były całkowicie określone wszelkie związki wzajemne między obiektami między sobą niezaleŜnymi : metryką „właściwej” płaskiej czasoprzestrzeni eµν i „fizycznym potencjałem” pola gµν. Jak wiadomo, aby wyniki teorii Einsteina i Rosena były zbieŜne koniecznym jest aby zaleŜność powyŜsza miała sens przejścia granicznego : gµν → eµν przy dąŜącej do zera stałej łączącej obie teorie ( zobacz rozdział dotyczący formalizmu dwumetrycznego w [77] ).
W pierwotnym sformułowaniu [117] dwumetryczna teoria grawitacji prowadzi do tych samych przewidywań co teoria Einsteina, róŜni się jedynie od niej tym ,Ŝe inaczej interpretujemy wielkości obserwowane oraz moŜliwością
wprowadzenia tensorowych charakterystyk energetycznych pola grawitacyjnego. Warto zauwaŜyć, Ŝe w charakterze jednego z argumentów wysuniętych przez autora teorii bimetrycznej na jej potwierdzenie było wskazanie nieudanych prób geometryzacji innych ( niegrawitacyjnych) pól. Czy tylko grawitacja moŜe być opisana w sposób geometryczny ? Dlaczego posiada ona specjalny status w porównani z innymi polami fizycznymi ?
Były to pytania nurtujące Rosena, na które nie znajdował on zadowalającej odpowiedzi, postanowił on zatem odejść w jakiś sposób od geometryzacji grawitacji, nawet gdyby miał to być krok wstecz.
Oprócz tego, obecność dwóch metryk w teorii zwiększało liczbę dodatkowych wielkości skalarnych i tensorowych, w ten sposób zwiększając moŜliwości budowy nowych fizycznych teorii, róŜniących się od teorii Einsteina, nie tylko
interpretacyjnie ale równieŜ matematycznie.
Teorie takie pojawiły się później juŜ w sposób naturalny, wprowadzane przez licznych autorów w latach 50-60-tych XX wieku ( np. [110, 120, 77, 118] )
Jedną z interesujących wariantów 2-metryzmu w teorii grawitacji o minimalnej stałej strukturalnej [29] było
potraktowanie pola grawitacyjnego jako niezaleŜnego pola tensorowego, istniejącego na tle płaskiej czasoprzestrzeni o własnym tensorze metrycznym. Teoria grawitacji o minimalnej stałej strukturalnej zasługuje na uwagę w związku z tym ,Ŝe jej autorzy w sposób bardzo interesujący podchodzą do wywodu symetrycznego tensora energii-pędu pola
grawitacyjnego.
W pracy [29] wprowadza się dwie podstawowe wielkości – metrykę płaskiego świata eµν i „fizyczny” symetryczny tensorowy potencjał grawitacyjny φµν , razem wielkości te określają metrykę pewnej efektywnej przestrzeni
riemannowskiej : gµν = gµν ( e, ∂e, ∂∂e, φ, ∂φ, ∂∂φ ), w której równania pola materii moŜna rozpatrywać na równi z zapisem ich przez metrykę eµν - jest to tzw. zasada toŜsamości. Nie konkretyzując postaci lagranŜjanu pól grawitacji, ale zadając ich zaleŜność od metryk eµν i gµν oraz potencjałów φµν i φM ( ostatni to potencjał pola źródeł ), autorzy wyprowadzają prawo zachowania sumy symetrycznych tensorów energii-pędu pola grawitacyjnego i materii ( w płaskiej czasoprzestrzeni ), równowaŜne równości zeru g-kowariantnej dywergencji tensora energii-pędu źródła grawitacji : ( tM α
β + tg α
β ) | α = Tα
β ; α = 0 (4.8)
Pierwsza równość w (4.8) przedstawia sobą matematyczne wyraŜenie zasady toŜsamości. WyraŜenie (4.8) zostało zapisane w pracy Rosena [117] , jednak rolę tg α
β odgrywał tam niesymetryczny kanoniczny tensor Einsteina, zbudowany z tensorowego rozszerzenia koneksji.
Wymóg inwariantności względem cechowania, teorii o minimalnej stałej strukturalnej oraz wymóg zachowania nie określonego jeszcze prądu tensorowego źródła, prowadzi do określenia nowych zmiennych pola grawitacyjnego, zapisywanych przez potencjał φµν – za pomocą jego drugich pochodnych ( dla prostoty oznaczmy taki związek przez operator Q ) :
fµν = σµν - σµν , λ, µ - σλµ , λ, µ + eµν σλρ , λ , ρ := Q σµν gdzie :
σλρ = φλρ – ½ eλρ φµµ
Wtedy lagranŜjan grawitacyjny w zaleŜności od fµν i eµν będzie równy : Lg = (1/8κ) ( fµν, λ fµν, λ – ½ f ν
ν , λ ) (4.9)
( róŜni się od nieliniowej teorii Rosena [118] tylko tym ,Ŝe zawęŜenie wszystkich indeksów (4.9) dokonuje się za pomocą metryki świata płaskiego ). Sześć niezaleŜnych równań pola, wynikających z wariowania (4.9) dla sześciu niezaleŜnych składowych σλρ lub φλρ ( 4 równania i 4 składowe wyeliminowane są przez przekształcenie cechowania ), są
równaniami 6-tego rzędu :
2 Q σµν = -2κJµν (4.10)
gdzie :
Jµν = Q [ ½ Tαβ ( ∂gαβ / ∂fλρ ) ( δµλ δνρ + δµρ δνλ - eλρ eµν ) ] (4.11) Ten fakt stanowi sporą trudność teorii, poniewaŜ dla określenia 36 stałych całkowania ( pojawiających się w ogólnym
przypadku ) wymagamy takiej samej liczby warunków początkowych i brzegowych, a jest to liczba trzy razy większa niŜ w teorii Einsteina. JednakŜe autorzy w dalszej kolejności ograniczają się do przypadku rozwiązań przyczynowych i
„skracają” (4.10) o jeden dalambercjan, a po serii przekształceń cechowania przechodzą do interpretacji fµν jako fizycznego potencjału grawitacyjnego, określonego z równań :
fµν = -2κ Iµν ; fµν
,ν = 0 (4.12)
gdzie : Iµν - wielkość związana róŜniczkowo ze źródłem (4.11), zgodnie z zasadą : Iµν = Jµν , nadajemy jej sens prądu tensorowego, zachowanego na mocy inwariantności względem cechowania i mającej związek jedynie z materią.
Jak widać z (4.12) równania tej teorii mają taką samą postać co linearyzowane równania Einsteina z warunkami
współrzędnościowymi Hilberta. Jeśli jednak „potencjał” fµν związać z metryką gµν w sposób liniowy, to nie otrzymamy wszystkich klasycznych efektów OTW o tych wartościach co w teorii Einsteina i w celu spełnienia koniecznego warunku odpowiedniości omawianej teorii z danymi eksperymentalnymi, jej autorzy wybrali złoŜoną i nieliniową zaleŜność między gµν , eµν a fµν :
gµν = eµν + fµν – ½ eµν fλ
λ + ¼ ( b1 fµλ + b2 fµν fλλ + b3 eµν fλρfλρ + b4 eµν fλλ fρρ ) (4.13) Właśnie zaleŜność (4.13) była nazwana „minimalną stałą strukturalną”.
Stałe parametry b1-4 określone są z wymogu zgodności newtonowskich wyraŜeń dla mas bezwładnej i grawitacyjnej, sferycznie symetrycznego ciała. Wymagamy tutaj konkretnej postaci źródła, wchodzącego do równania (4.12). W przybliŜeniu zerowym względem pola grawitacyjnego autorzy sugerują aby Iµν traktować jako tensor energii-pędu źródła :
Iµν ( fαβ = 0 ) = Tµν
W wyniku takiego utoŜsamienia razem ze specjalnie dobranym warunkiem (4.13) wszystkie efekty ruchu cząstek w polach grawitacyjnych przewidywane i opisywane przez OTW, są przewidywane i opisywane przez teorię o minimalnej stałej strukturalnej. Pewnym naturalnym wynikiem osiąganym przez ta teorię, jest znany wzór na moc promieniowania grawitacyjnego ( po raz pierwszy otrzymany w ramach OTW ) :
- d Є / dt = ( γ/45c5 ) D•••µν D•••µν
wykorzystywany, w szczególności dla uzgodnienia obliczeń i obserwacji, straty energii w układzie podwójnym PSR 1973 + 16, którego jednym ze składników jest pulsar.
Teoria Einsteina całkowicie zadowalająco objaśnia fakt przyspieszenia obrotu pulsara wokół swojego towarzysza, za pomocą utraty energii promieniowania grawitacyjnego, inne teorie prowadzą do wyników niezgodnych z obserwacjami ( w tym i teoria dwumetryczna Rosena [118], która przewiduje, pokazane przez Willa [16] zwiększenie okresu obrotu wzajemnego składników układu podwójnego PSR 1913+ 16 ).
Autorzy omawianej teorii podkreślają, zasadnicze róŜnicę występujące między ich teorią a teorią Einsteina. Podobnie jak Rosen [117], mówią oni o tym, Ŝe w ich teorii spełniona jest tylko szczególna zasada względności tj. w niej „jest mniej względności” niŜ w teorii Einsteina i „przy obecności oddziaływania wzajemnego z zewnętrznym polem grawitacyjnym prędkość światła, tak jak i prędkość ruchu dowolnych ciał nie jest stała”. Wnioski tego typu, podobnie jak w przypadku oryginalnej teorii bimetrycznej, mają charakter interpretacyjny. Abstrahując, bowiem od polowej koncepcji
maxwellowskiej łatwo jest dać i inną interpretacje tej teorii. W tym celu zastanówmy się nad jej matematyczną stroną.
Łatwo zauwaŜyć, Ŝe lagranŜjan(4.9) przedstawia sobą przybliŜenie liniowe einsteinowskiej funkcji Lagrange’a ( bez części dywergentnej ) : Gdzie pierwsza składowa przekształca się w zupełną dywergencje, przy warunku f µν, ν = 0 ( zawartym w teorii
minimalnej stałej strukturalnej ) :
f αν, ρ fαρ, ν = ( f αν, ρ fαρ ), ν - f αν, ρ, ν fαρ
tj. (4.16) jest równowaŜne (4.9). Wariując (4.16) oraz lagranŜjan źródła względem fµν dochodzimy do równań (4.12) – linearyzowanych równań Einsteina z warunkiem Hilberta. JednakŜe rozwiązania tych równań opisują tylko
newtonowskie efekty - metryka rozłoŜona w szereg z dokładnością tylko do członów liniowych względem funkcji zmiennych. Dodając do rozkładu (4.15) składowe o nieokreślonych współczynnikach, kwadratowe względem fµν moŜna osiągnąć zgodność teorii z quasinewtonowskim opisem znanych efektów grawitacyjnych. MoŜna powiedzieć, Ŝe ustanowienie takiego „minimalnego związku” jest pierwszym krokiem do iteracyjnej procedury Gupty [77] – zbudowania lagranŜjanu teorii Einsteina, konsekwentnie uwzględniającym w rozkładzie tensora metrycznego
składowych wyŜszego rzędu względem małego parametru. W tym sensie, teorię o minimalnej stałej strukturalnej moŜna traktować jako niesamozgodne pierwsze przybliŜenie einsteinowskiej OTW.
Interesującym w tym kontekście wydaje się, wykorzystany przez autorów tej teorii sposób wyprowadzenia tensora
„metrycznego” energii-pędu , pola grawitacyjnego tg µν , poprzez wariowanie lagranŜjanu względem metryki płaskiej
czasoprzestrzeni ( która w teorii minimalnej stałej strukturalnej jest tensorem i dlatego tg µν równieŜ posiada własność tensorową – jest to ogólna własność teorii dwumetrycznych ).
A poniewaŜ w charakterze lagranŜjanu wzięto tylko część lagranŜjanu teorii Einsteina ( lub jego 2-metrycznego
rozszerzenia w teorii Rosena [117] ) to i ogólne wyraŜenie dla tg µν posiada bardzo szczególny charakter ( wzory (7.8) i (7.9) w pracy [29] ), dlatego nie warto ich wprowadzać.
4.3 Tensor Papapetrou i jego związek z tensorem Bela-Robinsona.
Prostym rachunkiem D. E. Burlankow [15] zademonstrował, Ŝe jeśli pozostawać na pozycji dwumetrycznej, nie zmieniając wzorów teorii Einsteina, a jedynie przekształcić je toŜsamościowo nie ustalając na początku metryki porównawczej jako metryki płaskiej czasoprzestrzeni, to wynikiem wariacji funkcji Lagrange’a , postaci (4.13) ale zapisanej za pomocą dwumetrycznego przedłuŜenia tensorowego koneksji będzie wielkość wprowadzona przez Papapetrou (4.3) :
θµν = -2 δŦ/δeµν (4.17)
RóŜnica polega na tym, Ŝe pochodne cząstkowe w (4.3) zamienione zostają przez pochodne e-kowariantne a podnoszenie indeksów dokonuje się przez metrykę eµν. Zatem , w danym podejściu θµν okazuje się nie pseudotensorem , a tensorem właściwym. Jeśli w charakterze lagranŜjanu wykorzystać „całkowitą” krzywiznę skalarną, to w wyniku wariowania (4.17) nie zmieni się, poniewaŜ wariacja składowej dywergentnej, komutująca z e-kowariantna pochodną, powinna zerować się na granicach całkowania.
Odpowiednio w formalizmie 2-metrycznym θµν przedstawia sobą „e-metryczny” tensor energii pędu i pola grawitacyjnego oraz pól jego źródeł ( mogliśmy to zauwaŜyć przy interpretacji równania (4.3) we współrzędnych harmonicznych , zobaczymy to równieŜ przy rozkładzie θµν we współrzędnych riemannowskich )
Istnieje jeszcze jedna własność wyróŜniająca θµν pośród innych tensorów ( w teoriach bimetrycznych ) lub pseudotensorów ( w OTW ) – wielkość ta jest ściśle związana z tensorem superenergii Bela ( zobacz rozdział 2 ).
Garecki [21] badając rozłoŜenie pseudotensora Einsteina we współrzędnych riemannowskich, znalazł, Ŝe współczynnik rozkładu drugiego rzędu względem tych współrzędnych zawiera część składowych tensora Bela-Robinsona.
Analogiczną analizę przeprowadzono równieŜ dla tensora Papapetrou [40]. Tensor metryczny we współrzędnych riemannowskich [106] {yα }, geodezyjnych w 4-wymiarowym punkcie ( w zerze ), moŜemy rozłoŜyć w szereg zgodnie z zasadą :
gεω (y ) = ηεω – 1/3 Roεµων yµ yν - 1/3 Roελωµ; ν yµ yν yλ + (1/5!) ( - 6Roερωλ; ν ; µ + 16/3 Roµωνθ Roλερθ )
yµ yν yλ yρ + …. (4.18)
gdzie symbol o nad składową R oznacza, Ŝe jest ona obliczana w początku układu współrzędnych.
Zapisując pochodne cząstkowe rozłoŜonej w szereg Taylora gęstości kontrawariantnych składowych metryki : гστ
a następnie wyraŜając je przez pochodne składowych kowariantnych, wartości których w początku układu współrzędnych określamy z (4.18), dalej podstawiając je do zaleŜności definiującej tensor Papapetrou (4.3), otrzymujemy w przybliŜeniu zerowym i pierwszym względem współrzędnych :
θστ = Љo ατ + Љo στ , λ yλ
gdzie : Љατ - gęstość tensora energii-pędu źródła ( zawarty w tensorze Papapetrou ).
Obliczenia drugiego przybliŜenia są bardzo złoŜone w skrajnym przypadku wymagają one dwukrotnego zastosowania toŜsamości Bianchi oraz toŜsamości typu Lanczos’a. Obliczenia te upraszczają się nieco dla pustej czasoprzestrzeni, ich wynik jest następujący :
θστ = 1/3 ( Roµτρν Ro µλσν + Roµτλν Ro µρσν – 1/8 Ro αβµν Roαβµν η(στ ηλρ ) ) yλ yρ = (8π/3) T~στλρ yλ yρ (4.19) gdzie : T~(στλρ) = T~στλρ – inaczej mówiąc, całkowicie symetryczny współczynnik w przybliŜeniu drugiego rzędu we współrzędnych riemannowskich okazuje się z dokładnością do stałego czynnika tensorem superenergii Bela. Nie bacząc na trudności interpretacyjne tensora Bela-Robinsona, znaleziony jego związek z tensorem Papapetrou przedstawia się jako niezwykły.
4.4 Zastosowanie tensora Papapetrou w konkretnych obliczeniach.
Tensor Papapetrou jest bardzo dogodny dla obliczeń wielkości energetycznych w grawitacji. Aby to pokazać, rozpatrzymy kilka przykładów.
Wprowadzimy energię całkową pola Schwarzschilda we współrzędnych jednorodnych : ds2 = { [ 1 – (γm/2r) ]2 / [ 1 + (γm/2r) ]2 } dt2 - [ 1 + (γm/2r) ]4 ( dx2 + dy2 + dz2 )
Określając energię całkowitą jako : E =
∫
θ00 dV , znajdujemy za pomocą superpotencjału (4.4) : E = (1/2κ)∫
( г00, i + гij, j ), i dV = (1/2κ)
∮
( г00, i + гij, j ) dSi (4.20)
Z ds2 obliczamy :
г00, i = - г00, j = (γm/2){ [ 1 + (γm/2r) ]6 / [ 1 – (γm/2r) ]2 } [ 8 + (3γm/r) ] (xi / r) (4.21)
г00, j = - (γ2m2/2) (xi / r4 ) (4.21)
Podstawiając (4.21) do (4.20), otrzymujemy, Ŝe r → ∞ , E = m tj. dobrze znany i oczekiwany wynik.
Znajdziemy teraz wartość składowej z, momentu pędu pola Kerra we współrzędnych „quasikartezjańskich” : ds2 = ηµν dxµ dxν – [ (2γmρ3 ) / ( ρ4 – a2z4 )] { dt + [ ( ρx + ay)/ ( ρ2 – a2 )] dx + [ (ρy – ax) / ( ρ2 – a2 )]dy +
+ (z/ρ) dz }2 (4.22)
według zasady :
Ĺ =
∫
( x1θ20 – x2 θ10 ) dV = (1/2κ)∮
[ x1( g20, L – gL0, 2 ) – x2( g10, L – g0L, 1 ) + 2( g20 δL1- g10 δL2 )] dSL W której uwzględniono to, Ŝe wyznacznik macierzy w (4.22) jest równy –1.Na duŜych odległościach parametr a w porównaniu z parametrem ρ moŜemy zaniedbać, po prostych obliczeniach znajdujemy wymagane pochodne ( składowe „rotacji” g0i ) :
g10, 2 – g20
, 1 ≅ (2γma / ρ5 ) ( x2 + y2 – 2z2 ) g10, 3 – g30
, 1 ≅ 3γmayz / ρ5 g20, 3 – g30
, 2 ≅ - 3γmaxz / ρ5
Podstawiając te wyraŜenia razem z wyraŜeniem : c dSL = ρxLsinθ dφdθ , do wyraŜenia dla Ĺ , otrzymamy : L = ma.
Tensor Papapetrou moŜna zastosować równieŜ dla obliczenia energii słabych fal grawitacyjnych.
PokaŜemy teraz, ze taką charakterystykę energetyczną moŜna wykorzystać w celu określenia w teorii klasycznej, numerycznej wartości spinu fali grawitacyjnej [41].
Podobnie jak to moŜna zrobić w elektrodynamice, dla kołowo spolaryzowanej , płaskiej monochromatycznej fali – biorąc stosunek gęstości momentu pędu i energii pola otrzymując wartość spinu fotonu ( równy oczywiście jeden ) jako współczynnika stojącego przy odwrotności częstości kołowej ( co odpowiada zaleŜności kwantowej :
S/E = ħ/ ωħ = 1• ω-1 ), znajdujemy analogiczny dla słabej fali grawitacyjnej iloraz z polaryzacją kołową, zapewniający maksymalne przeniesienia spinu :
y22 = - y33 = A sinωξ , y23 = A cosωξ
gdzie : A = const. – amplituda zaburzenia metryki ; ξ = t – x – argument falowy.
Z toŜsamościowo przekształconych równań Einsteina , których lewa strona pokrywa się w tym przypadku z θµν w przybliŜeniu słabego pola, znajdujemy gęstość energii fali :
θ00 = E = ω2 A2 / 2κ
Gęstość spinu określamy za pomocą wielkości :
Чαµσ = (1/2k) ( gµσ gλρ - eµσ eλρ ) [ √-g ( gτµ δαλ - gαµ δτ
λ ) ] | ρ
Pojawiającej się w dwumetrycznym wariancie twierdzenia Noether [77] jako gęstość spinu uogólnionego pola grawitacyjnego. Jedyna składowa wektora gęstości spinu :
Sµ = Чαµστα eµτσ
Gdzie : τα – monada, eµνλ – 3-wymiarowy symbol Leviego-Civity Jest równa : S = S1 = ωA2 / κ
Budując spin-energetyczną zaleŜność | S/E | = 2ω-1 znajdujemy, Ŝe spin grawitonu jest równy 2ħ , co jest w pełni zgodne z wynikami teorii kwantowej.