A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
2.11 Bryły podobne
PRZYKŁAD 1.
Obliczmy stosunek pól powierzchni całkowitej oraz stosunek objętości sześcianów podob-nych w skali k = 3.
Jeśli długość krawędzi sześcianu będzie równa a, to długość krawędzi sześcianu podobnego do niego w skali k = 3 będzie równa b = 3a.
Obliczamy pola powierzchni całkowitej tych sześcianów.
P1= 6a2, P2 = 6 · (3a)2= 54a2
P2
P1 = 54a6a22 = 9 = 32
Stosunek pól powierzchni sześcianów jest równy 32. Obliczamy objętości sześcianów.
V1= a3, V2 = (3a)3= 27a3
V2
V1 = 27aa33 = 27 = 33
Stosunek objętości tych sześcianów jest równy 33.
Każde dwa sześciany są podobne.
Każde dwa czworościany foremne są podobne.
Dwa prostopadłościany są podobne, jeśli długości krawędzi jednego prostopadłościanu są proporcjonalne do długości odpowiednich krawędzi drugiego prostopadłościanu.
Dwa graniastosłupy proste są podobne, jeśli ich podstawy są wielokątami podobnymi w skali k i stosunek długości krawędzi bocznych tych graniastosłupów jest równy k.
Dwa ostrosłupy są podobne, jeśli ich podstawy są wielokątami podobnymi w skali k i stosunek długości odpowiednich krawędzi bocznych tych ostrosłupów jest równyk.
Dwie bryły są podobne, jeśli odległości między dowolnymi punktami A i B jednej bryły są proporcjonalne do odległości między odpowiednimi punktami A1iB1drugiej bryły:
|AB|
|A1B1| = k, k>0. Stosunek odległości między odpowiednimi punktami brył podobnych nazywamy skalą podobieństwak.
Definicja
ĆWICZENIE 1.
Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość sześcianu podobnego do sześcianu o kra-wędzi długości 8 cm w skali:
a) k = 3, b) k = 0,25, c) k =3 2.
ĆWICZENIE 2.
Dane są dwa czworościany foremne o objętościach 81
√3
2 cm3i27
√3
2 cm3. Wyznacz skalę podobieństwa tych czworościanów. Oblicz ich pola powierzchni całkowitej.
PRZYKŁAD 2.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy, która podzieliła każdą krawędź boczną ostrosłupa na połowy. Wykażmy, że ostrosłup w ten sposób odcięty jest podobny do danego ostrosłupa, oraz obliczmy stosunek objętości tych ostrosłupów.
Przyjmijmy, że w ostrosłupie ABCS krawędź podstawy ma długość a oraz krawędź boczna – długość b.
Płaszczyzna równoległa do podstawy ABC ostrosłupa dzieli jego krawędzie boczne AS, BS i CS na połowy i odcina II cechy podobieństwa trójkątów (bkb) ΔKMS ∼ ΔACS w skali k = 12.
Podobnie można wykazać, że ΔMLS ∼ ΔCBS oraz ΔLKS ∼ ΔBAS w skali k = 12. Zatem podstawa ostrosłupa KLMS jest podobna do podstawy ostrosłupa ABCS w skali k = 12. Stosunek długości krawędzi bocznych ostrosłupów też jest równy 1
2.
Jeżeli bryła F1jest podobna do bryły F2w skali podobieństwa k, k>0, to stosunek pól powierzchni tych brył jest równy kwadratowi skali podobieństwa, natomiast stosunek objętości tych brył jest równy sześcianowi skali podobieństwa.
PF1
PF2 = k2, VF1
VF2 = k3
Twierdzenie
2.11. Brył y podobne
Wobec tego wykazaliśmy, że ostrosłup KLMS jest podobny do ostrosłupa ABCS w skali k = 12.
VKLMS VABCS =1
2
3
= 18
Objętość ostrosłupa KLMS jest osiem razy mniejsza od objętości ostrosłupa ABCS.
Objętość ostrosłupa ściętego ABCKLM stanowi 78 objętości ostrosłupa ABCS.
ĆWICZENIE 3.
Oblicz pole powierzchni i objętość kuli podobnej do kuli o promieniu R w skali:
a) k = 4, b) k = 0,5.
1.Stożek o objętości 27πcm3przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Płaszczyzna ta podzieliła wysokość stożka w stosunku 2:1, jeśli patrzy się od wierzchołka stożka.
Jedna z otrzymanych w ten sposób brył ma objętość większą od drugiej bryły. Objętość ta wynosi
A. 15πcm3 B. 18πcm3 C. 19πcm3 D. 21πcm3 2.Jeżeli stosunek pól powierzchni całkowitej dwóch ostrosłupów podobnych wynosi 3
4, to stosunek objętości tych ostrosłupów jest równy
A. 3
√3
8 B.
√3
2 C. 9
16 D. 27
64
3.Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 cm, a jego wysokość jest równa 8 cm. Ostrosłup do niego podobny ma wysokość równą 6 cm.
Oblicz pola powierzchni całkowitej i objętości tych ostrosłupów.
4.Pole powierzchni całkowitej pierwszego sześcianu jest dziewięciokrotnie większe od pola powierzchni drugiego sześcianu.
a) Oblicz stosunek objętości tych sześcianów.
b) O ile procent objętość drugiego sześcianu jest mniejsza od objętości pierwszego?
c) O ile procent objętość pierwszego sześcianu jest większa od objętości drugiego?
Z A D A N I A
Dwa walce są podobne, jeśli ich podstawy są kołami podobnymi w skali k oraz stosunek ich wysokości jest równy k.
Dwa stożki są podobne, jeśli ich podstawy są kołami podobnymi w skali k oraz stosunek ich wysokości jest równy k.
Każde dwie kule są podobne. Skala podobieństwa kul jest równa stosunkowi ich promieni.
5.Szczelny pojemnik w kształcie prostopadłościanu ma wymiary podstawy 30 cm i 50 cm oraz wysokość równą 20 cm. Ten pojemnik jest w 80% wypełniony wodą i przestrzeń, którą zajmuje woda, jest prostopadłościanem. Czy przestrzeń, którą zaj-muje woda po przewróceniu pojemnika na inną ścianę, i przestrzeń początkowa są bry-łami podobnymi?
6.Dane są dwie kule. Obwód koła wielkiego pierwszej kuli jest równy 14π, a obwód ko-ła wielkiego drugiej kuli to 18π. Oblicz stosunki pól powierzchni i objętości tych kul.
7.Objętość gumowej piłki zwiększyła się o 25% po dopompowaniu. O ile procent zwięk-szyła się powierzchnia piłki?
8.Stożek o objętości 81πcm3przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Oblicz ob-jętość stożka ściętego, jeżeli płaszczyzna podzieliła wysokość stożka w stosunku 3 : 5, jeśli patrzy się od:
a) podstawy stożka, b) wierzchołka stożka.
9.Płaszczyzny równoległe do podstawy stożka podzieliły jego wysokość na trzy równe odcinki. Oblicz stosunek objętości powstałych brył.
10.Stożek o objętości 60π cm3 i wysokości 6 cm przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i odległą od niej o 2 cm. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
1.Dane są dwa stożki podobne. Jeden z nich ma objętość 16 razy większą od drugiego. Stosunek pola powierzchni całkowitej większego stożka do pola powierzchni całkowitej mniejszego stożka wynosi
A. 43
4 B. 83
3 C. 3
256 D. 8
3
2.Sześcian o krawędzi a przecięto równoległymi płaszczyznami. Pierwsza płaszczyzna zawiera środki krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka, a druga – przekątne trzech ścian mających wspólny wierzchołek. Oblicz objętość każdej z trzech powstałych brył.
3.Krawędź czworościanu foremnego wykonanego w skali 1:12 ma długość 2 cm.
Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość czworościanu przed zmniejszeniem.
4.Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 24 cm podzielono płaszczyznami równoległymi do podstawy na trzy części, których wysokości są równe. Ściana boczna ostrosłupa nachylona jest do podstawy pod kątem o mierze 60◦. Oblicz objętość każdej z trzech otrzymanych brył.
5.Obwody kół wielkich dwóch kul są równe 14πcm i3,5πcm. Oblicz skalę podobieństwa tych kul. Wyznacz stosunki pól powierzchni i objętości tych kul.
BANK ZADAŃ z. 128–131» » » 2.11. Brył y podobne