prawdopodobieństwa
3.2 Liczby charakteryzujące dane zebrane w badaniu dane zebrane w badaniu
statystycznym
PRZYKŁAD 1.
Na diagramie słupkowym pionowym zilustrowano liczebność wszystkich klas w szkole.
Obliczmy, ilu średnio uczniów uczy się w jednej klasie tej szkoły.
Diagram słupkowy, na którym przedstawiamy rozkład liczebności, nazywa się również histogramem.
W szkole są: 1+1+2+6+5+4+5+4+4+5+2+2+1+2 = 44 klasy. W tych klasach uczy się: 1 · 15+1 · 18+2 · 19+6 · 20+5 · 21+4 · 22+5 · 25+4 · 26+ + 4 · 27+5 · 28+ 2 · 29+2 · 30+1 · 32+2 · 33 = 1077 uczniów. Wobec tego śred-nio w każdej klasie tej szkoły jest 1077
44 ≈ 24,48 uczniów, czyli około 24 uczniów.
Często zamiast średnia arytmetyczna będziemy pisać w skrócie średnia.
ĆWICZENIE 1.
W zespole szkół ponadgimnazjalnych jest 19 klas technikum. W poszczególnych klasach jest:
32, 30, 20, 15, 29, 28, 30, 29, 28, 26, 27, 25, 28, 26, 33, 28, 28, 27, 27 uczniów. Przedstaw liczeb-ność klas na diagramie słupkowym pionowym. Oblicz, ilu jest średnio uczniów w klasie.
Średnia arytmetycznan danych liczbowych x1, x2, x3, ..., xnto liczba x = x1+x2+xn3+...+xn.
Definicja
ĆWICZENIE 2.
W tabeli zamieszczono dane dotyczące liczby przedstawień oraz liczby widzów w całej Polsce w 2011 r.
Źródło: Rocznik Statystyczny 2012
a) Zaprezentuj na diagramie słupkowym dane dotyczące liczby przedstawień propono-wanych przez różne instytucje kulturalne.
b) Oblicz średnią liczbę widzów na spektaklu w teatrze dramatycznym w całym kraju.
c) Wskaż instytucję kulturalną, w której średnia liczba widzów na przedstawieniu była większa niż średnia dla wszystkich ogółem instytucji kulturalnych w Polsce.
ĆWICZENIE 3.
W tabeli podano wyniki dyktanda, które pisali uczniowie 36-osobowej klasy. Oblicz, ile błędów średnio popełnił każdy uczeń tej klasy.
PRZYKŁAD 2.
W pewnym zespole szkół zmierzono wzrost 1075 uczniów. Zebrane dane pogrupowano w przedziały prawostronnie domknięte i przedstawiono w tabeli. Obliczmy średni wzrost uczniów tej szkoły.
Wzrost [cm] 141–149 150–158 159–167 168–176 177–185 186–194 195–203
Liczba uczniów 51 115 292 385 224 7 1
Aby obliczyć średnią arytmetyczną danych pogrupowanych w przedziały, wyznaczamy wartość środkową każdego z tych przedziałów, a następnie obliczamy średnią zestawu danych otrzymanego w ten sposób.
Liczba popełnionych błędów 0 1 2 3 5 9 17
Liczba uczniów 18 3 3 4 5 1 2
Instytucja kulturalna Liczba przedstawień Liczba widzów [tys.]
ogółem w Polsce 53 565 10 936
teatry dramatyczne 20 995 3 801
teatry lalkowe 9 179 1 320
opery 1 485 868
operetki 3 106 1 128
filharmonie 18 396 3 502
zespoły pieśni i tańca, chóry 404 317
3.2. Liczby charakteryzujące dane zebrane w badaniu statystycznym
Wartości środkowe podanych przedziałów to: 145, 154, 163, 172, 181, 190 i 199, zatem x = 51 · 145+115 · 15451+292 · 163+115+292+385 · 172+385+224+224 · 181+7+1 +7 · 190+1 · 199 ≈ 168,4 Średni wzrost uczniów w tej szkole wynosi około 168 cm.
ĆWICZENIE 4.
W tabeli zamieszczono dane dotyczące osób biernych zawodowo1w różnych przedziałach wiekowych.
Źródło: Rocznik Statystyczny 2012
Oblicz średnią wieku osoby biernej zawodowo.
PRZYKŁAD 3.
Firma zatrudnia 20 pracowników, których zarobki wynoszą: 19 287 zł – 1 osoba, 13 802 zł – 1 osoba, 4304 zł – 5 osób, 2820 zł – 12 osób i 1317 zł – 1 osoba. Wyznaczmy średnie miesięczne wynagrodzenie w tej firmie.
Średnie wynagrodzenie w tej firmie to
x = 1 · 19 287+1 · 13 802+5 · 430420 +12 · 2820+1 · 1317 = 4488,30 zł.
Średnia arytmetyczna również w tym przypadku nie w pełni opisuje wysokość wynagro-dzenia w tej firmie.
Średnia ważona różni się od średniej arytmetycznej tym, że danym liczbowym przypi-suje się wagi (nieujemne). Dane z przypisanymi większymi wagami mają większy udział w określaniu średniej ważonej niż dane z mniejszymi wagami. Często wagi dobiera się tak, aby ich suma była równa 1.
Jeśli wszystkie wagi są równe, to średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej.
1Osoby bierne zawodowo to osoby utrzymujące się z emerytury, renty, uczniowie uczący się w trybie dzien-nym, osoby odbywające karę pozbawienia wolności, osoby przebywające w domach opieki, zakonnicy i za-konnice, osoby uzyskujące dochód m.in. tylko z dzierżawy, wynajmu lokalu, itp., osoby przebywające Średnią ważonąn danych liczbowych x1, x2, x3, ..., xn, z których każda ma przyporząd-kowaną nieujemną wagę w1, w2, w3, ..., wn, jest liczba
w1· x1+w2· x2+w3· x3+...+wn· xn w1+w2+w3+...+wn .
Definicja
Wiek [lata] 15; 25) 25; 35) 35; 45) 45; 55) 55; 65) Liczba osób biernych
zawodowo [tys.] 3186,1 991,4 777,9 1286,8 3282,5
PRZYKŁAD 4.
Ocena końcowa z pewnego przedmiotu jest wystawiana na podstawie średniej ważonej ocen cząstkowych. Największą wagę 5 przypisano ocenie z pracy klasowej. Ocenie z kart-kówki przyporządkowano wagę 2, ocenie z odpowiedzi ustnej – wagę 3, a ocenie z pracy domowej – wagę 1. Porównajmy średnią arytmetyczną ze średnią ważoną ocen, jeśli uczeń otrzymał następujące oceny: z prac klasowych: 3, 4, 2; z kartkówek: 3, 4, 5; z odpowiedzi ustnych: 3; z prac domowych: 5, 5, 5.
Średnia arytmetyczna ocen ucznia: x = 3+4+2+3+410+5+3+5+5+5 = 3,9.
Zatem gdyby ocena końcowa była obliczana na podstawie średniej arytmetycznej ocen cząstkowych, to uczeń mógłby otrzymać czwórkę.
Średnia ważona ocen ucznia:
5 · 3+5 · 4+5 · 2+2 · 3+2 · 4+2 · 5+3 · 3+1 · 5+1 · 5+1 · 5
5+5+5+2+2+2+3+1+1+1 ≈ 3,44.
Zastosowanie średniej ważonej do wyznaczenia oceny końcowej sprawia, że uczeń otrzy-ma zapewne ocenę dostateczną.
ĆWICZENIE 5.
Od 2005 r. rekrutacja na wyższe uczelnie odbywa się na podstawie wyników egzaminu maturalnego. Uczelnie wyższe ogłosiły sposoby obliczania liczby punktów decydujących o przyjęciu. Jedna z uczelni podała następującą regułę obliczania punktów rekrutacyjnych (PR) na jeden ze swoich wydziałów:
PR = 35W0+ 15W1+ 15W2, gdzie W0 oznacza punkty otrzymane z matematyki, W1,W2
– punkty otrzymane z dwóch innych dowolnych przedmiotów, przy czym Wi = 13p+ 23r, i = 0, 1, 2, gdzie p oznacza liczbę punktów otrzymanych z egzaminu maturalnego na po-ziomie podstawowym, ar – na poziomie rozszerzonym.
Oblicz wartości PR dla Marcina, Macieja, Oli i Ewy starających się o przyjęcie na ten wydział.
Puste pole w tabeli oznacza, że uczeń nie zdawał tego przedmiotu na egzaminie maturalnym.
Przy rekrutacji wpisywano wówczas 0 punktów.
Uczeń
Przedmiot Marcin Maciej Ola
matematyka poziom podstawowy 100 80 40 95
poziom rozszerzony 80 80 50 90
fizyka poziom podstawowy 70 65 50
poziom rozszerzony 70 65 28
język polski poziom podstawowy 30 60 100 49
poziom rozszerzony 33 100 20
historia poziom podstawowy 100
poziom rozszerzony 100
Ewa 3.2. Liczby charakteryzujące dane zebrane w badaniu statystycznym
Inną liczbą charakteryzującą zbiór danych jest mediana, zwana też środkową zbioru. Wyzna-czenie jej rozpoczynamy od posortowania danych, czyli uporządkowania wszystkich zebra-nych dazebra-nych niemalejąco lub nierosnąco.
PRZYKŁAD 5.
Wyznaczmy medianę zbioru danych:
a) 10, 1, 8, 5, 2, 3, 8, b) 10, 1, 3, 5, 2, 7, 8, 11.
a) Porządkujemy zestaw danych: 1, 2, 3, 5, 8, 8, 10.
środkowa dana
Wartością środkową, czyli medianą zbioru danych 10, 1, 8, 5, 2, 3, 8, jest 5.
b) Porządkujemy zestaw danych: 1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11.
środkowe dane
Pośrodku znajdują się dwie dane, więc obliczamy ich średnią arytmetyczną 5+7
2 = 6.
Medianą zbioru danych 10, 1, 3, 5, 2, 7, 8, 11 jest 6.
PRZYKŁAD 6.
Wyznaczmy medianę danych dotyczących wynagrodzenia w 20-osobowej firmie, poda-nych w przykładzie 3.
Na początku porządkujemy niemalejąco dane i wpisujemy je do tabeli.
Ponieważ liczba danych jest liczbą parzystą, to mediana jest średnią arytmetyczną danych znajdujących się na miejscach 10. i 11., czyli 2820+2820
2 = 2820 zł. Zatem mediana płac jest równa 2820 zł i ta liczba lepiej opisuje strukturę płac w tej firmie niż średnia arytmetyczna.
Wysokość wynagrodzenia [zł] 1317 2820 4304 13 802 19 287
Liczba pracowników 1 12 5 1 1
Mediana, nazywana również wartością środkową, to wartość danej znajdującej się pośrodku uporządkowanych danych, jeśli liczba danych jest nieparzysta, lub średnia arytmetyczna dwóch danych znajdujących się pośrodku uporządkowanych danych, jeśli liczba danych jest parzysta. Medianę oznaczamy jako Me.
Definicja
ĆWICZENIE 6.
Wyznacz medianę ocen cząstkowych uzyskanych przez ucznia, które zostały podane w przykładzie 4. Ile wynosi mediana twoich ocen z matematyki?
ĆWICZENIE 7.
Dane są masy (w kilogramach) osób z dwóch grup.
I grupa: 75, 82, 65, 76, 82, 90, 74, 69, 57, 49.
II grupa: 101, 78, 86, 68, 57, 89, 92, 46, 61, 67.
I grupa II grupa
a) Wyznacz średnią arytmetyczną i medianę dla danych każdej grupy.
b) Zmień największą lub najmniejszą liczbę w każdym zestawie i ponownie wyznacz średnią arytmetyczną oraz medianę.
Dla danych pogrupowanych w przedziały często stosuje się graficzną metodę wyznaczania mediany.
Aby wyznaczyć graficznie medianę danych przedstawionych za pomocą przedziałów, należy:
1) sporządzić skumulowany diagram słupkowy, w którym kolejne słupki opiszą sumę liczebności danego przedziału i wszystkich przedziałów go poprzedzających;
2) wskazać na osi rzędnych punkt odpowiadający medianie, czyli wartość równą połowie sumy wszystkich wyników, i przez ten punkt przeprowadzić prostą równoległą do osi odciętych;
3) w pierwszym prostokącie (słupku diagramu), który zostanie przecięty przez tę prostą, narysować:
przekątną poprowadzoną z prawego górnego wierzchołka, gdy jest to pierwszy słupek diagramu;
odcinek łączący prawy górny wierzchołek z prawym górnym wierzchołkiem prostokąta poprzedniego, gdy jest to drugi lub kolejny słupek diagramu;
4) odczytać (zazwyczaj przybliżoną) odciętą punktu przecięcia prostej i odcinka. Jest to szukana mediana.
Średnia arytmetyczna jest bardzo czuła na wartości ekstremalne. Gdy dane znacznie różnią się od siebie, to średnia arytmetyczna może dawać mylne wyobrażenie o całym zbiorze danych. Z kolei na medianę nie mają wpływu wartości ekstremalne zestawu danych.
3.2. Liczby charakteryzujące dane zebrane w badaniu statystycznym
PRZYKŁAD 7.
Wykorzystajmy dane z ćwiczenia 4. i wskażmy medianę danych dotyczących osób bier-nych zawodowo. Sporządźmy skumulowany diagram słupkowy dla tych dabier-nych.
Źródło: Rocznik Statystyczny 2012
Na osi rzędnych znajdujemy punkt odpowiadający medianie
9524,7
2 = 4762,35
i rysujemy prostą równoległą do osi odciętych, przechodzącą przez wskazany punkt.
Mediana znajduje się w przedziale 35–45, który jest przedziałem odpowiadającym trzecie-mu słupkowi diagratrzecie-mu. Prawy górny wierzchołek trzeciego słupka diagratrzecie-mu łączymy cinkiem z prawym górnym wierzchołkiem słupka drugiego. Odcięta punktu wspólnego od-cinka i narysowanej prostej wskazuje przybliżoną wartość mediany Me ≈ 43.
ĆWICZENIE 8.
Wskaż medianę danych opisujących wzrost uczniów z przykładu 2.
Wiek [lata]
Liczba osób biernych zawodowo [tys.] 3186,1 991,4 777,9 1286,8 3282,5 Skumulowana liczba osób biernych
zawodowo [tys.] 3186,1 4177,5 4955,4 6242,2 9524,7
PRZYKŁAD 8.
W podwarszawskiej gminie przeprowa-dzono ankietę, w której zapytano miesz-kańców, kto jest odpowiedzialny za działa-nia na rzecz poprawy stanu środowiska w gminie. Zebrane dane przedstawiono na diagramie słupkowym. Najczęściej pa-dała odpowiedź: odpowiedzialność pono-szą wszyscy mieszkańcy (41%). Wynik, który pojawia się najczęściej, nazywamy modą lub dominantą, ponieważ dominuje wśród wszystkich wyników.
PRZYKŁAD 9.
Do klasy pierwszej szkoły ponadgimnazjalnej przyjęto 30 uczniów, którzy na egzaminie gimnazjalnym w części matematyczno-przyrodniczej otrzymali następujące wyniki:
Najwięcej uczniów tej klasy otrzymało 43 punkty, zatem moda jest równa 43.
Dominantę dla danych pogrupowanych można wyznaczyć za pomocą metody graficznej.
Aby wyznaczyć graficznie dominantę danych przedstawionych za pomocą przedziałów, gdy nie występuje ona w skrajnym przedziale, należy:
1) sporządzić diagram słupkowy przynajmniej dla trzech przedziałów: dla przedziału dominanty, przedziału poprzedzającego przedział dominanty oraz przedziału
następującego po przedziale dominanty;
2) narysować odcinki łączące górne wierzchołki prostokąta (słupka diagramu) odpowiadającego przedziałowi dominanty z należącymi do niego przeciwległymi wierzchołkami sąsiednich prostokątów;
3) odczytać (zazwyczaj przybliżoną) odciętą punktu przecięcia otrzymanych odcinków, która wskaże wartość dominanty.
Jeżeli dominanta występuje w skrajnym przedziale, to nie określamy jej przybliżonej wartości. Podajemy tylko przedział, w którym dominanta się znajduje.
Liczba otrzymanych punktów 38 40 41 43 44 48
Liczba uczniów 3 1 6 12 5 3
Moda, zwana również dominantą, jest najczęściej występującą wartością wśród zebranych danych. Oznaczamy ją jako D.
Jeśli w zbiorze danych występują dwie liczby o takiej samej, najwyższej częstotliwości występowania, to zbiór danych jest bimodalny. Jeśli jest kilka takich liczb, to zbiór danych jest multimodalny. Jeśli żadna wartość się nie powtarza, to zbiór nie ma mody.
Definicja
3.2. Liczby charakteryzujące dane zebrane w badaniu statystycznym
PRZYKŁAD 10.
W tabeli podano liczbę ludności Polski w wybranych grupach wiekowych według stanu na 31.12.2011 r. Wyznaczmy dominantę zbioru pogrupowanych danych.
Źródło: Rocznik Statystyczny 2012
Najliczniejszą grupę stanowią osoby, które mają od 25 do 35 lat.
Na diagramie słupkowym ilustrującym dane z zadania kreślimy w prostokącie odpowiada-jącym przedziałowi dominanty odpowiednie odcinki.
Z punktu przecięcia narysowanych odcinków odczytujemy przybliżoną wartość dominanty D ≈ 30.
ĆWICZENIE 9.
W pewnej dużej firmie wynagrodzenia kształtują się w sposób zaprezentowany w tabeli.
Wyznacz dominantę zbioru pogrupowanych danych.
Wynagrodzenie [zł] Liczba osób 1417,41–1771,75 2952 1771,76–2126,10 3333 2126,11–2480,45 3142 2480,46–2834,80 3142 2834,81–3189,15 2825 3189,16–3543,50 2412
Średnia arytmetyczna i mediana opisują tendencję centralną zestawu danych. Moda nie musi przedstawiać tendencji centralnej, ale wskazuje, które wyniki pojawiają się najczęściej.
Wiek [lata] 15; 25) 25; 35) 35; 45) 45; 55) 55; 65) Liczba ludności [tys.] 5089,8 6381,1 5275 5260,3 5388,1
1.W tabeli zebrano wyniki pomiaru wzrostu 30 uczniów klasy trzeciej. Wskaż zdanie prawdziwe.
A. Średnia arytmetyczna wzrostu uczniów klasy trzeciej jest równa 178,4 cm.
B. Średnia arytmetyczna wzrostu uczniów klasy trzeciej jest równa dominancie zesta-wu tych danych.
C. Co najmniej 50% uczniów klasy trzeciej jest wyższych niż uczeń o średnim wzroście.
D. Średnia arytmetyczna wzrostu uczniów klasy trzeciej jest równa 176,2 cm.
2.Dany jest zestaw liczb: 38, 45, 32, 46, 43, 23, 51, 47, 39, 40.
a) Oblicz średnią arytmetyczną tego zestawu liczb.
b) Zmień jedną liczbę w zestawie tak, aby średnia arytmetyczna: wzrosła, zmalała.
3.W tabeli znajdują się dane z 31.03.2011 r. dotyczące wysokości świadczeń pobieranych z Zakładu Ubezpieczeń Społecznych oraz liczby osób pobierających te świadczenia.
Źródło: Rocznik Statystyczny 2012
Oblicz średnią wysokość świadczenia pobieranego z Zakładu Ubezpieczeń Społecznych w marcu 2011 r.
4.W 30-osobowej klasie średnia ocen z języka polskiego jest równa 3,28, z języka angiel-skiego wynosi 3,92, a z języka niemieckiego – 3,00. Ile wynosi średnia ocen z tych trzech przedmiotów w tej klasie?
5.Średnia ocen z testu z języka angielskiego 8 uczniów pierwszej grupy jest równa 4,8, a 14 uczniów drugiej grupy – 3,5. Oblicz średnią ocen z tego testu dla uczniów z obydwu grup.
Wysokość świadczenia [zł]
Liczba osób pobierających emeryturę lub rentę [tys.]
800; 1000) 363,0
1000; 1200) 545,6
1200; 1400) 694,2
1400; 1600) 680,0
1600; 1800) 578,0
1800; 2000) 457,4
2000; 2200) 344,2
2200; 2400) 248,4
Wzrost [cm] 164 165 168 172 175 182 185 187 190 196
Liczba uczniów 1 2 4 5 7 6 2 1 1 1
Z A D A N I A
3.2. Liczby charakteryzujące dane zebrane w badaniu statystycznym
6.W 30-osobowej klasie średnia punktów z próbnej matury z matematyki była równa 19. Ile punktów otrzymała Karolina, uczennica tej klasy, jeśli średnia punktów dla 29 uczniów tej klasy, bez Karoliny, wynosiła 18,5?
7.W drugim semestrze uczeń uzyskał następujące oceny: z prac klasowych 4 i 2, z kartkó-wek 4 i 3, z prac domowych 5 i 5. Ocenom z prac klasowych nauczyciel przypisał wa-gę 5, z kartkówek – wawa-gę 3, a z prac domowych – wawa-gę 1. Jaką ocenę otrzymał uczeń na koniec roku?
8.O przyjęciu na pewną uczelnię na kierunek matematyka decydowała liczba punktów rekrutacyjnych (PR) obliczana według zasady:
PR = 34(Wm+Wf)+ 14Wj, gdzie:
Wmoznacza punkty otrzymane z matematyki, Wfoznacza punkty otrzymane z fizyki,
Wjoznacza punkty otrzymane z języka obcego.
Punkty z każdego przedmiotu liczono w następujący sposób:
Wi = 13p+ 23r, i∈{m, f, j}, gdzie:
p oznacza liczbę punktów otrzymanych na egzaminie maturalnym na poziomie podsta-wowym,
r oznacza liczbę punktów otrzymanych na egzaminie maturalnym na poziomie rozsze-rzonym.
Oblicz wartości PR Aleksandry i Huberta, starających się o przyjęcie na ten wydział.
Puste pole w tabeli oznacza, że uczeń nie zdawał tego przedmiotu na egzaminie matu-ralnym. Przy rekrutacji wpisywano wówczas 0 punktów.
9.Dany jest zbiór liczb: 101, 67, 68, 89, 61, 46, 88, 78, 57, 89, 92.
a) Wyznacz medianę, modę i średnią arytmetyczną zbioru liczb.
b) Zmień jedną liczbę w zbiorze tak, aby mediana nie uległa zmianie, a średnia aryt-metyczna się zmieniła.
Uczeń
Przedmiot Aleksandra Hubert
matematyka poziom podstawowy 100 100
poziom rozszerzony 75 80
fizyka poziom podstawowy 90 100
poziom rozszerzony 60 75
język obcy poziom podstawowy 100 100
poziom rozszerzony 80
10.W tabeli znajdują się dane dotyczące liczby Polaków aktywnych zawodowo w 2011 r.
Źródło: Rocznik Statystyczny 2012
a) Wyznacz dominantę tego zestawu danych.
b) Wyznacz medianę tego zestawu danych.
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
1.Zmierzono tętno 15 osobom i zapisano wyniki: 78, 76, 68, 72, 80, 70, 78, 75, 78, 66, 70, 74, 82, 70, 72. Wskaż zdanie prawdziwe.
A. Średni wynik pomiarów tętna wynosi 73.
B. Moda wyników pomiaru tętna jest równa 74.
C. Zestaw wyników pomiaru tętna jest bimodalny.
D. Wartość mediany zestawu wyników pomiaru tętna jest równa wartości średniej arytmetycznej tych danych.
2.W ciągu jednego dnia na stoisku z owocami sprzedano: 5 kg jabłek w cenie 2,6 zł za 1 kg, 8 kg jabłek po 2,4 zł za 1 kg i 12 kg jabłek po 1,8 zł za 1 kg. Oblicz średnią cenę 1 kg jabłek sprzedanych tego dnia.
3.W tabeli znajdują się dane dotyczące liczby kobiet aktywnych zawodowo w 2011 r.
Źródło: Rocznik Statystyczny 2012
a) Wyznacz średnią wieku w podanej grupie.
b) Wyznacz dominantę tego zestawu danych.
c) Wyznacz medianę tego zestawu danych.
BANK ZADAŃ z. 144–151» » » Wiek [lata] 15; 25) 25; 35) 35; 45) 45; 55) 55; 65)
Liczba osób [tys.] 1256,3 4199,7 3655,2 3419,9 1662,9
3.2. Liczby charakteryzujące dane zebrane w badaniu statystycznym
Wiek [lata] 15; 25) 25; 35) 35; 45) 45; 55) 55; 65)
Liczba kobiet
pracujących [tys.] 517,3 1871,3 1693,5 1657,6 632,9