Przyczynowość, horyzonty, nieskończoności

7.1 Przyczynowość, horyzonty, nieskończoności.

Ta okoliczność, Ŝe Ŝyjemy w świecie o nieokreślonej metryce, prowadzi do nieoczekiwanych następstw.

Po pierwsze w czasoprzestrzeni jest określone lokalnie pojęcie stoŜka świetlnego. Zgodnie z naszym wyborem sygnatury metryki ( + - - - )punkty leŜące wewnątrz stoŜka świetlnego oddzielone są od jego czubka interwałem ds2 >0 , punkty leŜące na zewnątrz – interwałem ds2 < 0.

Obecność stoŜka świetlnego ściśle związana jest równieŜ z prędkością graniczną rozprzestrzeniania się sygnałów – prędkością światła w próŜni. Zdarzenia ( punkty na diagramie czasoprzestrzennym ), znajdujące się wewnątrz stoŜka, mogą być związane związkiem przyczynowo-skutkowym ze zdarzeniem które zaszło na czubku stoŜka, zdarzenia leŜące na zewnątrz stoŜka takim związkiem nie mogą być związane. Zatem, istnienie stoŜka świetlnego oraz prędkości

granicznej prowadzi do zasady lokalnej przyczynowości, na mocy której zdarzenia mogą być związane związkiem przyczynowo-skutkowym, jeśli mogą one być połączone krzywą czasopodobną lub izotropową ( zerową ). PoniewaŜ stoŜek jest obiektem konforemnie inwariantnym, to zmiana struktury przyczynowej sprowadza się faktycznie do badania geometrii konforemnej rozmaitości ℵ. Zagadnienia globalnej przyczynowości są trudne w przedstawieniu dlatego teŜ po szczegóły odsyłamy czytelnika do [101, 148].

W celu badania struktury nieskończoności Penrose rozwinął technikę konforemną. Podstawowa idea polega na tym ,aby od rozmaitości fizycznej ℵ ( czasoprzestrzeni ) za pomocą konforemnego przekształcenia metryki : g^ = Ω2g przejść do rozmaitości nie fizycznej ℵ^ o brzegu ℘ , na którym czynnik konforemny Ω zeruje się. Nieskończoności przedstawiamy za pomocą punktów brzegu ℘ i zamiast badania pól fizycznych w nieskończoności badamy ich obrazy w pobliŜu ℘.

Dla przestrzeni Minkowskiego rozmaitość ℵ^ przedstawiana jest w postaci diagramu Penrose’a ( rys. 7.1 ).

Rys. 7.1 Diagram Penrose’a dla Rys. 7.2 Pojawienie się horyzontu cząstek w przypadku kiedy ℑ- jest czasoprzestrzeni Minkowskiego przestrzennopodobna : 1 – stoŜek świetlny przeszłości , 2 – linia świata cząstki, niewidocznej z punktu p, 3 – linia świata cząstki widocznej z p 4 – horyzont cząstek w punkcie p.

KaŜdy punkt którego przedstawia sobą 2-sferę, oprócz punktów I± , I0 oraz punktów r = 0 ( linia przerywana ), osobliwość r = 0 jest osobliwością współrzędnych. Brzeg składa się z pięciu kawałków :

℘ = I- ∪ ℑ- ∪ I0 ∪ ℑ+ ∪ I+

Kawałki brzegu mają następujący sens :

1) I± - czasowa nieskończoność w przyszłości + , w przeszłości –. Obrazy krzywych czasopodobnych rozpoczynają się

2) ℑ± ( czytaj „skraj” ) - izotropowa nieskończoność w przyszłości + , w przeszłości –. Obrazy krzywych izotropowych rozpoczynają się w ℑ- a kończą w ℑ+.

3) I0 - nieskończoność przestrzennopodobna. Obrazy krzywych przestrzennopodobnych rozpoczynają się i kończą w I0.

W pewnych przypadkach części brzegów ℑ- i ℑ+ mogą być powierzchniami nieizotropowymi. Dla modeli kosmologicznych opisywanych przez rozwiązania równań Einsteina z członem λ, jeśli λ > 0 to ℑ będzie

przestrzennopodobna, a jeśli λ < 0 to ℑ będzie powierzchnią czasopodobną [101]. Jedno z takich rozwiązań dla λ < 0 jest rozwiązaniem deSittera drugiego rodzaju. Przestrzennopodobny charakter ℑ jest ściśle związany z obecnością horyzontu cząstek oraz horyzontu zdarzeń, które to właśnie omówimy ( dla przypadku obserwatora geodezyjnego ).

Horyzont cząstek [ 101, 115, 148] pojawia się kiedy ℑ- jest powierzchnią przestrzennopodobną ( rys. 7.2). Rozpatrzmy zbiór obserwatorów, których linie świata przecinają ℑ- i wybierzemy jednego z nich. Niech jego linia świata zadana będzie krzywą γ(τ). Jak widać z rysunku, dla części z obserwatorów istnieje moŜliwość przekazu informacji do punktu P, jednak dla niektórych takiej moŜliwości nie ma. Obserwator w punkcie P ich po prostu nie widzi. W miarę podróŜowania do przyszłości horyzont cząstek rozszerza się tj. moŜna zobaczyć coraz więcej cząstek (obserwatorów ).

Jeśli powierzchnia ℑ jest izotropowa jak np. w przestrzeni Minkowskiego ( zobacz rys. 7.1), horyzont cząstek nie występuje. W istocie bowiem, linie świata cząstek rozpoczynają się z punkcie ℑ- a kończą w punkcie ℑ+ , zatem wszystkie one znajdują się wewnątrz stoŜka przeszłości o początku na γ(τ).

Horyzont zdarzeń [ 101, 115, 148] pojawia się I+ - przestrzennopodobna powierzchnia ( rys. 7.3 ). Jest jasne, ze stoŜek zerowy przeszłości, przedstawiony na rysunku, dzieli czasoprzestrzeń na dwie części, przy czym zdarzenia zachodzące na zewnątrz tego stoŜka są niedostępne dla obserwatora. Zatem horyzont zdarzeń określa brzeg między zdarzeniami, które obserwator moŜe zobaczyć oraz zdarzeniami, których nigdy nie zobaczy.

MoŜe wydawać się, Ŝe pojawianie się tych horyzontów dotyczy egzotycznych przypadków, jednak juŜ w przestrzeni Minkowskiego w układzie odniesienia przyspieszonego obserwatora pojawia się horyzont zdarzeń. Na diagramie czasoprzestrzennym linie świata obserwatorów poruszających się ze stałym przyspieszeniem w przestrzeni

Minkowskiego, przedstawione są w postaci hiperboli ( rys. 7.4 ). Z tej przyczyny ruch jednostajnie przyspieszony bywa nazywany ruchem hiperbolicznym. Na prawej półpłaszczyźnie ( obszar I )linie X przedstawiają linie świata

obserwatorów poruszających się w dodatnim kierunku osi x, a na lewej półpłaszczyźnie ( obszar III ) - w ujemnym kierunku osi x.

Linie stałego parametru T określają zdarzenia, jednoczesne we własnym układzie odniesienia przyspieszanego obserwatora. Dla tego obserwatora, horyzont zdarzeń przyszłości określony jest równaniem :

x = t ( X = 0, T = ∞ )

a horyzont zdarzeń przeszłości – równaniem : x = -t ( X = 0, T = -∞ )

Rys. 7.3 Pojawienie się horyzontu zdarzeń przyszłości ( przeszłości ) 1- horyzont zdarzeń przeszłości, 2- horyzont zdarzeń przyszłości.

Rys. 7.4 Układ odniesienia własny obserwatora, poruszającego się ze stałym przyspieszeniem w przestrzeni Minkowskiego.

Rys. 7.5 Pojawienie się horyzontu zdarzeń przyszłości dla przyspieszanego obserwatora ( linia świata L ) : H+e – horyzont zdarzeń przyszłości, Γ - linia świata obserwatora geodezyjnego, ℑ+ - powierzchnia izotropowa.

W pierwszym przypadku informacja moŜe zostać przekazana z obszaru I do obszaru II, a w drugim z obszaru IV do obszaru I, odwrotny przekaz jest niemoŜliwy. Na diagramie ( rys. 7.5) linie świata przyspieszonego obserwatora moŜna przedstawić jako linie, która kończy się w ℑ+ a nie w I+.

W związku z postawieniem zagadnienia Cauchy’ego w OTW pojawiają się pojęcia : obszaru Cauchy’ego, powierzchni Cauchy’ego i horyzontu Cauchy’ego [148].

Obszar Cauchy’ego przyszłości D+(ℵ1) określamy jako zbiór punktów dla których krzywe przestrzennopodobne, wychodzące z nich w przeszłość, przecinają daną hiperpowierzchnię przestrzennopodobną ℵ ( rys. 7.6). W analogiczny sposób wprowadzamy pojęcie obszaru Cauchy’ego przeszłości. Jeśli D-(ℵ1) ∪ D+(ℵ1) = ℵ2 , to ℵ2 nazywamy

„powierzchnią Cauchy’ego”. Zatem na powierzchni Cauchy’ego moŜemy zadawać dane początkowe i w szczególności, przez rozwiązanie odpowiednich równań, opisywać całą ewolucje układu, dla którego zadane są te dane początkowe.

Brzeg obszaru Cauchy’ego nazywamy „horyzontem Cauchy’ego H±”.

W przypadku przestrzeni Minkowskiego powierzchnia przestrzennopodobna x0 = const. jest powierzchnią Cauchy’ego, jednak przestrzennopodobna powierzchnia Σ, leŜąca wewnątrz stoŜka świetlnego przeszłości, nie jest taką powierzchnią.

Związane jest to z tym, Ŝe normalna do Σ ( wektory czasopodobne ) przecinają się w wierzchołku stoŜka ( rys. 7.7).

Przykładem rozwiązań w którym nie występują powierzchnie Cauchy’ego są rozwiązania w postaci fal płaskich otrzymanych przez Peierls’a :

ds2 = Fdu2 + dudv - dy2 - dz2

Dowód został przeprowadzony przez Penrose’a [100].

Horyzont Killinga – powierzchnia na której czasopodobne pole wektorów Killinga jest polem izotropowym. Z

czasopodobną kongruencją Killinga moŜemy związać sztywny układ odniesienia, co wynika z tego, Ŝe tensor prędkości deformacji jest dla niej równy zeru. Zazwyczaj w tym kontekście rozpatrujemy układy wyspowe i wybieramy ta kongruencje Killinga, która aŜ do przestrzennej nieskończoności jest czasopodobna. Wtedy moŜna mówić o obserwatorach ( i cząstkach ) spoczywających względem nieskończenie oddalonego obserwatora. Jest jasne, Ŝe na horyzoncie Killinga stan spoczynku w takim układzie jest niemoŜliwy ( taki „spoczynek” sprowadzałby się do ruchu z prędkością światła ). Zatem horyzont Killinga moŜemy nazwać równieŜ ”granicą stacjonarności”, poniewaŜ dowolny obiekt znajdujący się na horyzoncie Killinga ( lub pod tym horyzontem ) porusza się względem nieskończenie oddalonego obserwatora w skrajnym przypadku z prędkością światła, a promieniowanie które rozchodzi się od takiego obiektu, z punktu widzenia obserwatora w nieskończoności posiada nieskończone przesunięcie ku czerwieni. ( w związku z tym pojawia się jeszcze jedna nazwa : „powierzchnia nieskończonego przesunięcia ku czerwieni” ) ZauwaŜmy, Ŝe tam gdzie horyzont Killinga jest powierzchnią czasopodobną , cząstki mogą przenikać go w obu kierunkach. Przeciwnie do „horyzonty zdarzeń” , który „pracuje” jako półprzepuszczalna membrana – cząstki ( a nawet światło ) mogą przenika taki horyzont tylko w jednym kierunku. W zasadzie taka własność horyzontu zdarzeń moŜe słuŜyć jako jego definicja tj. moŜemy zdefiniować horyzont zdarzeń jako powierzchnię graniczną, dla której cząstki znajdujące się w jego pobliŜu mogą jeszcze uciec do nieskończoności.

Rys. 7.6 Obszar Cauchy’ego D+ i horyzont Cauchy’ego H+.

Rys. 7.7 Przykład powierzchni Cauchy’ego.

Zapoznamy się teraz z pewnymi rozwiązaniami równań Einsteina, w których spotykamy się z róŜnorodnymi typami horyzontów.

Rozwiązanie Schwarzschilda. Rozwiązanie to opisuje pustą czasoprzestrzeń na zewnątrz sferycznie symetrycznego rozkładu materii. W odróŜnieniu od przestrzeni Minkowskiego nie moŜna go pokryć jedną siatką współrzędnościową, W przypadku kiedy rozwiązanie Schwarzschilda rozpatrujemy jako rozwiązanie dla pustej przestrzeni nie tylko dla

obszarów większych od pewnej odległości r0 = 2m ( nazywanej promieniem grawitacyjnym ), ale równieŜ dla obszarów r < r0 , to otrzymujemy rozwiązanie opisujące czasoprzestrzeń o osobliwości w punkcie r = 0. Takie maksymalne rozszerzenie rozwiązania Schwarzschilda przedstawiono na diagramie Penrose’a ( rys. 7.8 ). Z rysunku tego widać, Ŝe mamy dwa wszechświaty oraz diw osobliwości. Sytuacja ta jest analogiczna do tej którą otrzymujemy w układzie przyspieszonego obserwatora w przestrzeni Minkowskiego ( zobacz rys 7.4 ). Osobliwość ma charakter

przestrzennopodobny. Horyzont zdarzeń określony jest równaniem r = r0. Obserwator który wpadnie pod horyzont zdarzeń nie moŜe wrócić zpowrotem – jest on skazany na upadek do osobliwości.

Rozwiązanie Reissnera-Nordströma. Rozwiązanie to opisuje czasoprzestrzeń na zewnątrz sferycznie symetrycznego, naładowanego elektrycznie ciała. Jest ono statyczne i charakteryzuje się dwoma parametrami : ładunkiem elektrycznym e i masą m. Jeśli e2 > m2 , to metryka jest nieosobliwa wszędzie, za wyjątkiem punktu r = 0, i otrzymane rozwiązanie opisuje przypadek „gołej osobliwości” tj. czarną dziurę bez horyzontu ( zobacz równieŜ paragraf 7.2 ). Oczywiście tak jaki i w przypadku rozwiązania Schwarzschilda, mamy na uwadze rozwiązanie opisujące czasoprzestrzeń bez innych źródeł. W przypadku e2 < m2 rozwiązanie Reissnera-Nordströma posiada horyzont Cauchy’ego oraz horyzont zdarzeń ( rys. 7.9 ). Diagram Penrose’a dla tego rozwiązania rozciąga się nieograniczenie do góry i na dół tj. mamy nieskończony zbiór obszarów I, II, III. W odróŜnieniu os osobliwości typu Schwarzschilda, osobliwość rozwiązania

Reissnera-Nordströma jest czasopodobna. Stwarza to bogate moŜliwości dla „podróŜy” w inne światy. Obserwator moŜe spaść pod horyzont zdarzeń, przelecieć obok osobliwości i „wylecieć” w innym wszechświecie. Niestety nie moŜe on nas

poinformować o wynikach swojej podróŜy poniewaŜ własność horyzontu zdarzeń nie pozwala mu na powrót do naszego wszechświata. Jak widać z rysunku, zewnętrzny horyzont – jest to horyzont zdarzeń, horyzont wewnętrzny jest to horyzont Cauchy’ego. Dla danego rozwiązania, powierzchnia nieskończonego przesunięcia ku czerwieni pokrywa się z horyzontem zdarzeń.

Rys. 7.8 Diagram Penrose’a dla rozwiązania Schwarzschilda : linie izotropowe nachylone są pod kątem ± π/2 L – linia świata obserwatora, który spadł pod horyzont zdarzeń r = r0 i który nieuchronnie spadnie na osobliwość przyszłości co wynika przestrzennopodobnego charakteru horyzontu zdarzeń.

Rys. 7.9 Diagram Penrose’a dla rozwiązania Reissnera-Nordströma ( e2 < m2 ):

1 – horyzont Cauchy’ego , 2 – horyzont zdarzeń , 3 – linia świata obserwatora podróŜującego z jednego wszechświata do drugiego wszechświata , linie r = 0 to osobliwości.

Rozwiązanie Kerra. Jest to jedno z najpopularniejszych rozwiązań. Opisuje ono stacjonarną czasoprzestrzeń na zewnątrz masywnego rotującego obiektu i jest jedynym ścisłym rozwiązaniem opisującym pola obiektów

astrofizycznych, które w sposób naturalny zawsze rotują. ( Nie rozwaŜamy tutaj rozwiązania Kerra-Newmana w którym uwzględnia się oprócz rotacji takŜe ładunek elektryczny ). Rozwiązanie Kerra określone jest przez dwa parametry : momentem pędu oraz masą m. Zwykle zakłada się odniesienie momentu pędu do jednostki masy , oznaczając taka wielkość literką a. Podobnie jak dla rozwiązania Reissnera-Nordströma moŜliwe jest istnienie gołej osobliwości jeśli a2 > m2. Osobliwość istotna umiejscowiona jest w początku układu współrzędnych i nie ma charakteru punktowego, ma ona postać pierścienia. W rozwiązaniu Kerra występują trzy horyzonty : horyzont Cauchy’ego, horyzont zdarzeń, horyzont Killinga ( granica stacjonarności ). Obszar między horyzontem Killinga i horyzontem zdarzeń nazywamy

„ergosferą”. Nazwa ta jest związana z tym ,Ŝe z ergosfery moŜemy pobierać energię. Wynika to z tego, Ŝe horyzont Killinga nie jest półprzepuszczalną membraną ( w odróŜnieniu od horyzontu zdarzeń ) tj. cząstki mogą go przenikać w obu kierunkach. PoniewaŜ pod granicą stacjonarności wektor Killinga ∂t jest przestrzennopodobny moŜemy znaleźć takie orbity po których poruszające się cząstki mają ujemną energię. Penrose pokazał następujący sposób pobierania energii z czarnej dziury. Niech ciało materialne wpada do ergosfery i rozpada się na dwie części. Jedna z tych części posiadająca ujemną energię wpada do czarnej dziury, drugi opuszcza ergosferę i ulatuje ku nieskończoności. Na mocy prawa zachowania energii ciało opuszczające ergosferę będzie miało większą energię niŜ ciało, które początkowo wpadło do niej. W analogiczny sposób moŜemy zwiększyć amplitudę fali wpadającej do ergosfery. Diagram Penrose’a opisujący metrykę Kerra jest praktycznie taki sam jak w przypadku metryki Reissnera-Nordströma ( zobacz rys. 7.9). RóŜnica sprowadza się do tego, Ŝe do rys. 7.9 naleŜy dodać po drugiej stronie osobliwości ( linie faliste )obszar „ujemnej”

przestrzeni w postaci tradycyjnych trójkątów, posiadających nieskończoności. (* zobacz rys 16.6 w tekście pt. „Podstawy Ogólnej Teorii Względności” – przypis własny *)

Wejście w te obszary jest moŜliwe w przypadku ruchu na płaszczyźnie równikowej ( przy θ ≠ π/2 ), kiedy uda się przeniknąć osobliwość typu pierścienia. Podobnie jak dla metryki Reissnera-Nordströma osobliwość pola Kerra równieŜ posiada działanie odpychające, które teraz przejawia się równieŜ w ujemnej przestrzeni

( wyrzut do przestrzeni dodatniej ). (* własność odpychającą naleŜy rozpatrywać w kontekście białej dziury – przypis własny *)