Index of /rozprawy2/11395

Pełen tekst

(1)A KADEMIA G ÓRNICZO -H UTNICZA. IM .. S TANISŁAWA S TASZICA. W. K RAKOWIE. ˙ WYDZIAŁ INZYNIERII MECHANICZNEJ I ROBOTYKI KATEDRA MECHANIKI I WIBROAKUSTYKI. Praca doktorska Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba Numerical modelling of viola da gamba soundboard. Autor: Kierunek studiów: Opiekun pracy:. ´ mgr in˙z. Tomasz Jan Wilczynski Mechanika prof. dr hab. in˙z. Piotr Kleczkowski. Kraków, 2018.

(2) Uprzedzony o odpowiedzialno´sci karnej na podstawie art. 115 ust. 1 i 2 ustawy z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych (t.j. Dz.U. z 2006 r. Nr 90, poz. 631 z pó´zn. zm.): „Kto przywłaszcza sobie autorstwo albo wprowadza w bład ˛ co do autorstwa cało´sci lub cz˛esći cudzego utworu albo artystycznego wykonania, podlega grzywnie, karze ograniczenia wolno´sci albo pozbawienia wolno´sci do lat 3. Tej samej karze podlega, kto rozpowszechnia bez podania nazwiska lub pseudonimu twórcy cudzy utwór w wersji oryginalnej albo w postaci opracowania, artystycznego wykonania albo publicznie zniekształca taki utwór, artystyczne wykonanie, fonogram, wideogram lub nadanie.”, a takz˙e uprzedzony o odpowiedzialno´sci dyscyplinarnej na podstawie art. 211 ust. 1 ustawy z dnia 27 lipca 2005 r. Prawo o szkolnictwie wyz˙szym (t.j. Dz. U. z 2012 r. poz. 572, z pó´zn. zm.): „Za naruszenie przepisów obowiazuj ˛ acych ˛ w uczelni oraz za czyny uchybiajace ˛ godno´sci studenta student ponosi odpowiedzialno´sc´ dyscyplinarna˛ przed komisja˛ dyscyplinarna˛ albo przed sadem ˛ kolez˙eńskim samorzadu ˛ studenckiego, zwanym dalej «sadem ˛ kolez˙eńskim».”, o´swiadczam, z˙e niniejsza˛ prac˛e dyplomowa˛ wykonałem(-am) osobi´scie i samodzielnie i z˙e nie korzystałem(-am) ze z´ ródeł innych niz˙ wymienione w pracy..

(3) Dla z˙ony, której u´smiech i cierpliwo´sc´ rozja´sniały czas tak długiej i dalekiej drogi... Dzi˛ekuj˛e takz˙e rodzicom za bezgraniczne wsparcie i wiar˛e w moje moz˙liwo´sci..

(4)

(5) 5 Składam serdeczne podzi˛ekowania mojemu promotorowi Panu Profesorowi Piotrowi Kleczkowskiemu za cenne uwagi szczególnie podczas pisania rozprawy. Chciałem równiez˙ podzi˛ekować Doktorowi Romanowi Filipkowi za okazana˛ mi pomoc podczas realizacji pracy. Dodatkowo składam podzi˛ekowania dla Doktora Jakuba Gałki, dzi˛eki któremu poprzez wspólna˛ prac˛e w licznych projektach naukowych nauczyłem si˛e, z˙e trudne zagadnienia to nie problemy lecz fascynujace ˛ wyzwania. W tym miejscu pragn˛e podzi˛ekować takz˙e mojemu bratu Doktorowi Pawłowi Wilczyńskiemu, jego geniusz matematyczny zawsze był dla mnie wsparciem w rozwiazywaniu ˛ wielowymiarowych zagadnień inz˙ynierskich. Na koniec chciałem podzi˛ekować niez˙yjacemu ˛ juz˙ Profesorowi Stanisławowi Przystasiowi. Był dla mnie przykładem skromno´sci w wielkim s´wiecie nauki i muzyki. Jego mi˛edzynarodowy, przez wielu niedoceniany, geniusz muzyczny stał si˛e inspiracja˛ moich prac dyplomowych w Polsce i Wielkiej Brytanii. Był takz˙e powodem podj˛ecia zagadnienia modelowania instrumentu muzycznego w rozprawie doktorskiej.. mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(6) Spis tre´sci. Spis rysunków.................................................................................................................................. 18 Spis tabel.......................................................................................................................................... 21 1. Wprowadzenie................................................................................................................................. 3. 1.1.. Instrumenty smyczkowe w muzyce........................................................................................ 3. 1.2.. Viola da gamba na tle instrumentów smyczkowych............................................................... 5. 1.2.1. Budowa badanego instrumentu viola da gamba.......................................................... 9. 1.3.. Modelowanie instrumentów smyczkowych........................................................................... 12 1.3.1. Modelowanie innych instrumentów strunowych ....................................................... 14 1.3.2. Dotychczasowe próby modelowania viol da gamba .................................................. 15. 1.4.. Cel i zakres pracy .................................................................................................................. 16. 2. Metodyka modelowania violi da gamba ...................................................................................... 21 2.1.. Wpływ parametrów materiałowych na drgania płyty............................................................ 21. 2.2.. Modelowanie w MES ............................................................................................................ 23. 2.3.. Zastosowany pakiet obliczeniowy ......................................................................................... 24 2.3.1. Zastosowany element skończony ............................................................................... 25 2.3.2. Analiza modalna z uwzgl˛ednieniem napr˛ez˙ eń wst˛epnych......................................... 27. 3. Eksperymentalna analiza modalna .............................................................................................. 31 3.1.. Analiza eksperymentalna - wyniki ........................................................................................ 35 3.1.1. Oszacowanie cz˛estotliwo´sci drgań własnych nietłumionych..................................... 35 3.1.2. Wyznaczanie podobieństwa mi˛edzy postaciami zmierzonymi eksperymentalnie .... 35 3.1.3. Ograniczenia analizy eksperymentalnej..................................................................... 41 3.1.4. Algorytm wygładzania postaci C7 ............................................................................ 43. 4. Wielokryterialna optymalizacja wraz z identyfikacja................................................................ ˛ 47 4.1.. Metoda łacińskich hipersze´scianów - LHS ........................................................................... 47. 4.2.. Wyznaczanie powierzchni odpowiedzi - RS ......................................................................... 48. 4.3.. Funkcja celu........................................................................................................................... 55. 4.4.. Optymalno´sc´ w sensie Pareto ................................................................................................ 57.

(7) ´ SPIS TRESCI. 4.5.. 7. Poszukiwanie optymalnych rozwiaza´ ˛ n: metoda przesiewania oraz algorytm genetyczny.... 57 4.5.1. Algorytm Przesiewania - AP...................................................................................... 59 4.5.2. Algorytm Genetyczny - AG ....................................................................................... 63 4.5.3. Przykład analityczny optymalizacji wielokryterialnej z uz˙ yciem AG ...................... 64 4.5.4. Kryteria zbiez˙ no´sci AG ............................................................................................. 69. 4.6.. Identyfikacja modelu wraz z analiza˛ wyników ..................................................................... 70 4.6.1. Preselekcja postaci drgań własnych ........................................................................... 71 4.6.2. Kryteria identyfikacji ................................................................................................. 72. 4.7.. Podsumowanie....................................................................................................................... 75. ´ 5. Opis zastosowanych modeli numerycznych wraz metodyka˛ badan.......................................... 77 5.1.. Opis modeli numerycznych wraz z zestawieniem róz˙ nic...................................................... 77 5.1.1. Model numeryczny 1.................................................................................................. 78 5.1.2. Model numeryczny 2.................................................................................................. 81 5.1.3. Model numeryczny 3.................................................................................................. 86 5.1.4. Model numeryczny 4.................................................................................................. 87. 5.2.. Modele dodatkowe................................................................................................................. 91 5.2.1. Model z wydłuz˙ aniem duszy...................................................................................... 91 5.2.2. Model ze sprz˛ez˙ eniem akustycznym.......................................................................... 93 5.2.3. Płyta prostokatna ˛ płaska swobodnie podparta ........................................................... 95. 5.3.. Dobór rozmiaru elementów skończonych płyty górnej......................................................... 95. 5.4.. Zastosowana metodyka modelowania violi da gamba .......................................................... 96. 5.5.. Redukcja parametrów wej´sciowych modeli numerycznych.................................................. 99. 6. Analiza wyników dla zastosowanych modeli numerycznych.....................................................101 6.1.. Model 1: analiza wyników ....................................................................................................101 6.1.1. Warunki poczatkowe ˛ procesu modelowania - eksperyment E0 .................................101 6.1.2. Przesuni˛ecie cz˛estotliwo´sci drgań własnych - eksperyment E1.................................102. 6.2.. Model 2: analiza wyników ....................................................................................................105 6.2.1. Faza poczatkowa ˛ eksperymentu E20 .........................................................................106 6.2.2. Analiza wyników E21 ................................................................................................106 6.2.3. Analiza wyników E22 ................................................................................................109. 6.3.. Model 3: analiza wyników ....................................................................................................111 6.3.1. Faza poczatkowa ˛ eksperymentu E30 .........................................................................112 6.3.2. Analiza wyników E31 ................................................................................................112 6.3.3. Analiza wyników E32 ................................................................................................113 mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(8) ´ SPIS TRESCI. 8 6.4.. Model 4: analiza wyników ....................................................................................................115 6.4.1. Faza poczatkowa ˛ eksperymentu E40 .........................................................................115 6.4.2. Analiza wyników E41 ................................................................................................116 6.4.3. Analiza wyników E42 ................................................................................................117 6.4.4. Wyniki modelowania płyty górnej violi da gamba ....................................................119. 6.5.. Model MDu : analiza wyników ..............................................................................................121. 6.6.. Model Maku : analiza wyników .............................................................................................122. 6.7.. Model płyty prostokatnej ˛ swobodnie podpartej płaskiej: analiza wyników..........................124. 7. Podsumowanie................................................................................................................................127 7.1.. Przyszły zakres prac ..............................................................................................................131. A. Dodatkowe tabele ...........................................................................................................................133 B. Dodatkowe rysunki ........................................................................................................................135. mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(9) Spis oznaczen´. wzgl˛edny bład ˛ predykcji w metodzie ulepszania powierzchni odpowiedzi. ✏r s. obszar pola mechanicznego. ˘ C. niezdominowany zbiór parametrów wyj´sciowych. ˘ S. niezdominowany zbiór parametrów wej´sciowych tzw. front Pareto (x). wektor składowy funkcji celu odnoszacy ˛ si˛e do dopasowania postaci drgań własnych za pomoca˛ kryterium MAC. (x) wektor składowy funkcji celu odnoszacy ˛ si˛e do cz˛estotliwo´sci drgań własnych L(. ⇢s s. , µ) funkcja Lagrange’a o poszukiwanych wagach. oraz mnoz˙ nikach Lagrange’a µ. g˛esto´sc´ zastosowanego materiału dla bryły znajdujacej ˛ si˛e w ruchu tensor napr˛ez˙ eń. ⇥(x) załoz˙ ona funkcja celu "(s). skorelowane odchylenie w metodzie krigingu. bs. wektor sił obj˛eto´sciowych. Ds. macierz zwiazków ˛ konstytutywnych dla materiału ortotropowego. Fadd dodatkowe siły przyłoz˙ one analizy liniowych zaburzeń, które umoz˙ liwiaja˛ zaobserwowanie bezpo´srednich zmian w modelu, bez konieczno´sci wykonywania nieliniowej analizy statycznej fb. wektor obcia˛z˙ eń powiazanych ˛ z siłami w elemencie bryłowym. Fend całkowite obcia˛z˙ enie na końcu kaz˙ dej iteracji wyznaczone z analizy nieliniowej ff. wektor obcia˛z˙ eń w˛ezłowych powiazanych ˛ z siłami powierzchniowymi. KiC. macierz sztywno´sci pochodzaca ˛ od kontaktów mi˛edzy elementami modelu. KiLD macierz sztywno´sci pochodzaca ˛ od zewn˛etrznych obcia˛z˙ eń (np. ci´snienie zewn˛etrzne).

(10) ´ SPIS TRESCI. 10 KiM. ˛ od parametrów materiałowych cz˛esć´ macierzy Jacobiego macierzy sztywno´sci pochodzaca. KPS. macierz Jacobiego macierzy całkowitej macierzy sztywno´sci modelu numerycznego. Ks. macierz sztywno´sci elementu. KS. całkowita macierz sztywno´sci modelu numerycznego. LN,m macierz uzyskana w wyniku uz˙ ycia metody łacińskich hipersze´sciownów ang. Latin Hypercube Samplin m(s) funkcja trendu w metodzie krigingu Ms. macierz bezwładno´sci elementu. ns. wektor jednostkowych normalnych skierowanych wzgl˛edem osi x, y, z. SiN. macierz sztywno´sci pochodzaca ˛ od niezerowych napr˛ez˙ eń w modelu, gdzie N odnosi si˛e do analizy nieliniowej. Uperturbated przemieszczenia zwiazane ˛ z wprowadzeniem obcia˛z˙ eń wynikajacych ˛ z napr˛ez˙ eń wst˛epnych konstrukcji us. wektor przemieszczeń bryły znajdujacej ˛ si˛e w ruchu. C. zbiór parametrów wyj´sciowych. S. przestrzeń parametrów wej´sciowych. ⌫xy. współczynnik Poissona wokół osi z. ⌫xz. współczynnik Poissona wokół osi y. ⌫yz. współczynnik Poissona wokół osi x. !. cz˛esto´sc´ drgań własnych. ⌦E. cz˛esto´sc´ drgań własnych w układzie bez tłumienia. !E. cz˛esto´sc´ drgań własnych tłumionych. ⇢. g˛esto´sc´ materiału. ⇢ln. g˛esto´sc´ liniowa struny. E. ". 0. ⇣E. współczynnik tłumienia drgań w układzie bład ˛ residualny w metodzie krigingu procentowy współczynnik tłumienia damping ratio. mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(11) ´ SPIS TRESCI. 11. A0 , A1 oznaczenia cz˛estotliwo´sci i odpowiadajacych ˛ im postaci drgań własnych obj˛eto´sci akustycznej wewnatrz ˛ instrumentu C1 , ..., C7 oznaczenia kolejnych cz˛estotliwo´sci i odpowiadajacych ˛ im postaci drgań własnych konstrukcji Du. parametr wej´sciowy odnoszacy ˛ si˛e do s´rednicy duszy. DuL. parametr wej´sciowy wydłuz˙ ania duszy violi da gamba. Dux , Duy parametry wej´sciowe odnoszace ˛ si˛e do połoz˙ enia duszy E. operator warto´sci oczekiwanej. Ex (Exx ) moduł sztywno´sci podłuz˙ nej wzgl˛edem osi x Ey (Eyy ) moduł sztywno´sci podłuz˙ nej wzgl˛edem osi y Ez (Ezz ) moduł sztywno´sci podłuz˙ nej wzgl˛edem osi z F (chi ) warto´sc´ funkcji przystosowania dla kolejnego chromosomu f (x, y) analityczna reprezentacja bazowej (dolnej) powłoki płyty rezonansowej górnej violi da gamba g(f (x, y)) funkcja grubo´sci płyty rezonansowej górnej violi da gamba Gp (x, y) analityczna reprezentacja górnej powłoki płyty rezonansowej górnej violi da gamba Gxy. moduł sztywno´sci poprzecznej wokół osi z. Gxz. moduł sztywno´sci poprzecznej wokół osi y. Gyz. moduł sztywno´sci poprzecznej wokół osi x. h. s´rednia grubo´sc´ płyty płaskiej. h1 , h2 parametry grubo´sci płyty rezonansowej górnej violi da gamba kL. współczynnik bezpieczeństwa dla napr˛ez˙ eń głównych wzdłuz˙ włókien. kR. współczynnik bezpieczeństwa dla napr˛ez˙ eń głównych w poprzek włókien. ln. długo´sc´ struny. Lel. rozmiar elementu skończonego. pKU [Z(s0 )|Z(s)] predyktor Goldbergera w metodzie krigingu uniwersalnego P Dh. grubo´sc´ płyty dolnej violi da gamba mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(12) ´ SPIS TRESCI. 12 R2. współczynnik determinacji ang. Coefficient of Determination. Tn. siła naciagu ˛ struny. v(chi ) procentowa wielko´sc´ wycinka koła ruletki w algorytmie genetycznym p. odwrotna funkcja radykału w metodzie próbkowania Hammerslay’a amplituda drgań własnych. ues. AG. algorytm genetyczny ang. Genetic Algorithm. AG. algorytm genetyczny. AP. algorytm przesiewania ang. Screening. AutoMAC zestawienie podobieństwa postaci wyznaczonych w eksperymentalnej analizie modalnej BB. belka basowa violi da gamba. CSP. stabilno´sc´ procesu wyraz˙ ana w procentach [%] ang. Convergence Stability Percentage. D1,..., D4 stałe materiałowe wprowadzone przez [71] Du. dusza violi da gamba. E0. eksperyment numeryczny inicjalizujacy ˛ cały proces modelowania płyty rezonansowej violi da gamba. E10 , ..., E40 plany eksperymentów komputerowych inicjalizujacych ˛ kolejny etap szeregowej metody modelowania violi da gamba E11 , ..., E41 plany eksperymentów komputerowych zawierajace ˛ parametry wej´sciowe geometryczne E12 , ..., E42 plany eksperymentów komputerowych zawierajace ˛ parametry wej´sciowe materiałowe E5. plan eksperymentu komputerowego uwzgl˛edniajacy ˛ wprowadzenie napr˛ez˙ eń wst˛epnych od wydłuz˙ ania duszy violi da gamba. E6. plan eksperymentu komputerowego uwzgl˛edniajacy ˛ sprz˛ez˙ enie pola mechanicznego z polem akustycznym. FRF. transmitancja układu zwana takz˙ e widmowa˛ funkcja˛ przej´scia ang. Frequency Response Funkction. GoF. dobroć dopasowania w wyznaczaniu powierzchni odpowiedzi ang. Goodness of Fit. Gr. gryf violi da gamba. mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(13) ´ SPIS TRESCI. 13. HS. próbkowanie Hammersley’a ang. Hammerslay Sampling. KU. klocki usztywniajace ˛ violi da gamba. LHS. metoda łacińskich hipersze´sciownów ang. Latin Hypercube Samplin. LP. listewki pionowe violi da gamba. LRT. oznaczenie układu ortotropowego materiału drewna. LU. listwa usztywniajaca ˛ violi da gamba. Maku model komputerowy uwzgl˛edniajacy ˛ sprz˛ez˙ enie akustyczne MDu. model komputerowy z wydłuz˙ aniem duszy. M1. model komputerowy violi da gamba numer 1. M2. model komputerowy violi da gamba numer 2. M3. model komputerowy violi da gamba numer 3. M4. model komputerowy violi da gamba numer 4. MAC kryterium podobieństwa postaci drgań własnych ang. Modal Assurance Criterion MAPP maksymalny dopuszczalny procent rozwiaza´ ˛ n optymalnych w sensie Pareto ang. Maximum Allowable Pareto Percentage MB. metoda bezsiatkowa (ang. Non-Mesh Method). MEB metoda elementów brzegowych (ang. Edge Elements Method) MES. metoda elementów skończonych. MOGA wielokryterialny algorytm genetyczny ang. Multi-objective Genetic Algorithm MOS metoda obj˛eto´sci skończonych (ang. Finite Volume Method) MRS metoda róz˙ nic skończonych (ang. Finite Difference Method) MUK metoda uniwersalnego kriggingu NS. naciagacz ˛ strun violi da gamba. NSGA-II niezdominowany sortowany algorytm genetyczny ang. Non-dominated Sorted Genetic Algorithm-II) OA. obj˛eto´sc´ akustyczna violi da gamba mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(14) ´ SPIS TRESCI. 14 OC. udoskonalone Kryterium Rossinga nazwane Własnym Kryterium Own Criterion. OSF. algorytm optymalnego wypełnienia przestrzeni ang. Optimal Space Filling. PB. płyta boczna violi da gamba. PD. płyta rezonansowa dolna violi da gamba. PG. płyta rezonansowa górna violi da gamba. PnD. pieniek dolny violi da gamba. PnG. pieniek górny violi da gamba. Po. podstawek violi da gamba. PPSP model komputerowy płyty prostokatnej ˛ płaskiej swobodnie podpartej RC. kryterium materiałowe nazwane Kryterium Rossinga Rossing Criterion. RMAE relatywny maksymalny bład ˛ bezwzgl˛edny (ang. Relative Maximum Absolute Error RMSE pierwiastek bł˛edu s´redniokwadratowego RP. metoda punktów ulepszajacych ˛ ang. Renifement Points. RS. powierzchnie odpowiedzi ang. Response Surfaces. RS. powierzchnie odpowiedzi ang. Response Surfaces. SPL. poziom ci´snienia akustycznego ang. Sound Pressure Level. SVM maszyna wektorów no´snych ang. Support Vectors Machine. mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(15) Spis rysunków 1.1. Instrument rebec. Ilustracja pobrana z [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.2. Instrumenty smyczkowe ludowe w Polsce epoki wczesnego s´redniowiecza. . . . . . . .. 5. 1.3. Konsort viol stworzony przez Michale Preatouriusa ([85]). . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.4. Viola da gamba wykonana przez Nicolas Bertranda w 1720 roku. . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.5. Szkic violi da gamba stworzony przez N. Bertanda w 1720 roku w Paryz˙ u. . . . . . . . .. 10. 1.6. Budowa badanej eksperymentalnie basowej violi da gamba. . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.7. Wn˛etrze pudła rezonansowego violi da gamba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.8. Schemat blokowy procesu modelowania violi da gamba. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 1.9. Uproszczona idea procesu modelowania. PN - postać numeryczna; PR - postać rzeczywista; FN - cz˛estotliwo´sc´ numeryczna; FR - cz˛estotliwo´sc´ rzeczywista. . . . . . .. 2.1. Róz˙ nica dostrojenia cz˛estotliwo´sci drgań własnych w zalez˙ no´sci od uz˙ ytego elementu skończonego oraz przyj˛etej grubo´sci płyty h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.2. 19. 26. Schemat blokowy analizy modalnej, wraz z nieliniowa˛ analiza˛ statyczna˛ oraz analiza˛ liniowych zaburzeń. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 3.1. Pogladowy ˛ schemat pomiaru drgań instrumentu z uz˙ yciem młotka modalnego. . . . . . .. 32. 3.2. Zestawienie postaci drgań dla jednowymiarowej utwierdzonej belki i trzech punktów pomiarowych DOF, zaczerpni˛ety z [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.3. Energia charakterystyki amplitudowo-cz˛estotliwo´sciowej FRF, wraz z kolejnymi postaciami drgań przyporzadkowanymi ˛ do odpowiedniej cz˛estotliwo´sci. . . . . . . . . .. 3.4. 38. Zestawienie wykresów widmowej g˛esto´sci mocy dla d´zwi˛eków D2 i G2 z zaznaczona˛ cz˛estotliwo´scia˛ A0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.6. 36. Zestawienie podobieństw mi˛edzy wyznaczonymi eksperymentalnie postaciami drgań z wykorzystaniem kryterium MAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.5. 34. 39. Zestawienie postaci obj˛eto´sci akustycznej wewnatrz ˛ violi da gamba dla A0 i A1 , uzyskanych w s´rodowisku ANSYS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 3.7. Zdj˛ecie rozmieszczenia punktów pomiarowych na powierzchni PG . . . . . . . . . . . .. 42. 3.8. Uproszczony algorytm wygładzania postaci C7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43.

(16) 16. SPIS RYSUNKÓW. 3.9. Numeryczna postać C7 uzyskana w s´rodowisku ANSYS dla modelu 2. . . . . . . . . . .. 44. 3.10 Schemat blokowy autorskiego algorytmu wygładzania postaci C7 z uz˙ yciem metod przetwarzania obrazów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 45. Porównanie rozmieszczenia punktów w przestrzeni eksperymentu za pomoca˛ dwóch metod bazujacych ˛ na LHS. Parametry wej´sciowe oznaczono jako x1 oraz x2. . . . . . .. 49. 4.2. Przykład interpolacji metoda˛ krigingu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 4.3. Wyznaczanie powierzchni odpowiedzi: widok 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 4.4. Przykład niepoprawnie wyznaczona powierzchnia odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . .. 55. 4.5. Przekształcenie zbioru parametrów wej´sciowych S w zbiór rozwiaza´ ˛ n funkcji celu C. Rysunek autora według [100] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 4.6. Przykłady rozmieszczania punktów w przestrzeni 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 4.7. Interpretacja graficzna algorytmu przesiewania punktów na RS . . . . . . . . . . . . . .. 61. 4.8. Wykres kompromisu dla zbiorów optymalnych w sensie Pareto po metodzie przesiewania. Optymalne parametry w sensie Pareto zaznaczono kolorem niebieskim . .. 63. Koło ruletki do selekcji chromosomów rozpatrywanego przykładu optymalizacji . . . . .. 67. 4.10 Proces krzyz˙ owania chromosomów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 4.11 Przebieg iteracji algorytmu genetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. 4.9. 4.12 Zbiór rozwiaza´ ˛ n optymalnych w sensie Pareto po optymalizacji z uz˙ yciem algorytmu genetycznego. Optymalne rozwiazania ˛ zaznaczono kolorem niebieskim . . . . . . . . . 4.13 Algorytm preselekcji postaci drgań w celu zniwelowania efektu przeskakiwania postaci.. 71 72. 4.14 Algorytm preselekcji na podstawie operacji macierzowych. Komórki spełniajace ˛ kryterium róz˙ nicy cz˛estotliwo´sci 20% zaznaczono kolorem zielonym. Komórka reprezentujaca ˛ róz˙ nic˛e cz˛estotliwo´sci niespełniajac ˛ a˛ kryterium zaznaczono kolorem czerwonym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 4.15 Interpretacja graficzna kryterium RC i OC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 5.1. Geometria modelu 1 w postaci trzech rzutów prostokatnych ˛ . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 5.2. Interpretacja 3D modelu M1 z siatka˛ i warunkami brzegowymi . . . . . . . . . . . . . .. 79. 5.3. Kontakt pomi˛edzy PG a BB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81. 5.4. Liniowy rozkład grubo´sci płyty górnej w [m] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81. 5.5. Geometria modelu M2 w postaci trzech rzutów prostokatnych ˛ . . . . . . . . . . . . . .. 82. 5.6. Rozkład wiotkich spr˛ez˙ yn na modelu M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83. 5.7. Nakładanie siatki dla modelu M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. 5.8. Model M3 wraz z nałoz˙ ona˛ siatka.˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86. 5.9. Model M4 wraz z nałoz˙ ona˛ siatka.˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88. mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(17) 17. SPIS RYSUNKÓW. 5.10 Rozkład sił od naciagu ˛ strun w płaszczy´znie y. z i modelu numerycznym. . . . . . . .. 89. 5.11 Połaczenie ˛ kontaktowe typu rough mi˛edzy Du a LU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91. 5.12 Stworzony model do wizualizacji działania kontaktu rough. . . . . . . . . . . . . . . . .. 92. 5.13 Model Maku wraz z napr˛ez˙ eniami i warunkami brzegowymi. . . . . . . . . . . . . . . .. 93. 5.14 Model PPSP wraz z warunkami brzegowymi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95. 5.15 Badanie doboru rozmiaru elementu skończonego dla PG . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96. 5.16 Schemat przyj˛etej metodyki modelowania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97. 5.17 Fragment macierzy determinacji dla 20 parametrów wej´sciowych . . . . . . . . . . . . . 100 6.1. Zestawienie postaci C4 wyznaczonej nuemerycznie z eksperymentalnie zmierzonej po eksperymencie E0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. 6.2. Zestawienie postaci C4 numerycznej uzyskanej w E1 z fshif t = 10 i eksperymentalnej. . 106. 6.3. Wykres kompromisu zbioru parametrów wej´sciowych i wyj´sciowych po E1 z fshif t = 10. 107. 6.4. Zbióry parametrów Pareto optymalnych po E21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109. 6.5. Wykresy postaci C1 i C4 dla PG, PD i zmierzonych eksperymentalnie . . . . . . . . . . 110. 6.6. Zestawienie postaci C2 i C3 dla PG oraz PD, po E2 i E3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 114. 6.7. s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Wykres kompromisu dla RC i vxy. 6.8. Zestawienie postaci zdemontowanej PG swobodnej wraz z cz˛estotliwo´sciami. . . . . . . 120. 6.9. Sprz˛ez˙ enie wibroakustyczne w zestawieniu wyników z E60 i E61 . . . . . . . . . . . . . 123. 6.10 Zbiór parametrów wej´sciowych i wyj´sciowych optymalnych w sensie Pareto uzyskanych dla PPSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.1. Szacowane grubo´sci płyt rezonansowych violi da gamba . . . . . . . . . . . . . . . . . 128. B.1 Zestawienie postaci numerycznych C6 i C7 uzyskanych w E1 z fshif t = 10 do eksperymentalnie zmierzonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 B.2 Elementy konstrukcyjne violi da gamba (PG, PD, PB, OA) . . . . . . . . . . . . . . . . 136 B.3 Elementy konstrukcyjne violi da gamba (BB, Du, Gr, PnG, LP) . . . . . . . . . . . . . . 137 B.4 Elementy konstrukcyjne violi da gamba (LU, PnD, KU, Po, St) . . . . . . . . . . . . . . 138 B.5 Porównanie działania kontaktu bonded do rough. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 B.6 Zestawienie parametrów Pareto optymalnych po E21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 B.7 Wykresy napr˛ez˙ eń normalnych na PG wzdłuz˙ osi L i R uzyskane po E42 . . . . . . . . . 139 B.8 Zestawienie postaci C1. C3 uzyskanych po E42 , wraz z odpowiednikiem. eksperymentalnie zmierzonym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 B.9 Zestawienie postaci C4. C6 uzyskanych po E42 , wraz z odpowiednikiem. eksperymentalnie zmierzonym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(18) 18. SPIS RYSUNKÓW. B.10 Zestawienie postaci C7 uzyskanej po E42 , wraz z odpowiednikiem eksperymentalnie zmierzonym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142. mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(19) Spis tablic 1.1. Stroje viol da gamba zaproponowane przez Silvestro Ganassiego [111, 75] . . . . . . . .. 6. 3.1. Zestawienie cz˛estotliwo´sci drgań własnych tłumionych oraz bez tłumienia . . . . . . . .. 37. 3.2. Zestawienie symboli dla postaci drgań konstrukcji (C1. C7 ) i akustycznych (A0 i A1 ). wraz z róz˙ nicami w stosunku do cz˛estotliwo´sci nastrojenia strun badanej violi da gamba w procentach [%]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Zestawienie symboli dla postaci drgań konstrukcji (C1. 41. C7 ) i akustycznych (A0 i A1 ). wraz z róz˙ nicami w stosunku do cz˛estotliwo´sci nastrojenia strun badanej violi da gamba w centach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 41. Reprezentacja binarna wraz z wynikami odwrotnej funkcji radykału dla ciagu ˛ liczb dziesi˛etnych uzyskana na podstawie równania 4.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 4.2. Kodowanie genotypów i odpowiadajace ˛ im fenotypy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 4.3. Warto´sci funkcji przystosowania i wielko´sc´ wycinka koła ruletki . . . . . . . . . . . . .. 66. 4.4. Funkcja przystosowania dla puli chromosomów po aktualizacji (tymczasowa pula rodzicielska) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 5.1. Konfiguracja osi układu ortotropowego (LRT) dla elementów konstrukcyjnych M1 . . .. 79. 5.2. Konfiguracja osi układu ortotropowego (LRT) dla elementów konstrukcyjnych M2 . . .. 83. 5.3. Reakcje siły spr˛ez˙ ysto´sci wiotkich spr˛ez˙ yn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83. 5.4. Numeracja kolejnych połacze´ ˛ n kontaktowych w modelu M2. . . . . . . . . . . . . . . .. 84. 5.5. Kolejno´sci nakładania siatki w modelu M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. 5.6. Konfiguracja osi układu ortotropowego (LRT) dla elementów konstrukcyjnych modelu 2. 86. 5.7. Numeracja kolejnych połacze´ ˛ n kontaktowych w modelu M3. . . . . . . . . . . . . . . .. 87. 5.8. Kolejno´sci nakładania siatki w modelu M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87. 5.9. Parametry zmierzonych strun jelitowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88. 5.10 Składowe sił w płaszczy´znie y. z wyznaczone analitycznie . . . . . . . . . . . . . . .. 90. 5.11 Numeracja kolejnych połacze´ ˛ n kontaktowych w modelu M4. . . . . . . . . . . . . . . .. 90. 5.12 Kolejno´sci nakładania siatki w modelu M4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90. 5.13 Numeracja kolejnych połacze´ ˛ n kontaktowych w modelu Maku . . . . . . . . . . . . . . .. 94.

(20) 20. SPIS TABLIC. 5.14 Kolejno´sci nakładania siatki w modelu M4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94. 6.1. Wykaz parametrów materiałowych dla E0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. 6.2. Wykaz parametrów geometrycznych dla E0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. 6.3. Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E0. . . . . . . . . . . . . . . . . 102. 6.4. Wykaz parametrów inicjalizujacych ˛ algorytmu genetycznego w E1 . . . . . . . . . . . . 103. 6.5. Wykaz zakresów parametrów materiałowych dla E1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. 6.6. Wykaz zakresów parametrów geometrycznych dla E1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. 6.7. Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E1 z fshif t = 0. . . . . . . . . . . 104. 6.8. Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E1 z fshif t = 10. . . . . . . . . . 105. 6.9. Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E1 z fshif t = 10. . . . . . . . . . 105. 6.10 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.11 Wykaz zakresów parametrów geometrycznych dla E21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.12 Optymalne parametry wej´sciowe po E21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.13 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.14 Optymalne parametry wej´sciowe po E22 , oraz warto´sci kryteriów. . . . . . . . . . . . . 111 6.15 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.16 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.17 Wykaz zakresów parametrów geometrycznych dla E31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.18 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.19 Optymalne parametry wej´sciowe po E31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.20 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.21 Optymalne parametry wej´sciowe po E32 , oraz warto´sci kryteriów. . . . . . . . . . . . . 115 6.22 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.23 Wykaz zakresów parametrów geometrycznych dla E41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.24 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E41 . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.25 Optymalne parametry wej´sciowe po E41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.26 Optymalne parametry wej´sciowe po E42 , oraz warto´sci kryteriów. . . . . . . . . . . . . 117 6.27 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E42 . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.28 Wykaz zakresów parametrów geometrycznych dla E5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.29 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla MDu . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.30 Optymalne parametry wej´sciowe po E5 oraz warto´sci kryteriów. . . . . . . . . . . . . . 121 6.31 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.32 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E61 . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.33 Wykaz zakresów parametrów geometrycznych dla modelowania PPSP. . . . . . . . . . . 124 mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(21) SPIS TABLIC. 21. 6.34 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci PPSP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.35 Optymalne parametry wej´sciowe PPSP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 A.1 Optymalne parametry wej´sciowe po E1 dla fshif t = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 A.2 Optymalne parametry wej´sciowe po E1 dla fshif t = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 A.3 Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E21 i h2 < 0, 0015 . . . . . . . . 133 A.4 Optymalne parametry wej´sciowe po E21 i h2 < 0, 0015. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 A.5 Wykaz parametrów materiałowych dla s´wierka zaczerpni˛etych z literatury naukowej. . . 134 A.6 Wykaz parametrów materiałowych dla jawora zaczerpni˛etych z literatury naukowej. . . . 134 A.7 Wykaz reszty parametrów wej´sciowych dla modelowania PPSP. . . . . . . . . . . . . . 134. mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(22) Streszczenie Przedmiotem niniejszej pracy było modelowanie płyty rezonansowej górnej instrumentów smyczkowych, na przykładzie violi da gamba. Aby uzyskać wiarygodny model płyty wykonano cztery modele numeryczne o zróz˙ nicowanym stopniu skomplikowania konstrukcji oraz zmiennymi warunkami brzegowymi. Dodatkowo, wykonana została eksperymentalna analiza modalna na rzeczywistym modelu violi da gamba, w wyniku której otrzymano transmitancj˛e układu pozwalajac ˛ a˛ na wyznaczenie cz˛estotliwo´sci i postaci drgań własnych płyty rezonansowej górnej. W celu identyfikacji parametrów zbudowanych modeli wykorzystana została metoda optymalizacji wielokryterialnej bazujacej ˛ na metodzie planowania eksperymentu, wyznaczaniu powierzchni odpowiedzi oraz minimalizacji sformułowanej funkcji celu za pomoca˛ algorytmu przesiewania i genetycznego. Uzyskano zwalidowany model komputerowy violi da gamba spełniajacy ˛ załoz˙ one kryteria dostrojenia cz˛estotliwo´sci drgań własnych +/- 10% oraz dopasowania postaci według kryterium MAC > 0,7. Kryteria identyfikacyjne (wytrzymało´sciowe oraz materiałowe) zostały sformułowane przez autor niniejszej rozprawy. Zdemontowana płyta rezonansowa górna z modelu o najwi˛ekszej komplikacji konstrukcyjnej umoz˙ liwiła wyznaczenie cz˛estotliwo´sci i postaci drgań własnych dla modelu swobodnego. Stworzono takz˙ e modele dodatkowe uwzgl˛edniajacy ˛ pole akustyczne wewnatrz ˛ pudła rezonansowego instrumentu oraz pozwalajacy ˛ na wprowadzanie napr˛ez˙ eń wst˛epnych do modelu za pomoca˛ zmiany długo´sci duszy. Praca zawiera takz˙ e autorskie algorytmy stworzone w celu wygładzania jednej z postaci drgań własnych za pomoca˛ metod przetwarzania obrazu, sposób redukcji parametrów wej´sciowych modelu, redukcj˛e zjawiska wzajemnego zamieniania si˛e postaci b˛edacych ˛ wraz˙ liwych na zmiany parametrów wej´sciowych (głównie geometrycznych)..

(23) 2. SPIS TABLIC. Abstract Modeling of the upper soundboard of string instruments is a main subject of this work. Viola da gamba has been taken as an example and subject of tests. To acquire eligible model of soundboard, four numerical models had been designed. Each of them had been crafted with a different level of built complexity as well as different boundary conditions. Moreover, an experimental modal analysis of viola da gamba has been conducted. As a result of that, transfer function has been obtained which allowed to compute modal frequencies and mode shapes of upper soundboard. In order to identify parameters of designed models, a multi-objective optimization method has been implemented which is based on method of the planning experiment, computing response surface and two-step minimization of formulated cost function using genetic and screening algorithms. Validated computer model of viola da gamba has beed acquired that fulfilled assumed criteria of matching modal frequencies (not exceeding +/- 10% difference) as well as fitment of mode shapes (with MAC>0.7 criterion). Identifying criteria (material and strength) had been formulated and implemented by the author of this dissertation as a result of particular analysis. Disassembled upper soundboard from model with the highest level of build complexity allowed computing of modal frequencies and mode shapes for free model. Moreover, additional models had been created such as model that included acoustic field inside instrument’s resonance box or model that enables to program pre-stresses in model via change of sound post’s length. Elaboration also includes descriptions of proprietary algorithms designed by the author of work to accomplish: smoothing of mode shapes representation using image processing, reduction of input parameter of model, reduction of sensitive representation exchange phenomenon caused by changes (mainly geometrical) in input parameters.. mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(24) 1. Wprowadzenie. Zagadnienie modelowania instrumentów muzycznych od lat jest przedmiotem zainteresowania wielu badaczy. Poczatkowo ˛ proces modelowania odbywał si˛e w pracowniach lutniczych, gdzie arty´sci lutnicy tworzyli fizyczne modele zgodnie ze sztuka˛ lutnictwa, po to aby powi˛ekszać swoja˛ wiedz˛e i testować kolejne konstrukcje instrumentów. Słowny przekaz informacji (prawdopodobnie celowy) doprowadził ostatecznie do szczytu lutnictwa przypadajacego ˛ na poczatku ˛ XIX w., który był takz˙ e jego końcem w ówczesnej formie. Od mniej wi˛ecej II poł. XX wieku, naukowcy staraja˛ si˛e odzyskać najcenniejsze informacje tamtych czasów tak, aby oprócz da˛z˙ enia do dawnych ideałów, moz˙ liwa stała si˛e kontynuacja i rozwój minionego warsztatu lutniczego. Naturalna˛ koleja˛ rzeczy staje si˛e ogromna ch˛ec´ odkrywania tajemnic, które skrywaja˛ dawne instrumenty smyczkowe, a takz˙ e ich szkice stworzone przez wybitnych twórców. Powstaje coraz wi˛ecej prac badawczych po´swi˛econych instrumentom muzycznym, prowadzonych w czołowych o´srodkach badawczych (Aalto University w Finlandii, Cambridge University w Wielkiej Brytanii). Prawdziwa˛ rewolucj˛e w modelowaniu instrumentów muzycznych wprowadziły zaawansowane narz˛edzia inz˙ ynierskie (nowoczesne metody pomiarowe i numeryczne) oraz algorytmy uczenia maszynowego (ang. Machine Learning). Zastosowanie algorytmów ewolucyjnych umoz˙ liwiło identyfikowanie parametrów materiałowych, geometrycznych itp. Nie sposób pomina´ ˛c olbrzymiego rozwoju maszyn obliczeniowych, umoz˙ liwiajacego ˛ przeprowadzanie rozbudowanych analiz i eksperymentów komputerowych, niezb˛ednych w procesie badania zjawisk fizycznych w instrumentach muzycznych.. 1.1. Instrumenty smyczkowe w muzyce Instrumenty smyczkowe nalez˙ a˛ do grupy chordofonów i sa˛ jednymi z najpopularniejszych instrumentów w s´wiecie. Istnieje mnóstwo prac im po´swi˛econych zarówno w dziedzinie historii muzyki, jak i nauk technicznych. Pojawia si˛e równocze´snie wiele watków ˛ owianych tajemnica˛ zwiazanych ˛ z XVII wiekiem i włoska˛ szkoła˛ lutnicza: ˛ kremońska˛ i wenecka.˛ Główni jej przedstawiciele to: Nicola Amati, Jacob Stainer, Andra Guarneri, Antonio Stradivari. Istnieja˛ wzmianki s´wiadcz ˛ ace ˛ o tym, z˙ e wr˛ecz tradycja˛ stało si˛e dochowywanie tajemnicy sztuki lutniczej, poprzez zabieranie jej do grobu. Dlatego, aby pozostać wiernym tradycji, głównym medium informacji w procesie kształcenia nowych adeptów sztuki lutniczej poczawszy ˛ od staroz˙ ytno´sci był w zasadzie przekaz słowny. W ten sposób skutecznie uniemoz˙ liwiono rozprzestrzenianie si˛e wiedzy w niepowołane r˛ece, poniewaz˙ w zasadzie nie była ona.

(25) 4. 1.1. Instrumenty smyczkowe w muzyce. udokumentowana. Taki stan rzeczy utrzymuje si˛e praktycznie po dzień dzisiejszy [25]. Mimo wielu uczelni na całym s´wiecie oferujacych ˛ kształcenie w kierunku lutnictwa, najwaz˙ niejsze wypracowane tajniki wcia˛z˙ zachowuje si˛e dla siebie. Fakt ten potwierdzaja˛ do´swiadczeni lutnicy nalez˙ acy ˛ do Zwiazku ˛ Polskich Artystów Lutników [59, 64]: Andrzej Pancerz, Krystian Grzybacz i Jan Pawlikowski. Po uprzednim ustaleniu zasad harmonii, szczególnie w stron˛e kontrapunktu, epoka renesansu to prawdziwy rozkwit muzyki instrumentalnej. Powstaja˛ w tym czasie liczne warsztaty budowy instrumentów muzycznych (pracownie lutnicze). Z wzgl˛edu na nowe zasady tonalne, bazujace ˛ na brzmieniu harmonicznym w odbiorze wesołym i pozytywnym (euforycznym), rozpocz˛eto tworzenie instrumentów z naciskiem na układ głosów chóralnych: basowe, tenorowe, altowe i dyskantowe. Powstaja˛ całe rodziny instrumentów tylko po to, aby osiagn ˛ a´ ˛c podobna˛ barw˛e d´zwi˛eku w róz˙ nych rejestrach. Istotne informacje na ten temat przytacza Martin Agricola. Na podstawie wiedzy zawartej w „Muscia instrumentalis deudsch”[1], M. Agricola oraz R.Eitner ([40]) dokonuja˛ rozwaz˙ ań, na temat strojenia instrumentu pochodzenia bizantyjskiego o nazwie rebec przedstawionego na rysunku 1.1.. Rys. 1.1. Instrument rebec. Ilustracja pobrana z [30].. Podaja˛ oni podziału instrumentu rebec ze wzgl˛edu na nastrojenie strun w nast˛epujacy ˛ sposób: – rebec dyszkantowy: G3 - D4 - A4, – rebec altowy i tenorowy: C3 - G3 - D4 – rebec basowy: F2 - G2 - D3 - A3 Stwierdzono takz˙ e, z˙ e pomimo mało zaawansowanej technologii wykonywania strun i ich krótkich rozmiarów, twórcy tych instrumentów byli w stanie uzyskać strój zbliz˙ ony do dzisiejszego, czyli A4 = 440 Hz. Nie mniej jednak, okres renesansu to przede wszystkim czas wielkich zmian i rozwoju. Dlatego, około roku 1500 nastapił ˛ ogromny przełom w rozwoju instrumentów smyczkowych. Powstaje pierwszy w historii bas smyczkowy, którym jest sze´sciostrunowa (ze strojem kwartowym) viola da gamba (viola kolanowa). W podobnym czasie w Italii wyłoniła si˛e czterostrunna viola da braccio (viola łokciowa), która okazała si˛e pó´zniej pierwowzorem pojawiajacych ˛ si˛e pó´zniej skrzypiec. Polski akcent w rozwoju mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(26) 5. 1.2. Viola da gamba na tle instrumentów smyczkowych. instrumentów smyczkowych w epoce renesansu wskazany został w traktacie Martina Agricoli [46] wskazujacy ˛ na polskie skrzypce o nazwie polnische Geigen. Autor podaje, z˙ e instrument ten mógł być wykorzystywany przez ówczesnych pasterzy. Nie ma natomiast informacji na temat ich rozwoju, oraz na ile róz˙ niły si˛e one od skrzypiec tworzonych w pó´zniejszym okresie na terenie Włoch. Wcze´sniejszy polski watek ˛ poczatków ˛ instrumentów smyczkowych dotyczy epoki s´redniowiecza, gdzie jednymi z najbardziej popularnych instrumentów smyczkowych były g˛es´le oraz suka biłgorajska przedstawione na rysunku 1.2 według [25].. (a) G˛es´la. (b) Suka biłgorajska. Rys. 1.2. Instrumenty smyczkowe ludowe w Polsce epoki wczesnego s´redniowiecza. Były to instrumenty ludowe uz˙ ywane do wykonywania muzyki s´wieckiej, która w epoce s´redniowiecza była wr˛ecz zakazywana [25]. Chordofony o bardziej zaawansowanej budowie, a przede wszystkim instrumenty z rodziny skrzypiec miały swój prawdziwy rozkwit w epoce baroku i klasycyzmu. Obecnie, to wła´snie one ciesza˛ si˛e najwi˛eksza˛ popularno´scia˛ i wykorzystywane sa˛ w kaz˙ dym rodzaju muzyki (ko´scielnej, rozrywkowej, symfonicznej, solowej itp.).. 1.2. Viola da gamba na tle instrumentów smyczkowych Poczatki ˛ powstania viol da gamba datuje si˛e na pierwsza˛ połow˛e XVI wieku. Przyczyna˛ pojawienia si˛e tego instrumentu był rozwój rodzin instrumentów smyczkowych dopasowanych do skal głosów chóralnych. Dzi˛eki temu w konsorcie viol (zespole kameralnym składajacym ˛ si˛e z viol da gamba) znajdowała swoje zastosowanie viola da gamba basowa. Kluczowe znaczenie w budowie viol, podobnie jak w przypadku innych instumentów smyczkowych, miał system podwójengo ich strojenia (wysoki i niski). System (i jego wersje opcjonalne) ten implikował powstawanie bardzo duz˙ ej ilo´sci instrumentów o róz˙ nych strojach, dzi˛eki temu arty´sci posiadali duz˙ e instrumentarium, z którego mogli korzystać wedle własnego uznania w zalez˙ no´sci od tonacji zawartej w wykonywanej kompozycji (drugim kryterium było brzmienie instrumentu, które było uwzgl˛edniane przez samego kompozytora). Samo brzemienie viol da gamba okre´slane jest jako szlachetne, delikatne, nosowe a takz˙ e zdecyowanie bardziej mi˛ekkie niz˙ mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(27) 6. 1.2. Viola da gamba na tle instrumentów smyczkowych. brzmienie wiolonczeli na co wskazuja˛ [111, 75, 18]. Obszerny opis historii viol da gamba przedstawił I. Woodfield w [111]. Autor wskazuje na unikatowy wkład szkół lutniczych (włoskiej, niemieckiej, francuskiej i angielskiej) okresu renesansu i baroku, a w szczególno´sci instrumentów stworzonych przez Silvestro Ganassi w 1542 roku (Włochy). Lutnik ten wyprodukował, prawdopodobnie jako jedyny, viole w strojach wysokim i niskim. Były to odpowiednio stroje (kolejne wysoko´sci d´zwi˛eków na strunach przedstawiaja˛ idac ˛ od lewej: struna najniz˙ sza, s´rodkowa, najwyz˙ sza) przedstawione w tabeli 1.1. Tabela 1.1. Stroje viol da gamba zaproponowane przez Silvestro Ganassiego [111, 75]. Wysoki. Niski. D4-A4-D5. A3-D4-A4. D4-G4-C5. G3-D4-G4. E4-A4-D5 (opcjonalnie). G3-D4-A4. Dodatkowo, w pó´zniejszym etapie swojej działalno´sci, Ganassi jako pierwszy stara si˛e normalizować nazewnictwo strun a takz˙ e ich rozkład interwałowy w instrumencie. Powstałe nazwy kolejnych strun zaczynajac ˛ od najmniejszej to: (j. włoski) bordon, tenor, mezana, ✓ ◆ basso, ✓ ◆ ✓ ◆sonata, canto. ✓ ◆Natomiast 4 4 5 4 interwały pomi˛edzy nimi to: kwarta - kwarta - tercja wielka - kwarta - kwarta. 3 3 4 3 Kolejna˛ waz˙ na informacja˛ sa˛ stwierdzenia Ganassiego zawarte w [75], o zachowaniu proporcji pomi˛edzy usytuowaniem podstawka a s´rednicami strun. Wskazuje on takz˙ e, na przewag˛e jako´sci brzmienia instrumentu w przypadku strojenia strun o pół tonu niz˙ ej od nominalnej wysoko´sci, w stosunku do nastrojonych o pół tonu wyz˙ ej. W przypadku lutnictwa na terenie Niemiec, podaje si˛e takz˙ e wyst˛epowanie podwójnego systemu strojenia (wysoki: D4-G4-D5; niski: A3-D4-A4) [111], natomiast sam Martin Agricola nie wspomina o nim w swoich pracach. Oczywi´scie taki obrót zdarzeń był powodem słabszego instrumentarium, przez co muzycy (gambi´sci) zmuszeni byli do transponowania utworów, cz˛esto w czasie rzeczywistym, bezpo´srednio podczas koncertu [1]. W Anglii poziom lutnictwa nie był tak zaawansowany jak we Włoszech, natomiast zdawał si˛e być bardziej rozwini˛ety niz˙ w Niemczech. Michael Praetorius wyja´snia w swoich pracach istot˛e powstania grupy instrumentów niezb˛ednych do skompletowania konsortu viol (zespołu kameralnego) o stroju niskim (basowa, tenorowo-altowa, dyszkantowa). W dalszym rozwoju viol, pod koniec XVI wieku, wyłoniła si˛e viola da gamba sopranowa, niejako zast˛epujac ˛ viol˛e dyszkantowa.˛ W tym samym okresie pojawiła si˛e takz˙ e viola tenorowo-altowa [111]. Ostatecznie podstawowymi instrumentami konsortu viol tego okresu były: viola basowa (6. strunowa), tenorowo-altowa (6. strunowa), sopranowa (5. strunowa). Kolejny etap rozwoju viol da gamba przypada na okres baroku ze szczególnym naciskiem na słynna˛ Szkoł˛e Kremońska.˛ Carlo Chiesa w [24] odnosi si˛e do najsłynniejszej rodziny lutników Amati, wskazujac ˛ przede wszystkim na braki w ewidencjonowaniu tworzonych instrumentów (inaczej niz˙ mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(28) 7. 1.2. Viola da gamba na tle instrumentów smyczkowych. w przypadku rodziny skrzypiec), które utrudniaja˛ badania historyczne nad ich powstawaniem. Niemniej jednak pojawia si˛e odniesienie do trzech egzemplarzy prawdopodobnie wykonanych około 1597 - 1611 roku przez Nicolo Amatiego, które przetrwały do dzisiaj i znajduja˛ si˛e odpowiednio w: Rosji, w Anglii Ashmolean Musem in Oxford, w USA w kolekcji domowej Smithsonian Institution in Washington. Instrumenty z rodziny viol da gamba oraz skrzypiec wytwarzane przez Amatich budowano na tym samym warsztacie lutniczym (technika tworzenia instrumentów smyczkowych). Dzi˛eki temu, powstałe viole róz˙ nia˛ si˛e znacznie swoja˛ budowa˛ od pozostałych tworzonych na terenie Europy.. (a) Konsort viol Michaela Praetoriusa (pozioma skala: (b) Nominalne skale dla konsortu viol Michaela stopy i cale, pionowa: decymetry i centymetry). Praetoriusa. Rys. 1.3. Konsort viol stworzony przez Michale Preatouriusa ([85]). Innym czołowym lutnikiem tego okresu był Giuseppe Guarneri. Istnieja˛ dowody na stworzony przez niego w 1702 roku jeden egzemplarz violi (6-cio strunowy) o nazwie filius Andrae. Guerneri jako uczeń Szkoły Kremo´snkiej posiadał wiedz˛e rodziny Amatich, która˛ wykorzystał w podobny sposób przy budowie violi da gamba. Podaje si˛e takz˙ e, z˙ e najwi˛ekszy lutnik tamtych czasów Antonio Stradivari, takz˙ e stworzył kilka egzemplarzy tego instrumentu. Wszystkie instrumenty stworzone w Kremonie posiadaja˛ duz˙ o cech podobnych do wiolonczel. Ten fakt dla wielu lutników jest podstawa˛ do stwierdzenia, z˙ e wiolonczele sa˛ naturalnym nast˛epca˛ viol da gamba. Okazuje si˛e, z˙ e nie tylko wiolonczele wyłoniły si˛e z viol, ale takz˙ e kontrabas [82]. Kontrabas stworzony w baroku cz˛esto nazywany jest przez lutników Kontrabasem Wiedeńskim i cechuje si˛e płaska˛ tylna˛ płyta˛ rezonansowa,˛ podobnie jak w przypadku viol da gamba. Ze wzgl˛edu na olbrzymia˛ mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(29) 8. 1.2. Viola da gamba na tle instrumentów smyczkowych. popularno´sc´ i rozwój viol da gamba na terenie Włoch, powstaje róz˙ ne ich nazewnictwo zalez˙ ne od regionu z którego wywodzili si˛e lutnicy [53]. Na przykład viole tworzone w Szkole Kremońskiej nosiły nazw˛e Basso di Viola da Gamba. Szczyt rozwoju lutnictwa viol da gamba przypada na I poł. XVIII wieku i dotyczy głównie Francji. Jednym z najwybitnijeszych lutników tego okresu był Nicolas Bertrand, który tworzył instrumenty do kompozycji zamawianych przez dwór królewski, rzadzacej ˛ w tamtych czasach dynastii Burbonów. Istnieja˛ mocne dowody na stworzona˛ przez Bertranda produkcj˛e seryjna,˛ jedyna˛ na t˛e skal˛e biorac ˛ pod uwag˛e wszystkie rodziny lutnicze z całej Europy. Thomas Mace w [67] porównuje gabaryty róz˙ nych konstrukcji viol pokazujac, ˛ z˙ e zostały wykonane według tego samego wzorca (matrycy). Bertrand produkował przede wszystkim viole basowe i jako pierwszy na s´wiecie wprowadził siódma˛ strun˛e (A2 53 Hz), obniz˙ ajac ˛ dzi˛eki temu strój viol basowych. Zachowało si˛e az˙ 16 egzemplarzy jego instrumentów, a jeden z nich znajduje si˛e w The Metropolitan Museum of Art w Nowym Jorku. Instrument ten ([6]) wyprodukowany został w 1720 roku i przedstawiony jest na 1.4.. Rys. 1.4. Viola da gamba wykonana przez Nicolas Bertranda w 1720 roku.. W dzisiejszych czasach nast˛epuje powrót popularno´sci instrumentów dawnych, takz˙ e rodziny viol da gamba. Obecnie organizowanych jest coraz wi˛ecej koncertów muzyki dawnej, na których viole da gamba odgrywaja˛ główna˛ rol˛e. Zwi˛ekszenie zainteresowania muzyka˛ klasyczna˛ szczególnie widoczne jest podczas odbywania si˛e Mi˛edzynarodowych Konkursów: fortepianowego im F. Chopina w Warszawie a takz˙ e skrzypcowego im. Henryka Wieniawskiego w Poznaniu. Z technicznego punktu widzenia, viole da gamba poprzez zastosowanie strun jelitowych posiadaja˛ barw˛e niespotykana˛ w innych instrumentach mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(30) 1.2. Viola da gamba na tle instrumentów smyczkowych. 9. smyczkowych. Dodatkowo, przez płaska˛ tylna˛ płyt˛e rezonansowa˛ ich pole wibroakustyczne róz˙ ni si˛e od pola instrumentów z rodziny skrzypiec, co ma bezpo´srednie przełoz˙ enie na kierunkowo´sc´ promieniowania d´zwi˛eku przez górne płyty rezonansowe.. 1.2.1. Budowa badanego instrumentu viola da gamba Badana viola da gamba basowa, zbudowana przez lutnika Jana Pawlikowskiego na podstawie szkiców instrumentu z roku 1720 wykonanych przez Nicolasa Bertranda (replika oryginału zamieszczonego na rysunku 1.4). Zdj˛ecie szkicu instrumentu (w skali 1:1) znajduje si˛e na rysunku 1.5. Uwag˛e przykuwa brak elementów niewidocznych na rysunku 1.5, którymi sa˛ dodatkowe usztywnienia. Dodane zostały one do modelu numerycznego, zgodnie z sugestiami lutników współpracujacych ˛ przy jego budowie. Wyszczególnione one zostały na rysunku 1.7. Wymiary badanej violi da gamba to 1,32 m długo´sci, 0,41 m szeroko´sci i 0,25 m grubo´sci (liczac ˛ od kraw˛edzi płyty dolnej do wierzchołka podstawka). Bardzo cz˛esto instrument ten porównywany jest do wiolonczeli ze wzgl˛edu na podobieństwo rozmiaru. Niemniej jednak instrumenty te róz˙ nia˛ si˛e przede wszystkim nast˛epujacymi ˛ elementami: – liczba˛ strun: viola gamba basowa posiada 6 lub 7 strun jelitowych podczas gdy wiolonczele zawsze 4 (stalowe). Nalez˙ y zaznaczyć dodatkowo, z˙ e dla niz˙ szych d´zwi˛eków violi da gamba, struny posiadaja˛ stalowa˛ owijk˛e natomiast rdzeń pozostaje jelitowy, – otwory rezonansowe: głównie róz˙ nia˛ si˛e kształtem, poniewaz˙ viola posiada otwór o kształcie litery C natomiast w przypadku wiolonczeli jest to litera f , czyli tzw. efy, – podstawek: róz˙ nica w kształcie spowodowana jest inna˛ liczba˛ strun, przez co rozkład sił na podstawku musi być uwzgl˛edniony w kaz˙ dym przypadku w inny sposób, uwzgl˛edniajac ˛ takz˙ e ergonomi˛e gry na instrumencie. – strunociag: ˛ róz˙ ni si˛e co do budowy guzika (połaczonego ˛ ze strunociagiem) ˛ i kształtu takz˙ e zdeterminowanego przez wi˛eksza˛ liczb˛e strun, – płyta rezonansowa dolna: ten element jest najbardziej róz˙ niacym ˛ si˛e w stosunku do wiolonczeli. Płyta violi jest zupełnie płaska i podci˛eta w górnej cz˛esći instrumentu (bardziej niz˙ w przypadku kontrabasu), podczas gdy płyta wiolonczeli jest wypukła podobnie jak płyta górna. – usztywnienia płyty dolnej: w wiolonczelach stosuje si˛e poprzeczne belki zamiast listew usztywniajacych ˛ (ew. klocków usztywniajacych). ˛ Budow˛e badanej violi da gamba wraz z opisem poszczególnych jej cz˛esći przedstawia rysunek 1.6. Aby dokładniej odnie´sc´ si˛e do budowy violi nalez˙ y zajrzeć do jej wn˛etrza, które zostało przedstawione na ilustracji 1.7. Nie jest to wn˛etrze badanej violi, ale wizualizacja graficzna ogólnego wykonywania viol da gamba na przykładzie innej pozyskana od p. Krystiana Grzybacza. Jest to obraz po odklejeniu mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(31) 10. 1.2. Viola da gamba na tle instrumentów smyczkowych. Rys. 1.5. Szkic violi da gamba stworzony przez N. Bertanda w 1720 roku w Paryz˙ u.. mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(32) 1.2. Viola da gamba na tle instrumentów smyczkowych. 11. płyty rezonansowej górnej (PG), na którym widać poszczególne usztywnienia oraz płaski kształt płyty rezonansowej dolnej (PD). Przedstawiona na rysunku listwa usztywniajaca ˛ 1, została zamodelowana numerycznie w postaci pi˛eciu klocków (przedstawionych na szkicu 1.5) zgodnie z oryginalnym zamysłem Bertranda. Listewki wieńca z kolei zostały pomini˛ete ze wzgl˛edu na zastosowane uproszczenie modelu (zmniejszenie liczby połacze´ ˛ n kontaktowych). Zastapiono ˛ je zmieniajac ˛ a˛ si˛e grubo´scia˛ płyty bocznej (PB), górnej (PG) i dolnej (PD). W ten sposób podczas modelowania uwzgl˛edniona została dodatkowa sztywno´sc´ wprowadzana przez listewki.. Rys. 1.6. Budowa badanej eksperymentalnie basowej violi da gamba.. Niestety w opisie budowy instrumentu brakuje odniesienia do bardzo istotnego elementu, którym jest belka basowa. Została ona odwzorowana zgodnie ze szkicem Bertranda, a jej miejsce zamocowania oraz przyj˛ety kształt, opisane i zilustrowane zostało w dalszej cz˛esći pracy (rysunki 5.3 oraz B.3a). Belka basowa mogłaby zostać przedstawiona po wcze´sniejszym demontaz˙ u PG od rzeczywistego instrumentu. Taka sytuacja jednak nie była moz˙ liwa, ze wzgl˛edu na brak zgody wła´sciciela instrumentu. mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(33) 12. 1.3. Modelowanie instrumentów smyczkowych. Rys. 1.7. Wn˛etrze pudła rezonansowego violi da gamba.. 1.3. Modelowanie instrumentów smyczkowych Zaobserwować moz˙ na dzisiaj renesans zamierzchłych instrumentów smyczkowych, który spowodowany jest nowymi odkryciami archeologicznych, naukowymi, a takz˙ e coraz wi˛ekszym zainteresowaniem s´rodowisk kompozytorskich. W zwiazku ˛ z tym, istnieje uzasadniona potrzeba odtwarzania brzmienia zaginionych instrumentów smyczkowych, wykorzystujac ˛ do tego najnowsze zdobycze nauki. Dodatkowo, aby poznać istotne zjawiska fizyczne wyst˛epujace ˛ w tych instrumentach, nalez˙ y zastosować zaawansowane metody akwizycji i analizy sygnałów w połaczeniu ˛ z modelowaniem numerycznym. Przykładem moz˙ e być [21], gdzie A. Buen porównuje widma d´zwi˛eków w sumie 30 modeli skrzypiec (15 modeli Stradivariego i 15 Guarneriego), po to aby za pomoca˛ filtrów oktawowych i tercjowych wskazać róz˙ nice w brzmieniu mi˛edzy instrumentami dwóch najwi˛ekszych w historii lutników. Kolejna˛ praca˛ ([41]) jest badanie kontrabasu, polegajace ˛ na wyznaczeniu wibroakustycznej funkcji przej´scia mi˛edzy siła˛ na mostku kontrabasu, a zmierzonym ci´snieniem akustycznym w okre´slonym punkcie. Zbadane zostały w ten sposób d´zwi˛eki pustych strun. Jedna z najciekawszych prac jaka została opublikowana w literaturze naukowej dotyczy oktetu Huthinsa - Schellenga [88] (wielokrotnie takz˙ e cytowana w dalszej cz˛esći pracy), w której autorzy w ciagu ˛ trwajacych ˛ ok. 50 lat prac badawczo-rozwojowych stworzyli 8 instrumentów, w całej rozpi˛eto´sci skali od skrzypiec po kontrabas. Celem głównym tej pracy było uzyskanie analitycznych zalez˙ no´sci opisujacych ˛ zmiany kształtu w celu uzyskania odpowiednich cz˛estotliwo´sci drgań własnych. Dzi˛eki nim moz˙ na zaprojektować wi˛ekszy instrument z rodziny skrzypiec (np. wiolonczel˛e) zachowujac ˛ najwaz˙ niejsze wła´sciwo´sci wzorca, którym były skrzypce. Praca ta pokazuje, z˙ e moz˙ liwe jest mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(34) 1.3. Modelowanie instrumentów smyczkowych. 13. projektowanie nowego rozmiaru instrumentu (kształtu), natomiast potrzebna jest do tego olbrzymia wiedza dotyczaca ˛ zarówno wła´sciwo´sci mechanicznych materiałów, akustyki, inz˙ ynierii d´zwi˛eku, modelowania numerycznego, a takz˙ e czystej sztuki lutniczej. W trakcie tych prac wykonano takz˙ e kilka modeli numerycznych z uz˙ yciem MES (metody elementów skończonych) dla kilku konstrukcji, natomiast autorzy nie podaja˛ ich opisów. Modelowanie moz˙ e dotyczyć nie tylko całych instrumentów muzycznych, ale ich kluczowych elementów. I tak w pracy [112] zademonstrowano modelowanie analityczne podstawka skrzypiec i jego wpływu na drgania płyt. Artykuł omawia zjawisko pojawiajacego ˛ si˛e wzniesienia w charakterystyce amplitudowo-cz˛estotliwo´sciowej wyznaczonej admitancji na podstawku, zwanego bridge hill. Przedstawiony jest wpływ zmiany parametrów materiałowych płyty płaskiej s´wierkowej i podstawka na cz˛estotliwo´sci rezonansowe całego modelu. Jedna˛ z bardzo rzadko badanych cz˛esći instrumentów smyczkowych jest naciagacz ˛ strun, który jak si˛e okazuje jest istotny z punktu widzenia wprowadzania napr˛ez˙ eń wst˛epnych od sił naciagu ˛ strun. Badacze w [45] podj˛eli temat badania tej cz˛esći instrumentu pod wzgl˛edem cz˛estotliwo´sci i postaci drgań jakie w niej wyst˛epuja.˛ W latach 80. ubiegłego wieku nastapił ˛ duz˙ y rozwój narz˛edzi inz˙ ynierskich poprzez modelowanie numeryczne za pomoca˛ MES co wprowadziło znaczace ˛ przyspieszenie tego procesu. Jedna˛ z ciekawych pozycji literaturowych z uz˙ yciem MES jest praca C. E. Gougha ([49]), opisujaca ˛ szczegółowo drgania skrzypiec. Badany jest w niej wpływ poszczególnych elementów konstrukcyjnych, anizotropowo´sci materiału i sprz˛ez˙ enia wibroakustycznego płyt na postaci drgań płyt górnej i dolnej. Moz˙ na zuwaz˙ yć w tej pracy inspiracj˛e wspominanym wyz˙ ej oktetem Hutchinsa - Schellenga poprzez stosowanie podobnych technik porównywania wyników, a takz˙ e bezpo´srednie zestawianie uzyskanych cz˛estotliwo´sci z badaniami Hutchinsa. Praca ta natomiast uzmysławia poziom trudno´sci modelowania pełnego instrumentu w s´rodowisku MES, szczególnie uwzgl˛edniajac ˛ duz˙ a˛ liczb˛e postaci drgań własnych (autor skupił si˛e na 5.). Bardzo dobrze zilustrowane zostało nakładanie si˛e i krzyz˙ owanie postaci, co jest powaz˙ nym utrudnieniem w procesie optymalizacji lub identyfikacji (których autor nie stosuje). Autor niestety porównuje postaci na podstawie wizulanego dopasowania, nie stosujac ˛ tym samym kryterium porównania. Inna˛ praca Gougha jest [50], w której dokonana została analiza drgań płyt rezonansowych skrzypiec Savarta (o trapezoidalnym kształcie płyt rezonansowych) z 1823 roku. Podstawowa trudno´sc´ , która dotyczy kaz˙ dego kto próbuje modelowania instrumentów w MES jest rzetelne odwzorowanie kształtu fizycznego modelu. Nierzadko, wi˛ec naukowcy si˛egaja˛ po metody z dzieziny obrazowania medycznego. Takim przykładem jest [86], gdzie autorzy wykorzystali metod˛e tomografii komputerowej do odwzorowania dokładnego kształtu płyty górnej skrzypiec, która nast˛epnie została zamodelowana w s´rodowisku MES. Podej´scie to, mimo z˙ e bardzo ciekawe i nowatorskie, pokazuje swoje niedoskonało´sci w odwzorowaniu kształtu i nałoz˙ enia siatki modelu płyty. Bardzo wyra´zne uwidaczniaja˛ si˛e nieciagło´ ˛ sci (lokalne zgrubienia), które sa˛ efektem słabej obróbki danych 3D, lub zwiazane ˛ niedokładno´sciami nałoz˙ enia siatki na model. Unika si˛e stosowania elementów tetragonalnych przy modelowaniu płyt i powłok na rzecz elementów heksagonalnych. mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.

(35) 14. 1.3. Modelowanie instrumentów smyczkowych. Inne próba odwzorowania kształtu za pomoca˛ czujnika mikrometrycznego i metody stykowej przedstawiona jest w pracy M. Schleske [93]. Autorzy dokładnie odwzorowuja˛ kształt płyty wzdłuz˙ osi symetrii instrumentu dla modeli skrzypiec A. Stradivariego oraz D. Montagnana. Praca ta przedstawia takz˙ e eksperymentalne metody pomiaru drgań płyt rezonansowych (metoda młotka modalnego) i parametrów materiałowych (metoda rezonansowa).. 1.3.1. Modelowanie innych instrumentów strunowych Bardzo popularnym instrumentem w badaniach naukowych jest takz˙ e gitara, której wyniki drgań oraz model numeryczny w MES zostały opisane w [31]. Autorzy porównuja˛ dwie konstrukcje płyt gitary (z z˙ ebrowaniem i bez), oraz całego pudła rezonansowego, sprawdzajac ˛ zmiany w cz˛estotliwo´sciach i postaciach drgań własnych miedzy modelami. Swoje wyniki porównuja˛ takz˙ e do innych badaczy jak Becache, Wrigth, Vladimirovici. We wcze´sniej opisywanych pracach autorzy nie dokonywali walidacji stworzonego modelu w MES według konkretnie przyj˛etego kryterium. Kolejny przykład autorstwa R. Corradi, przedstawia zastosowanie kryterium MAC (ang. Modal Assurance Criterion) do walidacji postaci zmierzonych eksperymentalnie z wyznaczonymi numerycznie [28]. W pracy tej poddano badaniom płyt˛e rezonansowa˛ fortepianu w trzech konstrukcjach: płyta swobodna bez podstawka, płyta swobodna z podstawkiem, płyta z podstawkiem umieszczona w obudowie fortepianu (autorzy nie precyzuja˛ czy płyta została przyklejona do odpowiednio przygotowanego gzymsu oraz boku obudowy - odwzorowanie utwierdzenia, czy była to płyta połoz˙ ona na gzymsie w stron˛e swobodnie podpartej). Po wykonaniu eksperymentalnej analizy modalnej oraz uzyskaniu postaci drgań własnych na stworzonym modelu płyty w MES, dokonano porównania dopasowania postaci za pomoca˛ kryterium MAC. Autorzy podaja,˛ z˙ e dla 24 z 36 postaci warto´sc´ MAC > 0,5 tym samym uznajac ˛ te postaci jako wystarczajaco ˛ dopasowane. Nalez˙ y przyznać, z˙ e dla pierwszych siedmiu postaci warto´sc´ MAC > 0,8 a cz˛estotliwo´sci drgań własnych dla wszystkich 36 postaci nie przekraczaja˛ odstrojenia, +/- 10 %. Autorzy posiadali model samej płyty, który mogli dokładnie zmierzyć i odwzorować, nast˛epnie przenie´sc´ do s´rodowiska MES, co miało kluczowy wpływ na wysokie dopasowanie si˛e pierwszych 7 postaci. Aby mówić juz˙ o pełnym modelowaniu (instrumentu muzycznego, kształtu struktury, materiału itp.) nalez˙ y zaprojektować odpowiednia˛ funkcj˛e celu bazujac ˛ a˛ na parametrach wyj´sciowych modelu (np. cz˛estotliwo´sci drgań własnych). Nast˛epnie nalez˙ y stworzyć wektor parametrów wej´sciowych oraz przyja´ ˛c metod˛e optymalizacji wraz z odpowiednimi kryteriami. I tak zupełnie nowa˛ odsłon˛e w modelowaniu płyt rezonansowych instrumentów muzycznych przedstawiaja˛ R. Sarlo i P. A. Tarazaga w [91], gdzie z uz˙ yciem sieci neuronowych dokonana została optymalizacja pierwszych czterech cz˛estotliwo´sci rezonansowych i postaci modelu uproszczonego do belki. Inspiracja˛ autorów była moz˙ liwo´sc´ zamodelowania w przyszło´sci płyty skrzypiec Stradivariego a nast˛epnie wydrukowania jej z uz˙ yciem technologii druku 3D. Celem tej pracy było zaprojektowanie belki o zmiennej grubo´sci na całej jej długo´sci, która posiada odpowiednie postaci i cz˛estotliwo´sci drgań własnych jak analityczna belka swobodna. Jedynym parametrem wej´sciowym w procesie modelowania była grubo´sc´ . Według mgr inz˙ . T. J. Wilczyński Modelowanie numeryczne płyty rezonansowej violi da gamba.