Elektromagnetyzm i grawitacja
2.4 Równania pola i obserwable w formalizmie Lie-monadowym
2.4 Równania pola i obserwable w formalizmie Lie-monadowym.
Równania Maxwella. LagranŜjan pola elektromagnetycznego ze źródłami zapisujemy następująco :
Ŧem = - ¼ √-g Fµν Fµν - √-g jµ Aµ (2.22)
Wykorzystując 3+1-rozczepienie czasoprzestrzeni, przepiszemy go do postaci :
Ŧem = - ½ √-g ( Eµ Eµ - Bµ Bµ ) - √-g [ (1/N) ρAt + Aµ- jµ- ] (2.23)
gdzie : Eµ –wektor natęŜenia pola elektrycznego, Bµ –wektor indukcji magnetycznej,
√-g ρ = √-g jµ τµ – gęstość ładunków , √-g jµ – gęstość 3-prądu ( zobacz paragraf 2.3 ).
Wektory E, B wyraŜają się przez : At = Aµξµ i Aµ- [ zobacz równieŜ (2.9) ] :
Eµ = - (1/N) ( £ξ Aµ- + At, µ- ) (2.24)
Bµ = - eµνλ Aν-, λ- (2.25)
Równania Maxwella : Fαβ; β = -jα otrzymujemy z zasady wariacyjnej przy wariacji całki działania : t2
I =
∫
dt∫
Ŧem d3x t1 Σwzględem zmiennych : At i Aµ- :
(1 / √b ) ( √b Eα ) | α = ρ (2.26)
(1 / √b ) £ξ ( √b Eµ ) = - eµνλ ( NBν ) | λ – Njµ- (2.27)
Pozostałe równania Fα*β
; β = 0 , które są w istocie spełniane toŜsamościowo i nie są wyprowadzane z zasady wariacyjnej mają postać :
(1 / √b ) £ξ ( √b Bµ ) = eµνλ ( NEν ) | λ (2.28)
(1 / √b ) £ξ ( √b Bµ ) µ = 0 (2.29)
Przepiszemy teraz równania Maxwella, wprowadzając operacje div , rot :
div E = ρ (2.30)
rot B = ( 1/√-g ) £ξ ( √b E ) + j + B × G (2.31)
rot E = ( -1/√-g ) £ξ ( √b B ) + E × G (2.32)
div B = 0 (2.33)
Widać tu w sposób jawny wpływ układu odniesienia, który przejawia się w tym ,Ŝe w prawej części równań Maxwella pojawiają się efektywne źródła związane z przyspieszeniem układu odniesienia. Przypomnijmy, Ŝe w podejściu Lie-monadowym układ odniesienia nie rotuje. Równania Maxwella z uwzględnieniem rotacji podano w końcówce paragrafu 2.3.
Hamiltonowskie sformułowanie elektrodynamiki. Określmy gęstość pędu kanonicznego π, stowarzyszonego z A : πµ = ∂Ŧem /∂£ξ Aµ
ZauwaŜmy, Ŝe lagranŜjan pola E-M nie zaleŜy od £ξ At ,a zatem πt –pęd , stowarzyszony z At jest równy zeru. To oznacza, Ŝe w elektrodynamice mamy jedno równanie więzów ( wieŜ pierwotny zgodnie z terminologią Diraca [33-36] ) i pochodnej £ξ Aµ nie moŜna wyraŜać przez pędy.
Zgodnie z definicją (1.98) dla hamiltonianu pola E-M otrzymujemy wyraŜenie :
℘ = - ½ ( N /√b) ( πµ πµ - ¥ µ ¥ µ ) - At ( πµ | µ - √b ρ ) + √-g jµ- Aµ- (2.34) gdzie : ¥ = √b B a ℘ określone jest z dokładnością do 3-wymiarowej dywergencji.
Po uwzględnieniu równania więzów, zapiszemy działanie pola E-M ze źródłami : t2
I =
∫
dt∫
( πµ £ξ Aµ- + πt £ξ At – ℘ + λ πt ) d3x t1 Σgdzie : λ – nieokreślony mnoŜnik Lagrange’a.
Szukany układ równań otrzymujemy wariując działanie względem zmiennych : πt , At , Aµ- , πµ , w wyniku tej wariacji otrzymujemy :
£ξ Aµ- = - ( N /√b) πµ + At , µ- ; £ξ πt = πµ | µ - √b ρ = 0 (2.35)
£ξ At = -λ ; £ξ πµ = - eµνλ (NBν )| λ – √b jµ- (2.36) Układ ten opisuje pole E-M w podejściu hamiltonowskim. Zwróćmy uwagę na to, Ŝe jedno z równań Maxwella
πµ | µ - √b ρ = 0 prowadzi do zachowania więzu pierwotnego w czasie £ξ πt = 0. Równanie to nazywamy „równaniem drugiego więzu”. Równanie więzu pierwotnego πt = 0 otrzymujemy przy wariacji względem λ. Geometryczny sens tego więzu jest prozaiczny – generuje on przekształcenie cechowania pola E-M [ 5, 137]
Dokładne omówienie elektrodynamiki w płaskim świecie moŜna znaleźć w [1] i [137]. Istotną róŜnica naszego podejścia od wcześniejszych, jest wykorzystanie formalizmu Lie-monadowego, pozwalającego opisać ewolucje pola w dowolnych układach odniesienia bez rotacji.
Równania Einsteina. Dal swobodnego pola grawitacyjnego działanie buduje się z krzywizny skalarnej : t2
2κI I =
∫
dt∫
√-g R d3x (2.37)t1 Σ
Po wykluczeniu pochodnej zupełnej po czasie ( £ξ (√b χ ) ) i 3-wymiarowej dywergencji, lagranŜjan swobodnego pola grawitacyjnego zapisujemy w postaci :
Ŧg = √-g ( 3R + χµνχµν - χ2 ) (2.38)
Skąd, dla gęstości pędu kanonicznego otrzymujemy :
παβ = ∂Ŧg /∂£ξ bαβ = √b ( χαβ - bαβ χ ) (2.39)
I odpowiednio hamiltonian jest równy :
℘ = N [ ( 1/√b ) ( πµ πµ – ½ π2 ) - √b 3R ] (2.40) Aby otrzymać równania pola ze źródłami naleŜy do całki działania dodać lagranŜjan pól nie grawitacyjnych – źródeł pola grawitacyjnego. Równania Einsteina : Gα-β- = - κTα-β- otrzymujemy przy wariowaniu działania względem
3-wymiarowych bαβ i παβ . Przy tej operacji naleŜy uwzględnić to, Ŝe metryka nie tylko stanowi obiekt wariacji ale równieŜ określa geometryczną strukturę czasoprzestrzeni. PoniewaŜ wszystkie wielkości fizyczne powinny pozostawać na tej samej hiperpowierzchni, to wariacja metryki nie powinna zmieniać parametryzacji Σt. Skąd otrzymujemy : δpαβ = 0 ; δτµ = - τµ δln N ; δτβ = τβ δln N
ZauwaŜmy, Ŝe : δ£ξ = £ξ δ . Wypiszmy teraz równania Einsteina :
£ξ bαβ = 3δH/ ∂παβ = (2N/ √b ) ( παβ – ½ bαβ ∂ )
£ξ παβ = 3δH/ ∂bαβ = - N { ( 1/√b ) [ 2παγ πγβ - ππαβ – ½ bαβ ( πµ πµ – ½ π2 ) ] + √b [ 3Rαβ – ½ bαβ 3R +
+ bαβ Gµ; µ – Gα | β + Gα Gβ ) } - κ¶α-β- (2.41)
Równania : Gµντµ τν = - κTµντµ τν otrzymujemy przy wariacji działania względem funkcji wielkości N, mają one postać :
℘ + 2κ ¶µντµ τν = 0 (2.42a)
gdzie : ¶µν – gęstość symetrycznego tensora energii-pędu
Pozostałe równania Einsteina otrzymujemy z zasady wariacyjnej o ruchomej granicy wariowania. JeŜeli przy
wyprowadzaniu równań (2.41) załoŜyć, Ŝe wariacje metryki na Σ1 i Σ2 są równe zeru, to teraz juŜ tego nie zakładamy.
Będziemy zakładać jedynie, Ŝe ewolucja układu zachodzi zgodnie z równaniami pola i wariacja metryki nie prowadzi do deformacji Σt. W tym przypadku moŜna ją przedstawić w postaci :
δbµν = - £η bµν
gdzie : η – dowolny wektor przestrzenny.
Po uwzględnieniu tych uwag, znajdujemy :
παβ| β = - (κ/ N) ¶α-β τβ (2.42)
Równania więzów (2.42a) , (2.42b) nie zawierają drugich pochodnych po czasie wielkości bµν i odpowiednio, nie określają ewolucji 3-wymiarowej geometrii. Dynamicznymi są tylko równania (2.41), a pojawienie się więzów
spowodowane jest inwariantnością równań Einsteina względem ogólnych przekształceń współrzędnych. Sytuacja jest tu zupełnie analogiczna, do tej z elektrodynamiki. W miejsce jednego więzu mamy cztery, grupą cechująca jest
nieskończenie-parametryczna grupa przekształceń współrzędnych. Niestety z powodu nieliniowości tych równań, więzów w odróŜnieniu od elektrodynamiki nie udaje się rozwiązać. Stad wynika konieczność pracy z uogólnioną dynamiką hamiltonowską, uwzględniającą więzy w sposób jawny.
Zagadnienie Cauchy’ego w OTW i wydzielenie niezaleŜnych stopni swobody. W teoriach fizycznych rozróŜniamy zjawiska – opisywane przez teorię oraz arenę na której te zdarzenia się rozgrywają np. w STW będzie to przestrzeń Minkowskiego. W OTW sytuacja jest zupełnie inna – z jednej strony metryka opisuje grawitacje , z drugiej na mocy zasady równowaŜności opisuje ona równieŜ geometrię tj. działanie grawitacji. Stąd wynikają istotne osobliwości tej teorii jej nieliniowość, inwariantność względem grupy ogólnych przekształceń współrzędnych – występującej jako grupa cechująca, obecność więzów w formułowaniu warunków początkowych oraz brak jednego parametru czasowego ( teoria jest od początku zapisana z sparametryzowanej postaci )
Przy formułowaniu zagadnienia Cauchy’ego w OTW pojawiają się dwa zagadnienia : 1) gdzie zadawać warunki początkowe
2) jakie wielkości moŜna zadać dowolnie , a jakie powinny być ściśle określone.
Jeden z wariantów uogólnionej dynamiki hamiltonowskiej polega na tym ,aby zadawać warunki początkowe na hiperpowierzchni izotropowej [ 4; 46 str. 84 ; 145 ]. Alternatywa do niego jest zadanie warunków początkowych na powierzchni przestrzennopodobnej. Z fizycznego punktu widzenia pierwszy wariant jest bardziej uzasadniony, jednak pojawiają się w nim duŜe trudności matematycznej natury, związane z wprowadzeniem dla niego pojęcia pochodnej kowariantnej oraz krzywizny 3-wymiarowej przestrzeni, co wynika z tego , Ŝe metryka na hiperpowierzchni izotropowej jest osobliwa. Szczegółowe omówienie tych problemów moŜna znaleźć np. [ 46, str. 86 ]
Podejście drugie wywodzi się z prac : Diraca [33 – 36], Arnowitt’a-Deser’a-Misner’a (ADM) [5],
Schwinger’a [46, str. 67], DeWitt’a [24, 25]. W podejściu Lie-monadowym do OTW zagadnienie Cauchy’ego polega na tym , Ŝe mamy zadaną 3-wymiarową rozmaitość ℵ1 o określonych na niej warunkach początkowych ( 3-wymiarową metryką bαβ i krzywizną zewnętrzną χαβ lub bαβ i παβ oraz odpowiednimi warunkami początkowymi dla pól
niegrawitacyjnych – źródeł ) a szukamy 4-wymiarowej rozmaitości ℵ2 , włoŜenia f : ℵ1 → ℵ2 oraz metryki g na ℵ2 która spełniałaby równania Einsteina i dopuszczana była by przez warunki początkowe na f( ℵ1), przy czym f( ℵ1) jest powierzchnią Cauchy’ego dla ℵ2 [148].
Przeanalizujmy pytanie dotyczące stałości więzów w czasie przy załoŜeniu, Ŝe spełnione są one na hiperpowierzchni początkowej Σt0.
Równania więzów przedstawmy w postaci : Xµ- := Xµ-ν τν = 0 ; X = Xµν τµτν = 0 Gdzie :
Xµν = Rµν – ½ gµν R + κTµν
Z toŜsamości Bianchi wynika, Ŝe : Xµν ; ν = 0. Stąd po uwzględnieniu równań pola otrzymujemy : ( 1/√-g ) £ξ ( √b X ) + Xν- | ν = 0
( 1/√-g ) £ξ ( √b Xν ) - Gν X – Xσ- χν σ = 0
Ten układ równań moŜna rozpatrywać jako układ równań zwyczajnych wzdłuŜ kaŜdej ξ-linii. W tym celu wystarczy zapisać go w układzie współrzędnych normalnych Gaussa :
( 1/√-g ) d/dt ( √b X ) + Xν- | ν = 0
( 1/√-g ) d/dt ( √b Xν- ) – Xσ- χν σ = 0
Z warunku jednoznaczności istnienia rozwiązania dla tego układu równań wynika, Ŝe X = Xσ- = 0, jeśli warunek ten jest spełniony na hiperpowierzchni początkowej Σt0. PoniewaŜ równania ewolucji więzów zapisane są w postaci ogólnie kowariantnej, to otrzymany wynik jest słuszny w dowolnym układzie współrzędnych. Końcowy rezultat moŜemy wyrazić w postaci twierdzenia, będącego ogólnie kowariantnym uogólnieniem twierdzenia Sachs’a [ 46, str. 93].
Twierdzenie Niech ℵ1 będzie 3-wymiarową przestrzenią o ujemnie ( dodatnio ) określoną metryką bαβ , a χαβ – niech będzie symetrycznym tensorem określonym w tej przestrzeni i spełniającym równania więzów (2.42). Wtedy istnieje jedna i tylko jedna czasoprzestrzeń , dla której Xµ-ν- = 0 i która posiada izometryczną do ℵ1 3-wymiarową
podprzestrzeń w której χαβ – jest drugą formą podstawową.
ChociaŜ zmienne bαβ , παβ obrazują pełny układ danych Cauchy’ego nie stanowią one układu minimalnego
[ 46, str. 84 ; 148]. Z dwunastu wielkości bαβ , παβ , cztery moŜna wykluczyć z pomocą równań więzów, a z pozostałych ośmiu moŜemy wykluczyć dalsze cztery za pomocą warunków współrzędnościowych. W takim razie, pozostają nam cztery równania dynamiczne, które określają ewolucje układu o dwóch stopniach swobody [5]. Oprócz tego, równania Einsteina są nadmiarowe – opisują one dwa razy ta sama dynamikę, jeden raz za pomocą równań dynamicznych, drugi raz przez równania więzów [59]. W istocie – jeśli warunki początkowe spełniają na powierzchni Cauchy’ego równania więzów a ewolucja geometrii dokonuje się zgodnie z równaniami (2.41), to zmienne dynamiczne będą spełniały równania więzów przy przejściu do sąsiedniej hiperpowierzchni. Z drugiej strony, jeśli spełniają one równania więzów na dowolnej hiperpowierzchni przestrzennopodobnej, to z pewnością spełniają one i równania dynamiczne. Problem wydzielenia niezaleŜnych stopni swobody pola grawitacyjnego jest najtrudniejszy przy formułowaniu mechaniki hamiltonowskiej. Wkrótce omówimy róŜnorakie punkty widzenia na ten problem.
Podejście ADM [5]. W podejściu ADM 3+1-rozczepienia czasoprzestrzeni dokonuje się za pomocą cięcia : t = x0 = const. w którym x0 – jest czasem współrzędnościowym. Pędy kanonicznie stowarzyszone z 3-wymiarową metryką bij określane są standardowo, przez krzywiznę zewnętrzną :
χαβ : πij = √b ( χij - bij χ ) Hamiltonian zapisujemy w postaci : H =
∫
( NC0 + Ni Ci ) d3x Σtgdzie : C0 – więz hamiltonowski ; C0 = (1/√b ) ( πij πij – ½ π2 ) – ( √b )3 R Ci – więzy pędów ; Ci = 2πij | j
Funkcje N i Ni nazywane są odpowiednio : „funkcjami tempa i przesunięcia”, w istocie są to mnoŜniki Lagrange’a występujące m.in. w zasadzie wariacyjnej. Z geometrycznego punktu widzenia funkcje te określają w jaki sposób naleŜy przedłuŜać siatkę współrzędnościową przy przejściu od hiperpowierzchni Σt do Σt+δt : N zadaje nam związek między czasem własnym i współrzędnościowym : δτ = N(x)δt , Ni(x) – zadaje związek między współrzędnymi przestrzennymi : na Σt i Σt+δt : δxi = - Ni δt , gdzie Ni = bij Nj.
Działanie zapisujemy następująco :
I = (1/2κ)
∫
dt∫
( πij b•ij – NC0 – NiCi + 2κ Ŧf ) (2.43)Σt
gdzie : Ŧf - lagranŜjan pól niegrawitacyjnych, kropka oznacza róŜniczkowanie po czasie współrzędnościowym x0.
Uwaga. W formalizmie Lie-monadowym pochodna po czasie określona jest jako £ξ i związana jest z pochodną podejścia ADM zaleŜnością :
£ξ b•ij + bij , p Np + 2Np , ( jb i )p’
Ni = g0i ; ξµ = δµ0 + δµi Ni N = (g00 )-1/2
Równania dynamiczne Einsteina otrzymujemy przy wariowaniu (2.43) względem 3-wymiarowej metryki bij , a więzy po wariowaniu względem mnoŜników N i Ni. Wariowanie względem pędów πij prowadzi do standardowych zaleŜności między krzywizną zewnętrzną i pochodną po czasie ( pochodną Liego z kierunku ξ ) bij (1.81).
NiezaleŜne stopnie swobody w metodzie ADM są wydzielane w kilku etapach.
a) Przy załoŜeniu asymptotycznie płaskiej geometrii, równania więzów rozwiązywalne są dla 4 z 12 zmiennych
( bij , πij ). Wykonujemy to za pomocą rozbicia zmiennych na śladowe, poprzecznie-bezśladowe i podłuŜne a następnie
wykorzystujemy metody teorii perturbacji względem przestrzeni Minkowskiego. Deser [27] uogólnił tą metodę na przypadek dowolnej metryki tła.
b) Dokonujemy wyboru układu współrzędnych ( nałoŜenia warunków współrzędnościowych ). Warunki te w procedurze ADM mają postać : π = 0, bij , j = 0. W nieskończoności współrzędne ADM dąŜą do współrzędnych kartezjańskich, funkcja tempa do 1, a przesunięcie Ni do 0.
c) Dynamiczne ( niezaleŜne ) stopnie swobody utoŜsamiamy z poprzeczno-bezśladowymi składowymi metryki i pędów.
d) Niezerowy hamiltonian otrzymujemy po wydzieleniu zmiennych niezaleŜnych w procesie rozwiązywania więzów hamiltonowskich.
Aby określić energię układu nie ma konieczności rozwiązywania równań więzów. W więzach hamiltonowskich zawierają się liniowo, drugie pochodne 3-wymiarowej metryki ( w członie 3R ). Mogą one być wydzielone w postaci dywergencji :
H0 = -
∫
[ N√b bij bkL ( bik , j – bij , k ) ] , L d3x =∮
√b bij bkL ( bik , j – bij , k ) dsL Σt ∂Σt →∞w ostatniej całce zakładamy, Ŝe N asymptotycznie dąŜy do 1.
Zatem, „właściwy” hamiltonian otrzymujemy po wydzielaniu dywergencji :
H~ = H – H0 = 2κE (2.44)
A energia pola grawitacyjnego określona jest jako :
E = (1/2κ)
∮
√b bij bkL ( bik , j – bij , k ) dsL (2.45)∞
I dokładnie pokrywa się z hamiltonianem ADM, wyraŜonym przez zmienne zaleŜne. Zatem, energię moŜemy znaleźć z pomocą (2.45) a hamiltonianem i generatorem przesunięcia w czasie jest (2.44).
NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe wyraŜenie (2.45) jest niekowariantne i energię musimy obliczać w asymptotycznym układzie kartezjańskim.
Podejście Kuchara [59, 60]. W wariancie Kuchara dowolność w wyborze przekroju czasoprzestrzeni związany jest z procedurą wydzielenia niezaleŜnych stopni swobody. Dwanaście wielkości ( bij , πij ) rozbijamy na trzy grupy :
( bij , πij ) → ( XL , ΠL , Y ), gdzie cztery funkcje XL(x) opisują włoŜenie hiperpowierzchni przestrzennej i nazywają się
„współrzędnymi wewnętrznymi”. Funkcja X0 = T(x) określa „numer” hiperpowierzchni i odgrywa rolę czasu.
Współrzędne wewnętrzne pojawiają się równieŜ w metodzie ADM, jednak tam są one ustalone przez warunki współrzędnościowe.
Druga grupa zmiennych kanonicznych ΠL(x) zawiera zmienne kanonicznie stowarzyszone z współrzędnymi XL(x).
Zmienna Π0(x) interpretowana jest jako gęstość energii grawitacyjnej, a trzy wielkości Πi(x) – jako gęstość strumienia energii.
Trzecia grupa zmiennych składa się z dwóch par zmiennych kanonicznie stowarzyszonych : Y(x) = { gA(x) , πA (x) } , A = 1,2
Opisujących niezaleŜne stopnie swobody pola grawitacyjnego. Metoda Kuchara pozwala dokonać w ogólnej postaci, rozdzielnia zmiennych i sformułować takie pojęcia jak : energia i pęd. Jest ona szczególnie efektywna kiedy
czasoprzestrzeń posiada określony typ symetrii np. w przypadku kwantowania cylindrycznych fal Einsteina-Rosena.
Dalsze rozwiniecie tej metody zaprowadziło Kuchara do zbudowania teorii hiperprzestrzeni [59]. Hiperprzestrzeń definiujemy jako nieskończenie wymiarową rozmaitość wszystkich przestrzennopodobnych hiperpowierzchni , zanurzonych w daną czasoprzestrzeń Riemanna.
Konstrukcja hiperprzestrzeni jest następująca :
Niech f : f ( ℵ1) ⊂ ℵ2 będzie zanurzeniem 3-wymiarowej rozmaitości ℵ1 w 4-wymiarową rozmaitość ℵ2 . Obraz f ( ℵ1) określa pewną hiperpowierzchnie w ℵ2. Mamy tu jednak pewną niejednoznaczność, związaną z moŜliwością istnienia przestrzennych dyfeomorfizmów Diff ( ℵ1) nie naruszających naszego włoŜenia. Dlatego
hiperpowierzchnie f( ℵ1) określimy jako klasę równowaŜności włoŜeń f , określonych z dokładnością do przestrzennych dyfeomorfizmów φ :
h = { f = f0 ° φ | φ ∈ Diff ( ℵ1) }
Wszystkie włoŜenia f, opisujące przestrzenne hiperpowierzchnie w ( ℵ2 , g ) obrazują nieskończenie wymiarową rozmaitość ℵ3 = { f | g(τ, τ) = ε } , τ - wersor normalny do hiperpowierzchni, ε = ± 1 ( w zaleŜności od sygnatury metryki g ), Rozmaitość ℵ3 nazywamy „przestrzenią zanurzeniową”.
Hiperprzestrzeń H, składająca się ze zbioru wszystkich hiperpowierzchni, określamy jako przestrzeń ilorazową : H = ℵ3 / Diff ( ℵ1).
W dynamice pól tensorowych odgrywa ona taką sama rolę jak czas w dynamice cząstek. Riemannowska struktura czasoprzestrzeni indukuje bogatą strukturę geometryczną na H. Rozczepienie ( foliacja) ℵ2 na przestrzenne hiperpowierzchnie obrazowana jest jako krzywa w H i moŜe odpowiadać 3+1-rozczepieniu z przecinającymi się hiperpowierzchniami. Rzuty pola tensorowego na kierunek normalny i styczny obrazują wiązkę włóknistą hipertensorów nad hiperpowierzchnią. Dynamika hiperpowierzchni mówi, w jaki sposób punkt tego pola porusza się wiązce włóknistej, przy czym ruch ten odpowiada ruchowi punktu bazowego w hiperprzestrzeni. Pełny wykład H-teorii moŜna znaleźć w pracach Kuchara( 1976).
Podejście Yorka [50- 52] Grawitacyjne stopnie swobody opisywane są przez poprzeczno-bezśladowe części pędów, przy czym :
a) zagadnienie Cauchy’ego określone jest wartościami bij , πij na hiperpowierzchni początkowej. Wielkości opisujące prędkość i przyspieszenie, względem danego przekroju przestrzennopodobnego nie wchodzą do wartości początkowych.
b) dla danej 3-geometrii pędy πij mogą być rozłoŜone w sposób ortogonalny i kowariantny, na części : poprzecznie-bezśladową i bezśladową
c) skalar : τ = 2/3 b-1/2 π przedstawia sobą „czas“ parametryzujący hiperpowierzchnię. Według takiego czasu moŜemy mierzyć prędkość zmiany lokalnego elementu objętości dV, względem czasu własnego.
d) wartościami niezaleŜnymi są : metryka konforemna b~ij = b-1/3 bij , poprzeczna-bezśladowa część pędów πij TT.
( gęstość tensorowa o wadze 5/3 ) oraz skalar τ. Zmienne te są inwariantne względem przekształceń konforemnych 3-wymiarowej metryki b~ij→ bij φ4 ( φ(x) > 0 ). Zmienne zaleŜne określane przez równanie więzów to : współczynnik konforemny φ oraz wektor przestrzennopodobny W, generujący podłuŜną część pędów µij :
πij = πij TT + µij + sqrt( ½g ) τ gij (2.46)
µij =∇i Wj + ∇j Wi – 2/3 bij ∇a Wa (2.46)
π~ijTT := b1/3 πijTT ; π~ijTT bij = 0 ; π~ijTT | j = 0 (2.46)
W takim razie, w podejściu Yorka obecna jest klasa geometrii konforemnie równowaŜnych.
Rozpatrzmy teraz w jaki sposób zmienia się postać więzów hamiltonowskich przy przekształceniu konforemnym 3-wymiarowej metryki : bij = φ4
Gdzie : ∆° φ – 3-wymiarowy laplasjan względem metryki bazowej ( po raz pierwszy równanie to otrzymał Lichnerowicz [64] ). RóŜnica w znaku w analogicznym wyraŜeniu u Yorka związana jest z definicją tensora Ricciego.
Po uwzględnieniu przekształcenia konforemnego więz hamiltonowski moŜemy przepisać następująco : b°-1
Dokładniejsze omówienie problemu wydzielenia niezaleŜnych stopni swobody w podejściu Yorka moŜna znaleźć w jego oryginalnych pracach ( do których podano odsyłacze, jak równieŜ w [73] )
2+1+1-podejście. Procedura wydzielenia niezaleŜnych stopni swobody pola grawitacyjnego w ramach 2+1+1-podejścia do dynamiki hamiltonowskiej została wprowadzona w [18, 20]. W cechowaniu kinemetrycznie-inwariantnym równania więzów rozczepiane są za pomocą jednostkowego przestrzennopodobnego pola wektorowego L ( rozwinięcie tych idei w ramach podejścia Lie-monadowego podane było w paragrafie 1.6 ). Sześć składowych tensora metrycznego :
bµν = gµν
NiezaleŜne stopnie swobody utoŜsamiane są ze zmiennymi γ*ξη
i kanonicznie do nich stowarzyszonymi pędami π*ξη. W przypadku fal płaskich i cylindrycznych, konforemnie inwariantna część 2-metryki pokrywa się ze zmiennymi niezaleŜnymi, otrzymanymi w innych podejściach. Omawiane podejście jest w wielu przypadkach dogodne i płodne.
Omówienie róŜnorodnych cechowań ( 2+2 , 2+1+1 itd. ) włączając w to powierzchnie izotropowe i formułowanie zagadnienia Cauchy’ego – zobacz [ 4, 18, 32].