Quasigrupowe podejście do praw zachowania

W STW w przestrzeni Minkowskiego w sposób naturalny działa grupa przekształceń Poincar’ego. Jednak próby jej uogólnienia na zakrzywioną czasoprzestrzeń prowadzą do grup nieskończenie parametrycznych. Przykładowo przy badaniu struktury asymptotycznej czasoprzestrzeni pojawiają się nieskończone grupy symetrii :

grupa Bondiego-Metznera-Sachsa , Spi-grupa i inne ( zobacz rozdział 7 ). JuŜ w płaskim świecie sytuacja jest analogiczna dla przekształceń od jednego poruszającego się dowolnie układu odniesienia do innego takiego układu odniesienia. W ostatnim czasie pojawiły się prace rzucające nowe światło na te problemy. Batalin [8] ( chyba jako pierwszy ) wprowadził pojecie „quasigrupy przekształceń”. Jej podstawową róŜnicą od zwykłej grupy jest to, Ŝe narusza ona prawo łączności mnoŜenia elementów grupy w postaci charakterystycznej dla grup przekształceń. W miejsce tego aksjomatu wprowadza się zmodyfikowane prawo „łączności” - w quasigrupie przekształceń, iloczyn jest quasiłączny.

Batalin pokazał równieŜ, Ŝe w wielu częściach teoria grup Liego, moŜe być przeniesiona z odpowiednimi zmianami na rozpatrywany przypadek.

Prosty przykład quasigrupy przekształceń pojawia się z mechanice hamiltonowskiej z więzami. Jeśli w przestrzeni fazowej działa grupa przekształceń, to okazuje się , ze na powierzchniach spełniających równania więzów indukuje ona , ogólnie mówiąc, quasigrupę przekształceń [8]. Interesujące, Ŝe w przypadkach kiedy nieskończona grupa Liego

zadawana jest przez AS-układ tj. liniowy i jednorodny układ równań róŜniczkowych, dla których komutator dwóch pól wektorowych ( rozwiązań tego układu ) jest równieŜ rozwiązaniem [94], jest ona skończenieparametryczną quasigrupą.

Rozwój geometrii w ostatnich latach ujawnił głęboki związek między niełączymi algebraicznymi i róŜniczkowo-geometrycznymi strukturami. L. W. Sabilin [121] pokazał, Ŝe rozmaitość o koneksji liniowej moŜna rozpatrywać jako algebrę szczególnej postaci ( w ogólnym przypadku niełączną ) o szczególnych operacjach. W tej konstrukcji waŜną role odgrywają lewe geodezyjne grupy w których iloczyn jest nie łączny. Bardzo istotne jest przy tym to, ze brak łączności jest algebraicznym równowaŜnikiem krzywizny i skręcenia.

Quasigrupy przekształceń. Niech p ∈ ℵ1 – będzie pewnym punktem na rozmaitości ℵ1 ( rozmaitość ℵ1 teraz nie koniecznie jest czasoprzestrzenią ), zadanym w mapie lokalnej przez współrzędne {xi }, i = 1, 2, 3 , .. , n.

Oprócz tego niech będzie zadane n niewiadomych funkcji fi ( x, θ ), gdzie parametry θa ( a = 1,2, ..., r ) są istotne tj. rząd macierzy ∂fi/ ∂θa jest równy r. Równania x’i = f ’( x, θ) dla kaŜdego ustalonego zbioru parametrów { θa } określają przekształcenie punktu p(x) w punkt p’(x’). Na mocy załoŜenia o niezaleŜności funkcji fi ( x, θ ) jakobian przekształcenia jest róŜny od zera i odpowiednio istnieje przekształcenie odwrotne xi = fi ( x’, θ ).

W dalszej części będziemy zakładali, Ŝe funkcje fi ( x, θ ) posiadają odpowiedni stopień gładkości względem współrzędnych i parametrów.

Symbolicznie przekształcenia współrzędnych zapiszemy następująco :

x' = x Tθ (3.55)

Zbiór przekształceń {Tθ } tworzy ciągłą quasigrupę przekształceń, jeśli : 1) zadane jest prawo mnoŜenia przekształceń : 3) istnieje przekształcenie odwrotne : x = x’ Tθ -1

4) przekształcenie T0 : x T0 = f (x, 0) – jest toŜsamościowe.

ZaleŜności te określają działanie prawostronne quasigrupy na ℵ1 , analogicznie określamy działanie lewostronne.

Jak widać z definicji iloczyn w quasigrupie , w odróŜnieniu od grupy zaleŜny jest od punktów rozmaitości ℵ1.

Generatory infinitezymalnych przekształceń określamy za pomocą zaleŜności :

Γa = ( ∂f i (x, θ ) /∂θa ) | θ = 0 ∂/∂xi = Ria (x) ∂/∂xi (3.56) przy czym przy ich komutowaniu pojawiają się nie stałe strukturalne , a funkcje strukturalne :

[ Γa , Γb ] = Cc

Twierdzenie [8] Niech będą dane dwie funkcje Ccab i Ri

a , spełniające równania (3.58), wtedy lokalnie quasigrupa przekształceń powstaje jako rozwiązanie układu równań róŜniczkowych :

∂x-i / ∂θa = Rid ( x- ) λda ( θ, x) (3.59)

x-j = xj (3.59)

( ∂λab / ∂θc ) – ( ∂λac /∂θb ) + Cade ( x- ) λdc λeb = 0 (3.60)

λab ( 0, x) = δab (3.60)

(* symbol x-i naleŜy czytać „x z daszkiem o indeksie górnym i – przypis własny *)

Układ równań (3.59) jest analogiem równań Liego, a układ (3.60) – warunki całkowalności – są one analogiem równań Maurera-Cartana w teorii grup Liego.

Dalsze omówienie ograniczymy do infinitezymalnych wariantów wprowadzonej teorii. Będziemy zakładali, Ŝe quasigrupa przekształceń działa na rozmaitości P, mającej strukturę przestrzeni włóknistej tj. lokalnie P = ℵ1 × F gdzie : ℵ1 – baza ( teraz jest to czasoprzestrzeń ) , F – włókno. Dla naszych celów wystarczy rozpatrzyć przypadek

„globalnego quasigrupowego rozwłóknienia” tj. sytuacje kiedy włókno F jak i rozmaitość pokrywa się ze quasigrupą strukturalna Q. Niech {xα } – będą lokalnymi współrzędnymi na ℵ1 a {yA } – lokalnymi współrzędnymi na Q;

α = 0, 1, 2, 3 , A = 1, 2, .. , n

Wtedy kaŜdy punkt p ∈ P posiada współrzędne (x, q ) = ( xα , yA ) , x ∈ℵ1 , q ∈ Q.

Włókno F ≡ Qx określamy jako : Qx = π-1(x) , gdzie : π – rzut kanoniczny działający na współrzędnych lokalnych w naturalny sposób : π(x, q) = x.

Infinitezymalna quasigrupa przekształceń opisana jest całkowicie przez jej generatory Γi oraz funkcje strukturalne Cpij :

[ Γi , Γj ] = Cp ij Γp

indeksy : i, j, p przyjmują nowy zbiór wartości ( α, A).

Oznaczmy generatory, styczne do włókna ( tj. wektory pionowe ) ŁA : ŁA = LB

A (x, y) ∂/∂yB (3.61)

A pozostałe cztery generatory, działające na bazie : Tα = bρ

α (x, y) ∂/∂yρ + BAB (x, y) ∂/∂yA (3.62)

Po takim rozbiciu zbioru generatorów na dwie grupy, zaleŜności komutacyjne przyjmą postać : [ Tα , Tβ ] = Cρ

Aby komutator pionowych pól wektorowych, stycznych do włókna, pozostawał wektorem pionowym koniecznie musimy wymagać aby : CαAB = 0.

Dalsze uproszczenie sytuacji moŜemy uzyskać jeśli załoŜyć, Ŝe : CBαA = 0. Warunek ten jest naturalnym w teorii wiązek włóknistych i oznacza, Ŝe komutator generatorów „translacji” i „obrotów” wyraŜony się przez generatory translacji rozsądnie jest zachować i w przypadku quasigrupowego rozwłóknienia. Oczywiście moŜliwe są sytuacje kiedy warunek ten nie jest spełniony, my jednak nie będziemy ich rozpatrywali. Jeśli uwzględnimy te załoŜenia zaleŜności komutacyjne (3.63) przyjmą postać :

Podstawowa róŜnica rozwłóknienia quasigrupowego od grupowego ujawnia się w zaleŜności funkcji strukturalnych od punktów włókna i w tym przejawia się niełączność iloczynu elementów strukturalnych quasigrupy. W przypadku kiedy taka zaleŜność nie występuje, quasigrupowe główne rozwłóknienie przechodzi w zwykłe rozwłóknienie.

Mamy podstawy uwaŜać, Ŝe brak asocjatywności jest miarą nie tylko krzywizny ale równieŜ oddziaływania wzajemnego np. w mechanice statystycznej korelacje między wielkościami przypadkowymi opisującymi zachowanie układu,

prowadzą do struktur nieasocjatywnych ( quasigrupowych ). Tylko przy braku jakichkolwiek korelacji , charakteryzujących oddziaływanie fizyczne w szerokim sensie, znika niasocjatywność tych struktur.

Quasigrupaprzekształceń afinicznych ( zdeformowana grupa Liego ). Postępując za Smrz’em [126] wprowadzimy pojęcie zdeformowanej grupy Liego. Niech G – będzie grupą Liego , G’ – podgrupą , G’ ⊂ G. ZałoŜymy, Ŝe algebra Liego podgrupy G’ rozpięta jest na wektorach XA , A = 1, 2 ... n, a wektory Xa , a = n + 1, ... , N dopełniają bazę do bazy zupełnej. Stałe strukturalne grupy G określamy z zaleŜności :

[ XA , XB ] = CD

Mówimy, Ŝe grupa G jest „zdeformowana” względem podgrupy G’ , jeśli : 1) Istnieją funkcje rzeczywiste BAa określone na rozmaitości grupowej.

2) Wektory : XA i X~

a = Xa + BA

a XA tworzą bazę przestrzeni stycznej w kaŜdym punkcie rozmaitości grupowej 3) ZaleŜności komutacyjne między XA i X~

a są takie jak w niezdeformowanej grupie tj. : [ XA , X~

a ] = CB

Aa XB + Cb Aa X~

b

Rozpatrzmy grupę przekształceń afinicznych A( 4, R). W tym przypadku generatory obrotów afinicznych Łab naleŜą do algebry grupy GL( 4, R) i spełniają zaleŜności komutacyjne :

[ Łab , Łc

Smrz [126] badał deformacje grupy A(4, R) w której zachodzi deformacja podgrupy translacji : Ta = Ta + Bc ab Łb

c i pokazał, Ŝe funkcje Bcab określają koneksje afiniczną tj. deformacja grupy przekształceń afinicznych okazuje się równowaŜna przejściu od R4 do rozmaitości o koneksji afinicznej.

Niech xµ – będzie dowolnym układem współrzędnych : xµ = xµ (xa), gdzie xa – są współrzędnymi kanonicznymi na rozmaitości grupowej ( w tych współrzędnych generatory translacji zapisuje się nadzwyczaj prosto : Ta = ∂/∂xa ) Wtedy :

[ T~µ , T~ν ] = ( daµ Bbνa - daν Bbµa ) dλα T~λ + ( ∂µ Baνb - ∂ν Baµb + Baµc Bcνb - Baνc Bcµb ) Łbc (3.67) gdzie : daµ = ∂xa /∂xµ ; T~µ = daµ T~a ; Baµb = dcµ Bacb

Rozpatrzmy pewne cięcie σ(x) , σ ∈ GL(4, R). We współrzędnych xµ opisywane jest ono za pomocą macierzy : gbµ = σbc dcµ , skąd po podstawieniu jej do (3.67), otrzymamy :

ed cf zgodnie z ogólną ideą deformacji pozostają niezmienione.

( W danym przypadku indeks kolektywny A przedstawia się w postaci indeksu podwójnego ba ) Niech gbµ – będzie bazą tetradową na rozmaitości, wtedy wielkości :

Γσ

moŜemy rozumieć jako współczynniki koneksji na bazie naturalnej ( współrzędnościowej ).

Funkcje strukturalne Cba

µν = Rabµν określają współczynniki tensora krzywizny w bazie mieszanej, a funkcje : Cσµν = Γσ

νµ - Γσ

µν = - Tσ µν

Są składowymi tensora skręcenia. W ten sposób, geometria grupy zdeformowanej przekształceń afinicznych jest równowaŜna geometrii rozmaitości o koneksji afinicznej. Oprócz tego z porównania zaleŜności (3.64) - (3.66) z zaleŜnościami komutacyjnymi dla grupy zdeformowanej przekształceń afinicznych wynika, Ŝe jest ona przypadkiem szczególnym quasigrupy przekształceń określonej powyŜej. Wyniki uzyskane przez Smrz’a pokazują ,Ŝe przy obecności krzywizny i skręcenia zachodzi naturalna deformacja generatorów translacji za pomocą obrotów.

Quasigrupy przekształceń i prawa zachowania. Ogólna analiza twierdzenia Noether została przeprowadzona we wcześniejszych paragrafach. W tej chwili zastanowimy się dokładniej nad pewnymi nowymi elementami wnoszonymi przez teorię quasigrup przekształceń. Jak juŜ zauwaŜyliśmy, quasigrupy przekształceń pozwalają oddzieli obroty od translacji – przesunięcia stanowią o deformacji w czym przejawia się działanie krzywizny.

Wybór cięcia w rozwłóknieniu oznacza konkretyzacje układu odniesienia w czasoprzestrzeni ( jeŜeli oczywiście rozpatrujemy rozwłóknienie nad czasoprzestrzenią ) Niewątpliwą dogodnością podejścia quasigrupowego do praw zachowania, w porównaniu z podejściem grupowym jest to, Ŝe w tym pierwszym w miejsce nieskończonej liczby praw zachowania ( najczęściej spotykana i najtrudniejsza do analizy sytuacja ) otrzymujemy ich skończoną liczbę, przy czym mają one konkretną zawartość fizyczną. Jeśli chodzi o konkretną zawartość twierdzenia Noether, to jak łatwo zauwaŜyć nie zmienia się ona wraz z przejściem do quasigrup. Jeśli rozpatrywać przekształcenia współrzędnych i pól zawierające w sobie odpowiednio przekształcenia quasigrupowe współrzędnych i cechowania, to z wymogu inwariantności

lagranŜjanu względem tych przekształceń wynika skończona liczba praw zachowania postaci : шα ( ξa ) ,α = 0 , gdzie : ξa – generatory przekształceń infinitezymalnych.

Przykładowo w przypadku rozwłóknienia ortonormalnych reperów O(ℵ1) generatory ŁA [ zobacz (3.61)] odpowiadają za infinitezymalne przekształcenia Lorentza, a Tα [ zobacz (3.62)] odpowiadają z infinitezymalne translacje. Stąd wynika quasigrupowe uogólnienie grupy Poincare’go

( struktura tej quasigrupy omówiona jest szczegółowo w rozdziale 5). ZauwaŜmy jeszcze, Ŝe quasigrupa Poincare’go w naturalny sposób związana jest z układem odniesienia pojedynczego obserwatora.

Rozdział 4