A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ?
2.10 Pole powierzchni i objętość kulii objętość kuli
Obróćmy półokrąg ABC o środku O, średnicy AC i promie-niu R dookoła prostej zawierającej średnicę AC. W wyniku obro-tu każdy punkt P półokręgu (z wyjątkiem końców A i C) zakre-śla okrąg o środku należącym do średnicy AC. Powierzchnię po-wstałą z obrotu półokręgu nazywamy sferą.
Każdy przekrój kuli jest kołem lub punktem. Przekrój wyznaczony przez płaszczyznę zawierającą środek kuli nazywamy kołem wielkim kuli. Płaszczyzna ta dzieli kulę na dwie półkule. Część sfery zawartą między dwie-ma równoległymi płaszczyznami przecinającymi kulę nazywamy pasem kulistym, a bryłę ograniczoną pasem kulistym i dwoma kołami nazywamy warstwą kulistą.
Koła te są podstawami warstwy kulistej.
PRZYKŁAD 1.
Obliczmy wysokość warstwy kulistej utworzonej przez podstawy wyznaczone przez płaszczyzny równika Ziemi i zwrotnika Koziorożca.
Zwrotnik Koziorożca leży na szerokości geograficznej ok. 23◦27 ≈ 23,5◦. Przyjmijmy, że średnica kuli ziem-skiej wynosi 12 742 km, zatem promień ma długość 6371 km. ΔMNO jest prostokątny, więc
|<)MON| = 90◦−23,5◦ = 66,5◦.
cos 66,5◦= HR, stąd H = R cos 66,5◦≈ 2540 [km].
Wysokość warstwy kulistej wyznaczonej przez płaszczy-zny równika Ziemi i zwrotnika Koziorożca jest rów-na ok. 2540 km.
Kuląnazywamy bryłę obrotową powstałą z obrotu półkola wokół prostej zawierającej jego średnicę. Kula jest zbiorem punktów, których odległość od danego punktu O jest nie większa od ustalonej dodatniej liczby R.
Definicja
ĆWICZENIE 1.
Oblicz pole koła wielkiego Ziemi wyznaczonego przez równik oraz pole koła wyznaczo-nego przez zwrotnik Koziorożca. Wyznacz stosunek pól tych kół.
PRZYKŁAD 2.
Stopiono trzy ołowiane kule o średnicach 6 cm, 8 cm i 10 cm i z otrzymanego ołowiu wy-konano jedną kulę. Obliczmy jej promień. Czy pole powierzchni otrzymanej kuli jest więk-sze od sumy pól powierzchni tych trzech kul?
Promienie stopionych kul są równe: 3 cm, 4 cm i 5 cm.
Obliczamy objętość każdej z trzech kul.
V1= 43π· 33= 36π[cm3] V2= 43π· 43= 2563 π[cm3] V3= 43π· 53= 5003 π[cm3]
V = V1+V2+V3 = 36π + 2563 π + 5003 π= 288π[cm3] Obliczamy promień otrzymanej kuli.
288π= 43πR3, R3= 216, czyli R = 6 [cm]
Porównujemy sumę pól powierzchni trzech kul i pole powierzchni otrzymanej kuli.
P1= 4π· 32 = 36π[cm2] P2= 4π· 42 = 64π[cm2] P3= 4π· 52 = 100π[cm2]
P1+P2+P3 = 36π +64π +100π= 200π[cm2] P = 4πR2= 4π· 62= 144π[cm2]
Suma pól powierzchni trzech kul jest większa od pola powierzchni otrzymanej kuli.
ĆWICZENIE 2.
Sprawdź, jak zmienią się pole powierzchni oraz objętość kuli, gdy jej promień:
a) zwiększymy dwukrotnie, b) zwiększymy czterokrotnie, c) zmniejszymy trzykrotnie.
Pole powierzchni P kuli o promieniu R obliczamy ze wzoru: P = 4πR2.
Objętość V kuli o promieniu R wyraża się wzorem: V = 43πR3, gdzie R to promień kuli.
Twierdzenie
2.10. Pole powierzchni i objętość kuli
1.Objętość kuli jest równa 36π. Oceń, czy zdanie jest prawdziwe (P) czy fałszywe (F).
I.Pole powierzchni tej kuli jest równe 36π. P / F II.Pole koła wielkiego tej kuli jest równe 18π. P / F III.Obwód koła wielkiego tej kuli jest równy 6π. P / F
IV.Pole przekroju kuli płaszczyzną odległą o3
2 od środka kuli jest równe 9
4π. P / F 2.Dane są dwie kule o objętościach V1 = V oraz V2= 2V. Stosunek pola powierzchni kuli
o większym promieniu do pola powierzchni kuli o mniejszym promieniu jest równy
A. 4 B. 8 C. 3
4 D. 3
2 3.Kulę o promieniu 41 cm przecięto płaszczyzną odległą od środka kuli o 9 cm.
a) Oblicz pole otrzymanego przekroju.
b) O ile procent pole przekroju jest mniejsze od pola koła wielkiego kuli?
4.Oblicz objętość kuli, jeżeli jej pole powierzchni jest równe 256 cm2.
5.Objętość kuli wynosi 36 cm3. Oblicz pole powierzchni oraz pole koła wielkiego kuli.
6.Promienie: kuli, podstawy stożka i podstawy walca mają długość r. Wysokości stożka i walca są równe 2r. Zbadaj zależności między objętościami tych brył.
7.W kuli o promieniu R umieszczono 4 kule – każda o największym z możliwych promieniu r – w taki spo-sób, że środki wszystkich kul leżą w jednej płaszczyź-nie (rysunek obok przedstawia przekrój takiego ukła-du kul). Oblicz długość promienia r.
8.Dana jest kula o promieniu długości R oraz walec, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości R. Oblicz stosunek objętości kuli do objętości walca oraz sto-sunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni całkowitej walca.
9.Przyjmijmy, że promień Ziemi jest równy 6371 km, a powierzchnia Europy wynosi 10,5 mln km2. a) Oblicz pole powierzchni i objętość Ziemi.
b) Jaki procent powierzchni kuli ziemskiej stanowi powierzchnia Europy?
Z A D A N I A
10.Załóżmy, że kula ziemska została opasana wzdłuż koła wielkiego wstęgą przylegającą do powierzchni. Wstęgę tę wydłużono o 10 m, co spowodowało, że równomiernie na całym obwodzie koła wielkiego powstała szczelina między wstęgą a powierzchnią Ziemi. Czy przez tę szczelinę przeciśnie się mysz?
11.Do gry w piłkę ręczną kobiety używają nieco mniejszej piłki niż mężczyźni. Obwód piłki używanej przez kobiety wynosi od 54 cm do 56 cm (średnio 55 cm), a obwód piłki używanej przez mężczyzn wynosi od 58 cm do 60 cm (średnio 59 cm). Oblicz, o ile procent objętość średniej piłki używanej przez mężczyzn jest większa od objęto-ści średniej piłki używanej przez kobiety.
12.Kula do kręgli ma obwód 27 cali (1 cal = 25,4 mm).
Oblicz pole powierzchni i objętość kuli. Nie bierz pod uwagę otworów na palce. Wyniki podaj z do-kładnością odpowiednio do 0,01 cm2oraz 0,01 cm3.
13.Kulę o promieniu 10 cm przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami odległymi od siebie o 5 cm. Oblicz pola otrzymanych przekrojów, jeżeli pierwszy z nich znajdu-je się w odległości 3 cm od środka kuli. Rozpatrz różne przypadki.
A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ?
1.Jeśli pole powierzchni kuli jest równe 24πcm2, to jej objętość jest równa A. 72πcm3 B. 8
6πcm3 C. 24πcm3 D. 16 3πcm3
2.Kulę przecięto płaszczyzną w odległości 8 dm od środka kuli. Otrzymany przekrój ma pole 36πdm2. Oblicz pole powierzchni i objętość kuli.
3.Pole powierzchni kuli jest równe S. Oblicz objętość tej kuli.
4.Jak zmienią się pole powierzchni i objętość kuli, jeśli długość jej średnicy zmniejszy się o 25%?
5.Oblicz długość równoleżnika odpowiadającego szerokości geograficznej 45◦. 6.Na jakiej szerokości geograficznej długość równoleżnika stanowi połowę długości
równika Ziemi?
BANK ZADAŃ z. 124–127» » » 2.10. Pole powierzchni i objętość kuli