A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
2.12 Bryły wpisane i opisane
Graniastosłup wpisany w walec
PRZYKŁAD 1.
Obliczmy pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątne-go wpisanetrójkątne-go w walec o wysokości H = 18 cm i promieniu podstawy r = 8 cm.
Podstawa graniastosłupa jest trójkątem równobocznym wpisanym w okrąg o promieniu r = 8 cm. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym r = a√33, zatem a = 8
3 [cm].
Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Pc = 2Pp+Pb = 2 ·(8√3)42√3+3 · 8
3 · 18 =
= 528 3 [cm2].
Obliczamy objętość graniastosłupa.
V = Pp· H = (8√3)42√3 · 18 = 864
3 [cm3].
ĆWICZENIE 1.
Oblicz objętość sześcianu wpisanego w walec o promieniu podstawy r = 25 dm.
Graniastosłup opisany na walcu
Graniastosłup prosty jest opisany na walcu, jeżeli podstawy graniastosłupa są wielokątami opisanymi na podstawach walca.
Definicja
Graniastosłup jest wpisany w walec, jeżeli podstawy graniastosłupa są wielokątami wpisanymi w podstawy walca.
Definicja
PRZYKŁAD 2.
Obliczmy objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego opisanego na walcu o średnicy podstawy d = 14 dm, jeśli przekątna graniastosłupa jest nachylona do podsta-wy pod kątem o mierze 60◦.
Podstawą graniastosłupa jest kwadrat. Ponieważ jest on opi-sany na okręgu o średnicy d = 14 dm, to długość krawędzi podstawy jest równa a = d = 14 dm.
Pole podstawy Pp= a2 = 142= 196 [dm2].
Obliczamy wysokość graniastosłupa.
tg 60◦= d√H2,
3 = 14H√2, stąd H = 14 6 [dm].
Obliczamy objętość graniastosłupa.
V = 196 · 14
6 = 2744 6 [dm3]
ĆWICZENIE 2.
Oblicz pole powierzchni całkowitej walca wpisanego w sześcian o krawędzi 40 cm.
Stożek wpisany w walec
PRZYKŁAD 3.
Obliczmy pole powierzchni bocznej stożka wpisanego w walec o wysokości 24 cm, jeże-li kąt między tworzącą stożka a tworzącą walca ma miarę 30◦.
Obliczamy długość tworzącej stożka.
cos 30◦ = Hl,
√3
2 = 24l , stąd l = 16 3 [cm].
Obliczamy promień podstawy stożka.
sin 30◦= rl, 1
2 = 16r√3, stąd r = 8 3 [cm].
Pole powierzchni bocznej stożka Pb= πrl =π· 8
3 · 16
3 = 384π[cm2].
ĆWICZENIE 3.
Oblicz stosunek pola przekroju osiowego stożka wpisanego w walec do pola przekroju osiowego walca, jeżeli promień podstawy walca jest trzykrotnie krótszy od wysokości walca.
Stożek jest wpisany w walec, jeżeli podstawa stożka pokrywa się z jedną podstawą walca, a wierzchołek stożka jest środkiem drugiej podstawy walca.
Definicja
2.12. Brył y wpisane i opisane
Walec wpisany w stożek
PRZYKŁAD 4.
Walec o promieniu podstawy 2 cm i wysokości 3 cm jest wpisany w stożek, w którym kąt rozwarcia ma miarę 60◦. Obliczmy objętość stożka.
Rozważmy przekrój osiowy stożka i walca.
Ponieważ miara kąta rozwarcia stożka jest równa 60◦, to |<)ACD| = |<)AHE| = 30◦. tg 30◦ = |AE||EH|,
√3
3 = |AE|3 , |AE| = 3 [cm]
Promień podstawy stożka r = 2+ 3 [cm].
ΔAEH ∼ ΔADC, więc |EH||AE| = |AD||DC|,
√3
3 = √3H+2, H
3 = 3 3+6, stąd H = 3+2
3 [cm].
Obliczamy objętość stożka.
V = 13πr2H = 13π 2+
32 3+2
3
= 13π
45+26 3
[cm3]
Kula wpisana w walec
Kula jest wpisana w walec, jeżeli ma punkty styczności z podstawami walca oraz promień kuli jest równy promieniowi podstawy walca.
Definicja
Walec jest wpisany w stożek, jeżeli jedna podstawa walca jest zawarta w podstawie stożka, a druga jest przekrojem poprzecznym stożka.
Definicja
PRZYKŁAD 5.
Obliczmy stosunki objętości oraz pól powierzchni kuli wpisanej w walec i walca.
Jeżeli w walec można wpisać kulę, to jego przekrój osiowy jest kwadratem, więc H = 2r i R = r.
VK = 43πR3= 43πr3, VW=πr2H =πr2· 2r = 2πr3
VK
VW =
4 3πr3 2πr3 = 46πr3
πr3 = 23
PK = 4πR2= 4πr2, PW = 2πr(r+H) = 2πr(r+2r) = 6πr2
PK
PW = 46πr2
πr2 = 23
Stosunki objętości oraz pól powierzchni kuli wpisanej w walec i walca są równe oraz wynoszą 2
3.
ĆWICZENIE 4.
Objętość kuli wpisanej w walec wynosi 4000π
3 cm3. Oblicz objętość walca.
ĆWICZENIE 5.
Pole powierzchni całkowitej walca jest równe 216π dm2. Oblicz pole powierzchni kuli wpisanej w ten walec.
Walec wpisany w kulę
PRZYKŁAD 6.
Walec jest wpisany w kulę o objętości V = 2563πcm3. Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do podstawy pod kątem o mierze 30◦. Obliczmy objętość walca.
Obliczamy promień kuli.
256π
3 = 43πR3, R3= 2563 ·34 = 64, czyli R = 4 [cm].
Obliczamy wysokość H walca i promień r jego podstawy.
sin 30◦= 2RH, więc H = 2R sin 30◦ = 2 · 4 ·12 = 4 [cm].
cos 30◦ = 2R2r, czyli r = R cos 30◦= 4 ·√23 = 2 3 [cm].
Objętość walca VW =πr2H =π 2
32
· 4 = 48π[cm3].
Walec jest wpisany w kulę, jeżeli podstawy walca są przekrojami kuli.
Definicja
2.12. Brył y wpisane i opisane
Kula wpisana w wielościan (wielościan opisany na kuli) i kula opisana na wielościa-nie (wielościan wpisany w kulę)
Z definicji wynika, że kula może być wpisana w prostopadłościan wtedy i tylko wtedy, gdy jest on sześcianem. Średnica takiej kuli jest równa długości krawędzi sześcianu.
PRZYKŁAD 7.
Obliczmy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w który jest wpisana kula o promieniu R = 3 dm.
Kula jest wpisana w graniastosłup, więc jego wysokość H = 2R = 6 dm. Przekrój grania-stosłupa płaszczyzną równoległą do jego podstaw, zawierającą koło wielkie kuli, jest trój-kątem równobocznym, w który jest wpisany okrąg o promieniu R = 3 dm.
Ponieważ promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości a wynosi R = a√63, to 3 = a√63, a = 6
3 [dm].
Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Pc = 2Pp+Pb = 2 ·a24√3+3aH =
= 2 ·
6√ 32
·√ 3
4 +3 · 6 3 · 6 =
= 36 · 32√3+108
3 = 162 3 [dm2]
ĆWICZENIE 6.
Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz długość przekątnych graniastosłupa prawidłowe-go sześciokątneprawidłowe-go, jeżeli kula wpisana w ten graniastosłup ma objętość 500π
3 cm3.
PRZYKŁAD 8.
Wyraźmy objętość graniastosłupa pięciokątnego w zależności od pola powierzchni całko-witej tego graniastosłupa i promienia kuli wpisanej w ten graniastosłup.
Środek kuli łączymy z wierzchołkami graniastosłupa. W ten sposób dzielimy graniastosłup na siedem ostrosłupów, których podstawami są ściany graniastosłupa (5 ścian bocznych i 2 podstawy).
Kula jest wpisana w wielościan (wielościan jest opisany na kuli), jeżeli kula ma punkt styczności z każdą ścianą tego wielościanu. Kula jest opisana na wielościanie
(wielościan jest wpisany w kulę), jeżeli wszystkie wierzchołki wielościanu należą do powierzchni kuli.
Definicja
Niech P1, P2,..., P7 oznaczają pola ścian graniastosłupa.
Objętość graniastosłupa równa się sumie objętości siedmiu ostrosłupów, z których każdy ma wysokość równą promieniowi kuli wpisanej R.
Wobec tego V = 13P1· R+ 13P2· R+...+ 13P7· R =
= 13(P1+P2+...+P7) · R = 13Pc· R, czyli V = 13Pc· R.
ĆWICZENIE 7.
Oblicz objętość kuli wpisanej w graniastosłup prosty trójkątny, którego podstawą jest trój-kąt o bokach długości 5 cm, 6 cm i 7 cm.
1.W kulę o objętości 32πcm3wpisano graniastosłup prawidłowy czworokątny. Przekątna tego graniastosłupa ma długość
A. 8
2 cm B. 43
3 cm C. √36
9 cm D. 12
6 cm 2.Przekątna przekroju osiowego walca wpisanego w kulę ma długość 8
2 dm. Pole powierzchni kuli, w którą wpisany jest walec, wynosi
A. 64
2πdm2 B. 128πdm2 C. 512
√2
3 πdm2 D. 256πdm2 3.Wyznacz pole powierzchni całkowitej i objętość walca opisanego na kuli, której pole
powierzchni jest równe 4π.
4.W kulę o promieniu R wpisano walec, którego wysokość H = R. Oblicz stosunek obję-tości kuli do objęobję-tości walca.
5.W kulę o promieniu R = 16 cm wpisano stożek. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka, jeżeli środek kuli znajduje się w podstawie stożka.
Z A D A N I A
Jeżeli w wielościan wypukły można wpisać kulę, to promień R tej kuli wyraża się wzorem R = 3VP
c, gdzie V to objętość wielościanu wypukłego, Pc– pole powierzchni całkowitej wielościanu wypukłego.
Twierdzenie
2.12. Brył y wpisane i opisane
6.Oblicz objętość kuli opisanej na graniastosłupie prostym o wysokości 20 cm, którego podstawa jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości 12 cm i 16 cm.
7.Oblicz promień kuli wpisanej w ostrosłup prawidłowy czworokątny, jeżeli jego podsta-wą jest ściana sześcianu o krawędzi długości 8 dm, a wierzchołkiem – punkt przecię-cia przekątnych sześprzecię-cianu.
8.Oblicz pole powierzchni kuli opisanej na ostrosłupie prawidłowym czworokątnym, je-żeli krawędź podstawy jest równa 10 cm, a krawędź boczna – 5
3 cm.
9.Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość walca opisanego na graniastosłupie pra-widłowym sześciokątnym, którego wszystkie krawędzie mają długość a.
10.W stożek o promieniu podstawy r = 24 cm oraz tworzącej l = 39 cm wpisano ostro-słup prawidłowy trójkątny. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostroostro-słupa.
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
1.Na graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym, którego wszystkie krawędzie mają długość a, opisano kulę. Objętość tej kuli jest równa
A. 5
√5π
6 a3 B.5πa2 C.
√3π
4 a3 D. 6
√3π 2 a3
2.Stożek, którego promień podstawy jest równy 5, wpisano w kulę o promieniu 10.
Oblicz objętość tego stożka. Rozważ różne przypadki.
3.Oblicz promień kuli wpisanej w ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędź podstawy ma długość 16 dm, a wysokość jest równa 10 dm.
4.W stożek, którego kąt rozwarcia ma miarę 120◦, wpisano walec o promieniu podstawy 2
3 dm i wysokości 4 dm. Oblicz objętość stożka.
5.W kulę o polu powierzchni 20πcm2wpisano sześcian. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu.
6.W graniastosłup prawidłowy trójkątny wpisano kulę o polu powierzchni 64π. Oblicz długości krawędzi graniastosłupa.
BANK ZADAŃ z. 132–139» » »
ZESTAW I – poziom podstawowy Zadanie 1. (1 p.)
Krawędzie boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są A. prostopadłe do podstawy.
B. równej długości.
C. nachylone do podstawy zawsze pod kątem o mierze 60◦. D. równoległe do siebie.
Zadanie 2. (1 p.)
Graniastosłup prosty sześciokątny ma
A. 6 ścian. B. 12 krawędzi.
C. 12 wierzchołków. D. 12 krawędzi bocznych.
Zadanie 3. (1 p.)
Przekątna sześcianu o krawędzi długości a
A. jest nachylona do podstawy pod kątem o mierze 45◦. B. ma długość a
2.
C. ma długość a 3.
D. tworzy z krawędzią boczną kąt o mierze 30◦. Zadanie 4. (1 p.)
Dany jest prostopadłościan o wymiarach 3 cm× 4 cm× 5 cm. Wskaż zdanie prawdziwe.
A. Pole powierzchni bocznej prostopadłościanu jest równe 60 cm2. B. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94 cm2. C. Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa 12 cm.
D. Pole dwóch ścian prostopadłościanu mających wspólną krawędź jest równe 30 cm2. Zadanie 5. (1 p.)
Objętość graniastosłupa prostego czworokątnego jest równa 60 dm3. Objętość ostrosłupa o takiej samej podstawie i tej samej wysokości co dany graniastosłup jest równa
A. 20 000 cm3 B. 30 dm3 C. 0,006 m3 D. 600 cm3 Zadanie 6. (1 p.)
Pole powierzchni całkowitej pierwszego sześcianu jest cztery razy większe od pola po-wierzchni całkowitej drugiego sześcianu. Objętość drugiego sześcianu jest mniejsza od objętości pierwszego
A. trzy razy. B. dwa razy. C. cztery razy. D. osiem razy.
Zadanie 7. (1 p.)
Powierzchnia boczna walca o wysokości H i promieniu podstawy r po rozcięciu jest A. wycinkiem koła o promieniu H i długości łuku 2r.
B. kwadratem o boku długości 2πr.
C. prostokątem o bokach długości H i 2πr.
D. kołem o średnicy 2r.
A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
Zadanie 8. (1 p.)
Średnica kuli jest równa długości krawędzi sześcianu. Objętość kuli jest A. równa objętości sześcianu.
B. większa od objętości sześcianu.
C. równa połowie objętości sześcianu.
D. mniejsza od objętości sześcianu.
Zadanie 9. (2 p.)
Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach długości 5 cm i 8 cm. Wysokość pro-stopadłościanu wynosi 6 cm. Oblicz tangens kąta, jaki tworzą przekątna podstawy z prze-kątną prostopadłościanu, które wychodzą z jednego wierzchołka. Odczytaj z tablic warto-ści funkcji trygonometrycznych miarę tego kąta.
Zadanie 10. (2 p.)
Oblicz cosinus kąta, jaki tworzy wysokość czworościanu foremnego z wysokością ściany bocznej, które wychodzą z jednego wierzchołka.
Zadanie 11. (2 p.)
W sześcianie krawędź boczna, przekątna sześcianu i przekątna ściany bocznej, wychodzą-ce z jednego wierzchołka, są krawędziami bocznymi czworościanu, którego podstawą jest trójkąt prostokątny. Oblicz stosunek objętości czworościanu do objętości sześcianu.
Zadanie 12. (3 p.)
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, jeżeli kra-wędź podstawy ma długość 8 cm, a wysokość ostrosłupa jest równa 6 cm.
Zadanie 13. (3 p.)
Wykaż, że jeśli przekątna w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym jest nachylona do podstawy pod kątem 30◦, to stosunek pola podstawy do pola ściany bocznej graniasto-słupa jest równy
3 : 2.
Zadanie 14. (4 p.)
Sześcian o krawędzi długości 5 cm i walec o wysokości 8 cm mają równe objętości. Oblicz pole powierzchni bocznej walca.
Zadanie 15. (4 p.)
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 4 dm i 6 dm raz obracano dookoła krót-szej przyprostokątnej, a drugi raz – dookoła dłużkrót-szej. Która z otrzymanych brył ma więk-szą objętość?
Zadanie 16. (5 p.)
Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do podstawy ostrosłu-pa pod kątem o mierze 45◦. Krawędź podstawy ostrosłupa ma długość 16 cm. Oblicz objętość ostrosłupa.
ZESTAW II – poziom rozszerzony Zadanie 1. (4 p.)
Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Długość krawędzi podstawy, wysokość i dłu-gość przekątnej prostopadłościanu tworzą ciąg arytmetyczny. Suma długości jednej krawę-dzi podstawy i wysokości jest równa długości przekątnej i wynosi 10 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.
Zadanie 2. (4 p.)
Przekątna sześcianu jest o 4 dm dłuższa od krawędzi sześcianu. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu.
Zadanie 3. (3 p.)
Promień koła opisanego na podstawie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równy 4
3 cm. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy pod ką-tem o mierze 60◦. Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Zadanie 4. (6 p.)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a i ściany boczne są trójkątami prostokątnymi.
a) Narysuj siatkę ostrosłupa.
b) Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
c) Oblicz tę wysokość ostrosłupa, która jest poprowadzona na ścianę będącą trójkątem równobocznym.
Zadanie 5. (5 p.)
Cztery wierzchołki sześcianu o krawędzi długości 9 są jednocześnie wierzchołkami czwo-rościanu foremnego.
a) Oblicz pole powierzchni całkowitej tego czworościanu.
b) O ile objętość czworościanu jest mniejsza od objętości sześcianu?
Zadanie 6. (3 p.)
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe
3 15+
3
cm2, a stosunek długości krawędzi bocznej do długości krawędzi podsta-wy podsta-wynosi 2:1. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Zadanie 7. (6 p.)
Przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 6, a promień koła opisanego na tym trójkącie jest równy 5. Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta dookoła przeciw-prostokątnej. O ile procent ta objętość jest mniejsza od objętości bryły powstałej z obrotu koła o promieniu 5 wokół jego średnicy?
Zadanie 8. (3 p.)
Oblicz pole przekroju kuli o promieniu R = 8 cm, jeśli miara kąta wyznaczonego przez średnicę kuli i średnicę przekroju jest równa 60◦.
A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
Zadanie 9. (4 p.)
Oblicz pole największego przekroju sześcianu o krawędzi 16 cm, jeśli przekrój ten jest wielokątem foremnym. Oblicz tangens kąta nachylenia płaszczyzny tego przekroju do płaszczyzny podstawy. Odczytaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych miarę tego kąta.
Zadanie 10. (6 p.)
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8 dm. Krawędź boczna tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze 60◦. Oblicz miarę kąta między sąsied-nimi ścianami bocznymi.
Zadanie 11. (6 p.)
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wpisanego w kulę o promieniu R, jeśli wiadomo, że krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 60◦.
Treści nauczania – wymagania szczegółowe:
obliczanie średniej ważonej i odchylenia standardowego zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretowanie tych parametrów dla danych empirycznych
zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosowanie reguły mnożenia i reguły dodawania
obliczanie prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach za pomocą klasycznej defi nicji prawdopodobieństwa wykorzystywanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji,
wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych obliczanie prawdopodobieństwa warunkowego
korzystanie z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym