Przedmiotem niniejszej pracy nie było badanie zjawisk akustycznych, lecz rozwi ˛azanie problemu badawczego, na podstawie znajomo´sci tych zjawisk oraz współczesnych metod badawczych. Ze wzgl˛edu na interdyscyplinarno´s´c podj˛etego w pracy problemu, modelowania instrumentu muzycznego, sformułowany został cel główny oraz kilka celów dodatkowych, b˛ed ˛acych uzupełnieniem kluczowych zjawisk wyst˛epuj ˛acych w procesie modelowania. Celem głównym niniejszej rozprawy jest zbudowanie i zwalidowanie numerycznego modelu płyty rezonansowej górnej violi da gamba. Aby zrealizowa´c tak postawiony cel, konieczne było rozwi ˛azanie szeregu problemów cz ˛astkowych, z których najistotniejszy to identyfikacja parametrów modelu z wykorzystaniem optymalizacji wielokryterialnej. Ponadto, uwzgl˛ednione zostały tak˙ze cele dodatkowe, które mo˙zna sformułowa´c jako:
– zbudowanie modelu violi z uwzgl˛ednieniem sprz˛e˙zenia pola mechanicznego (poprzez pole mechaniczne nale˙zy rozumie´c pole przemieszcze´n zdyskretyzowanego za pomoc ˛a MES układu ci ˛agłego, opisanego równaniem ruchu zgodnie z II zasad ˛a dynamiki Newtona [44, 54]) z polem
1.4. Cel i zakres pracy 17
akustycznym (wewn ˛atrz instrumentu) w celu identyfikacji akustycznych postaci drga´n własnych. Model ten umo˙zliwi zbadanie ró˙znic w drganiach płyty górnej pomi˛edzy modelem z obj˛eto´sci ˛a akustyczn ˛a wewn ˛atrz a konstrukcj ˛a instrumentu bez niej,
– wykorzystanie zwalidowanego modelu do projektowania nowych kształtów płyt rezonansowych (np. prostok ˛atnej), zachowuj ˛ac charakterystyk˛e drga´n wzorca ([107]). Dzi˛eki temu powstaje tak˙ze mo˙zliwo´s´c modelowania zmian grubo´sci płyt rezonansowych przy zastosowaniu nowoczesnych materiałów kompozytowych jak w [106].
Teza niniejszej rozprawy jest nast˛epuj ˛aca:
Optymalizacja wielokryterialna pozwala na tworzenie modeli numerycznych górnej płyty instrumentu smyczkowego, w których zbie˙zno´s´c parametrów z obiektem rzeczywistym ro´snie wraz z wprowadzeniem do modelu dodatkowych elementów konstrukcyjnych i zmiennych warunków brzegowych.
Znaczenie powy˙zszej tezy wynika z cz˛esto obserwowanej w pracach nad modelowaniem obiektów prawidłowo´sci, ˙ze wzrost stopnia komplikacji modelu prowadzi do problemów numerycznych i bł˛edów co skutkuje pogorszeniem jego parametrów zamiast ich spodziewanej poprawy. W ramach niniejszej pracy tez˛e udowodniono wył ˛acznie dla violi da gamba jako przedstawiciela rodziny instrumentów smyczkowych, jednak mo˙zna z wysokim prawdopodobie´nstwem przyj ˛a´c zało˙zenie, ˙ze teza oka˙ze si˛e prawdziwa dla pozostałych instrumentów tej rodziny. Ogólny schemat modelowania violi da gamba przedstawiony został na rysunku 1.8.
Rys. 1.8. Schemat blokowy procesu modelowania violi da gamba.
Na podstawie szkicu violi (rysunek 1.5) wykonano konstrukcj˛e geometryczn ˛a instrumentu w ´srodowisku MES. Ponadto, w celu pozyskania niezb˛ednych informacji o zjawiskach fizycznych wyst˛epuj ˛acych w rzeczywistym instrumencie, wykonano eksperymentaln ˛a analiz˛e modaln ˛a (opisan ˛a szczegółowo w rozdziale 3). Dzi˛eki pomocy eksperckiej, współpracuj ˛acych w badaniach naukowych lutników, dokonano niezb˛ednych modyfikacji modelu violi (badana viola da gamba, wykonana przez p. Jana Pawlikowskiego, posiadała kilka ró˙znic konstrukcyjnych głównie dotycz ˛acych elementów usztywniaj ˛acych) oraz zaproponowano dopuszczalne zakresy parametrów geometrycznych, niezb˛edne z punktu widzenia przeprowadzonej optymalizacji wielokryterialnej. Na podstawie dost˛epnych bada´n
18 1.4. Cel i zakres pracy
naukowych nad materiałami lutniczymi, sformułowane (wraz z uzasadnieniem) zostały własne kryteria identyfikacji: doboru materiału i wytrzymało´sciowe (opisane obszernie w rozdziale 4.6.2). Bazuj ˛ac na wyznaczonych eksperymentalnie cz˛estotliwo´sciach i postaciach drga´n własnych płyty gónrej violi da gamba (PG), stworzono wektor parametrów wyj´sciowych. Składa si˛e on z siedmiu kluczowych cz˛estotliwo´sci oraz siedmiu warto´sci podobie´nstwa (na podstawie kryterium MAC [4]) postaci drga´n własnych, pomi˛edzy eksperymentalnie zmierzonymi a uzyskanymi w wyniku analizy modalnej w ´srodowisku numerycznym. Na podstawie parametrów wyj´sciowych sformułowana została funkcja celu opisana w rozdziale 4.3. Kolejno, odwołuj ˛ac si˛e do rysunku 1.8, dokonywany jest proces optymalizacji wielokryterialnej, polegaj ˛acy na minimalizacji funkcji celu (opisany w rozdziale 4). Sam proces optymalizacji polegał na przeszukiwaniu powierzchni odpowiedzi (RS), za pomoc ˛a algorytmu przesiewania (AP) lub genetycznego (AG). Powierzchnie odpowiedzi wyznaczono z u˙zyciem metody uniwersalnego kriggingu (MUK) na danych uzyskanych w wyniku przeprowadzenia eksperymentu komputerowego, bazuj ˛acego na optymalnym wypełnieniu przestrzeni (OSF). Ostatecznie, finalnym rezultatem procesu modelowania jest zwalidowany model violi da gamba (pełnego instrumentu) wraz z optymalnymi parametrami wej´sciowymi (parametry materiałowe, geometryczne). Taki model umo˙zliwia analiz˛e drga´n swobodnej płyty rezonansowej górnej, po uprzednim demonta˙zu jej w ´srodowisku komputerowym od pozostałych elementów instrumentu. W tym miejscu nale˙zy odnie´s´c si˛e ponownie do wyników analizy eksperymentalnej, która przeprowadzona była na PG pełnego instrumentu. W zwi ˛azku z tym, aby uzyska´c optymalne dostrojenie cz˛estotliwo´sci oraz dopasowanie postaci, nale˙zało pokona´c dodatkow ˛a trudno´s´c polegaj ˛ac ˛a na zbudowaniu i zwalidowaniu pełnego modelu violi podpieraj ˛ac si˛e wspomnianymi szkicami instrumentu, pomoc ˛a eksperck ˛a oraz optymalizacj ˛a wielokryterialn ˛a.
Praca zawiera opis doboru metody modelowania wraz ze ´srodowiskiem numerycznym (opisanych w rozdziale 2) oraz szczegółowym obja´snieniem metod optymalizacji i zbudowanych modeli po´srednich violi da gamba. Powstały one w celu zbadania dodatkowych zjawisk fizycznych wynikaj ˛acych z u˙zycia duszy i wprowadzenia do układu napr˛e˙ze´n od naci ˛agu strun, co stanowiło kolejny problem uwzgl˛edniony w rozprawie. Dzi˛eki okre´sleniu istotno´sci parametrów wej´sciowych (opisanej w rozdziale 5.5), poprzez przeprowadzanie dodatkowych eksperymentów komputerowych i zastosowaniu autorskiego kryterium bazuj ˛acego na warto´sci współczynnika determinacji, dokonano redukcji ich liczby z 28 do 12, co tak˙ze było celem dodatkowym niniejszej pracy.
Upraszczaj ˛ac ide˛e procesu modelowania zastosowanego w pracy (przedstawiony na rysunku 1.9), mo˙zna wyrazi´c go jako dostrajanie kluczowych cz˛estotliwo´sci i postaci drga´n własnych modelu numerycznego (w tym przypadku dowolnej płyty lub powłoki) do eksperymentalnie zmierzonych, z zało˙zon ˛a dokładno´sci ˛a zdefiniowan ˛a w postaci kryteriów optymalizacji.
Ostatecznie modelowanie opierało si˛e na dostrajaniu siedmiu cz˛estotliwo´sci drga´n własnych i siedmiu postaci. Rysunek 1.9 pokazuje istot˛e dostrajania przykładowo wybranej cz˛estotliwo´sci FN5 wyznaczonej w numerycznej analizie modalnej do eksperymentalnie zmierzonej FR7. Dodatkowo dopasowuje si˛e postaci PN5 do PR7, wykorzystuj ˛ac do tego kryterium MAC (zarówno w przypadku
1.4. Cel i zakres pracy 19
dostrajania cz˛estotliwo´sci jak i dopasowania postaci przedstawionych na rysunku 1.9 zało˙zono ich wzajemne podobie´nstwo, które nie wynika bezpo´srednio z oceny wzrokowej). Nale˙zy zaznaczy´c, ˙ze podczas dopasowywania postaci wyst˛epuje problem z ich wzajemnym przeskakiwaniem. Został on zniwelowany w znaczny sposób poprzez zastosowanie autorskiego algorytmu preselekcji postaci drga´n własnych (opisanego w rozdziale 4.6.1). Ze wzgl˛edu na pomiar cz˛estotliwo´sci drga´n własnych do 300 Hz pojawił si˛e problem ze zbyt mał ˛a rozdzielczo´sci ˛a siatki pomiarowej badanej PG, co w efekcie wpłyn˛eło negatywnie na odwzorowanie postaci C7. Aby zminimalizowa´c ten problem opracowany i zaimplementowany został autorski algorytm wygładzania opisany w rozdziale 3.1.4.
Rys. 1.9. Uproszczona idea procesu modelowania. PN posta´c numeryczna; PR -posta´c rzeczywista; FN - cz˛estotliwo´s´c numeryczna; FR - cz˛estotliwo´s´c rzeczywista.
Dodatkowo rozdział 3 zawiera opis eksperymentalnej analizy modalnej wraz z doborem kluczowych cz˛estotliwo´sci i postaci z punktu widzenia zało˙zonego celu bada´n. Kolejny rozdział 4 zawiera opis optymalizacji wielokryterialnej wraz z identyfikacj ˛a, a tak˙ze analityczny przykład zastosowania AG w zastosowaniu do optymalizacji wielokryterialnej. Ponadto, wszystkie stworzone modele w ´srodowisku MES opisane zostały w rozdziale 5 ze szczegółowym obja´snieniem elementów sko´nczonych
20 1.4. Cel i zakres pracy
oraz parametryzacji u˙zytych funkcji pakietu ANSYS. Kolejny rozdział 6 zawiera szczegółowe zestawienie wyników modelowania numerycznego wraz z ich analiz ˛a, ze wszystkich przeprowadzonych eksperymentów komputerowych. W rozdziale 7 znajduje si˛e obszerne podsumowanie pracy i uzyskanych wyników wraz ze wskazaniem kierunków przyszłych bada´n. Ze wzgl˛edu na stosunkow ˛a du˙z ˛a zawarto´s´c pracy, autor postanowił nie umieszcza´c dodatkowych tabel i rysunków w tre´sci pracy, st ˛ad umieszczono je w zał ˛acznikach.
Praca została dofinansowana w wybranych etapach z nast˛epuj ˛acych ´zródeł: Doctus - Małopolski fundusz stypendialny dla doktorantów; Grant Dzieka´nski na wydziale In˙zynierii Mechanicznej i Robotyki, AGH w Krakowie, lata 2013 - 2016.