6. Analiza wyników dla zastosowanych modeli numerycznych
6.4. Model 4: analiza wyników
si˛e spełni´c kryterium dopasowania postaci i dostrojenia cz˛estotliwo´sci dla 10 z 14 elementów funkcji celu. Jest to o jeden składnik wi˛ecej ni˙z w przypadku E2 i 5 w stosunku do E1. Parametry wej´sciowe materiałowe optymalne w sensie Pareto uzyskane po E32zestawiono w tabeli 6.21. Jak wida´c, kryterium identyfikacji materiału RC jest praktycznie na dopuszczalnej granicy, poniewa˙z warto´s´c jest bardzo bliska zeru. Bardzo ładnie obrazuje to rysunek 6.7, gdzie nie wyst˛epuj ˛a warto´sci poni˙zej 0 dla RC gdy˙z został przesiane przez AP.
Tabela 6.21. Optymalne parametry wej´sciowe po E32, oraz warto´sci kryteriów.
⇢s ⇢j vsxy Exs Exj OC RC A. przesiewania 325,6 587,2 0,38 5481 16776 0,097 0,009
A. genetyczny 351,4 564,5 0,456 5499 13261 0,128 0,058
Rys. 6.7. Wykres kompromisu dla RC i vs xy.
6.4. Model 4: analiza wyników
Model M4 ró˙zni si˛e od M3 wprowadzonymi napr˛e˙zeniami wst˛epnymi, które zostały wyznaczone analitycznie w rozdziale 5.1.4.1. Dodatkowo, pojawia si˛e w nim naci ˛agacz strun (NS) i podstawek (Po). Przygotowane plany eksperymentów podzielone zostały w identyczny sposób jak w przypadku E3, a wiec w E41 nast˛epuje zmiana parametrów geometrycznych a w E42 materiałowych. Warto´sci inicjalizacyjne dla obydwu kroków w E4 s ˛a identyczne jak w przypadku E3 zarówno dla AP jak i AG.
6.4.1. Faza pocz ˛atkowa eksperymentu E40
Podstawiaj ˛ac do modelu M4 parametry wej´sciowe optymalne w sensie Pareto z uzyskane w całym E3 (tabele 6.19 i 6.21) dokonane zostały obliczenia dla fazy pocz ˛atkowej E40. Po eksperymencie pocz ˛atkowym dla E4 wyniki zawarte w tabeli 6.22 wskazuj ˛a na bardzo du˙ze odstrojenie postaci C4przy
116 6.4. Model 4: analiza wyników
wysokiej warto´sci MAC. Posta´c C5z kolei posiada dobre dopasowanie oraz dostrojenie cz˛estotliwo´sci, podobnie jak C7. W stosunku do postaci C1 mo˙zna uzna´c, ˙ze dostroiła si˛e prawie idealnie. Natomiast w dalszym ci ˛agu zauwa˙zalny jest fakt odstrojenia dwóch cz˛estotliwo´sci, które najcz˛e´sciej si˛e ze sob ˛a zamieniaj ˛a czyli C2i C3. W tym momencie C3dopasowuje si˛e dobrze lecz z odstrojon ˛a cz˛estotliwo´sci ˛a. Ju˙z w fazie pocz ˛atkowej udaje si˛e uzyska´c wyniki w których osi ˛agni˛eto wysoki poziom dopasowania zgodny z zało˙zonym kryterium dla 9 z 14 składników funkcji celu.
Tabela 6.22. Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E40.
Symbol postaci C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 Cz˛estotliwo´sci eksperymentalne [Hz] 77,5 90 109 130 165 195 252 Cz˛estotliwo´sci numeryczne [Hz] 74,7 106,0 106,0 106,0 153,0 173,9 243,7 Ró˙znica cz˛estotliwo´sci [%] -3,7 15,1 -2,8 -22,6 -7,8 -12,1 -3,4 Warto´s´c MAC 0,98 0,47 0,7 0,82 0,77 0,67 0,7 6.4.2. Analiza wyników E41
W eksperymencie tym zało˙zono zmian˛e górnego zakresu parametrów wej´sciowych dla grubo´sci PG z 0,009 m na 0,01 m. Liczba punktów w eksperymencie jest identyczna jak w E31, podobnie jest z parametrami inicjalizacji AP i AG. Zakresy parametrów wej´sciowych przedstawione zostały w tabeli 6.23. Po eksperymencie E41 dla najni˙zszych warto´sci funkcji celu uzyskano parametry wyj´sciowe przedstawione w tabeli 6.24. Nast˛epuje olbrzymi progres wyników szczególnie je´sli chodzi o dopasowanie MAC w stosunku do wszystkich wcze´sniejszych eksperymentów (E0 - E3). Po tym eksperymencie przede wszystkim rzuca si˛e w oczy zdecydowana przewaga po optymalizacji wielokryterialnej na rzecz AG, szczególnie w dopasowaniu postaci z warto´sciami MAC. Jak ju˙z wcze´sniej zauwa˙zono, postaci C2 i C3 s ˛a bardzo do siebie podobne, wyst˛epuj ˛a czasem zamiennie (jak pokazuje E2 i E3), natomiast w tym momencie wyst˛epuje problem z dostrojeniem ich cz˛estotliwo´s´c. Posiadaj ˛a one wysok ˛a warto´s´c MAC. Postaci C1, C4 i C5 posiadaj ˛a idealnie dostrojone cz˛estotliwo´sci. W wyniku AG wszystkie warto´sci MAC s ˛a powy˙zej 0,7, co jest spełnieniem kryterium jako´sci dopasowania postaci w niniejszej pracy. Najwa˙zniejsza posta´c C4posiada tak˙ze bardzo wysok ˛a warto´s´c MAC. Wida´c tak˙ze na tym etapie, bardzo du˙z ˛apopraw˛e wyników stosunku do E40. Optymalne parametry wej´sciowe po przeprowadzeniu E41znajduj ˛a si˛e w tabeli 6.25.
Tabela 6.23. Wykaz zakresów parametrów geometrycznych dla E41.
h1min h1max h2min h2max P Bhmin P Bhmax P Dhmin P Dhmax 0,0015 0,01 0,0015 0,01 0,001 0,007 0,001 0,007 Duxmin Duxmax Duymin Duymax Du min Du max
6.4. Model 4: analiza wyników 117
Tabela 6.24. Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E41.
Symbol postaci C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 Cz˛estotliwo´sci eksperymentalne [Hz] 77,5 90 109 130 165 195 252 Algorytm przesiewania Cz˛estotliwo´sci numeryczne [Hz] 75,5 109,0 124,7 133,2 163,6 188,4 272,5 Ró˙znica cz˛estotliwo´sci [%] -2,6 17,4 12,6 2,4 -0,9 -3,5 7,5 Warto´s´c MAC 0,97 0,76 0,74 0,71 0,76 0,69 0,68 Algorytm genetyczny Cz˛estotliwo´sci numeryczne [Hz] 75,2 109,5 128,7 135,1 165,5 176,3 285,3 Ró˙znica cz˛estotliwo´sci [%] -3,1 17,8 15,3 3,8 0,3 -10,6 11,7 Warto´s´c MAC 0,96 0,8 0,73 0,86 0,71 0,72 0,7
Tabela 6.25. Optymalne parametry wej´sciowe po E41.
h1 h2 P Bh P Dh Dux Duy Du A. przesiewania 0,0062 0,0045 0,0031 0,0027 0,0378 0,322 0,009
A. genetyczny 0,0069 0,0039 0,0033 0,0028 0,037 0,321 0,009
Optymalna grubo´s´c PG to 0,0039 m na górze i 0,0069 m na dole płyty, co faktycznie mo˙ze odpowiada´c rzeczywistej płycie górnej na badanym eksperymentalnie instrumencie. Praktycznie wszystkie eksperymenty (E1-E4) pokazuj ˛a, ˙ze grubo´s´c płyty dolnej P Dh oscyluje wokół warto´sci 0,003 m i ostatecznie wynosi 0,0028 m. Grubo´s´c duszy wynosi 0,009 m, czyli tyle samo ile w wyniku eksperymentu E31 i optymalizacji AG. Wnioskowa´c mo˙zna, ˙ze niezale˙znie od wyst˛epowania napr˛e˙ze´n wst˛epnych dusza posiada t˛e sam ˛a ´srednic˛e. Poło˙zenie duszy w płaszczy´znie x y ró˙zni si˛e miedzy modelami M3 i M4 wi˛ec stwierdza si˛e, ˙ze zale˙zy ono mocno od napr˛e˙ze´n wst˛epnych w modelu.
6.4.3. Analiza wyników E42
Eksperyment E42, podobnie jak w E22 i E32 ma na celu dobra´c optymalne parametry materiałowe. Zakresy materiałowych parametrów wej´sciowych s ˛a identyczne jak w przypadku E32, ponadto parametry inicjalizacji AP i AG s ˛a takie same jak w E32. Ostatecznie optymalne parametry materiałowe w E42zestawiono w tabeli 6.26.
Tabela 6.26. Optymalne parametry wej´sciowe po E42, oraz warto´sci kryteriów.
⇢s ⇢j vxys Exs Exj OC RC kL kR A. przesiewania 417 542,1 0,45 6584 16780 0,174 0,129 3,75 4,69
A. genetyczny 355 511,2 0,45 6280 11340 0,162 0,11 5,06 4,42
118 6.4. Model 4: analiza wyników
Kryteria identyfikacji materiału (OC i RC) s ˛a spełnione a współczynniki bezpiecze´nstwa kL
i kR wynosz ˛a odpowiednio 5,06 i 4,42, co odpowiada bardzo dobrze dobranym parametrom wytrzymało´sciowym dla materiałów kruchych jakim jest drewno. Wykresy napr˛e˙ze´n normalnych PG wzdłu˙z osi L i R przedstawione zostały na rysunku B.7. Ostatecznie parametry wyj´sciowe uzyskane w E42przedstawione s ˛a w tabeli 6.27.
Tabela 6.27. Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci i warto´sci MAC dla E42.
Symbol postaci C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 Cz˛estotliwo´sci eksperymentalne [Hz] 77,5 90 109 130 165 195 252 Algorytm przesiewania Cz˛estotliwo´sci numeryczne [Hz] 74,9 110,2 126,7 132,3 170,2 177,6 273,9 Ró˙znica cz˛estotliwo´sci [%] -3,5 18,3 14,0 1,7 3,1 -9,8 8,0 Warto´s´c MAC 0,95 0,74 0,76 0,76 0,74 0,75 0,7 Algorytm genetyczny Cz˛estotliwo´sci numeryczne [Hz] 75,6 109,5 127,7 133,3 166,8 178,8 268,2 Ró˙znica cz˛estotliwo´sci [%] -2,5 17,8 14,6 2,5 1,1 -9,1 6,0 Warto´s´c MAC 0,97 0,78 0,78 0,86 0,73 0,72 0,74
Ostateczne wyniki uzyskane w caym procesie modelowania płyty rezonansowej violi da gamba znajduj ˛a si˛e w tabeli 6.27. Uzyskano 12 z 14 spełnionych elementów funkcji celu. Cz˛estotliwo´sci C2
i C3 w dalszym ci ˛agu nie były mo˙zliwe do dostrojenia poniej 10% ró˙znicy w odstrojeniu. Jak ju˙z było wyja´snione podczas analizy wyników po E3, obydwie postaci pochodz ˛a od drga´n PD a na wykresie 3.3 posiadaj ˛a bardzo niskie w stosunku do innych amplitudy. Dodatkowo posta´c C3 wykazuje bardzo du˙ze podobie´nstwo do C4 na podstawie rysunku 3.4. Trudno jest zatem okre´sli´c na tym etapie czy posta´c ta nie wyst˛epuje tak na prawde w charakterystyce amplitudowo-cz˛estotliwo´sciowej wyznaczonej z FRF, co nale˙załoby zweryfikowa´c za pomoc ˛a analizy harmoczninej, która nie jest elementem tej pracy. Nale˙zy doda´c, ˙ze w okolicach tych cz˛estotliwo´sci wyst˛epuje sprz˛e˙zenie pola mechanicznego z akustycznym dla postaci A0, które ma kluczowy wpływ na cz˛estotliwo´sci drga´n własnych, a nie zostało uwzgl˛ednione w modelu M4. Dodatkowo, odstrojenie tych cz˛estotliwo´sci, przy tak du˙zej liczbie elementów funkcji celu (szczególnie z punktu widzenia przedstawianego odstrojenia cz˛estotliwo´sci modelowanego oktetu Hitchins-Schellenga w [88, 87]),mo˙zna uzna´c za mało znacz ˛ace. Odstrojenie jednej z cz˛estotliwo´sci si˛ega tu nawet 22 % dla postaci B1+i warto´sci referencyjnej 2,25. Natomiast ´srednia ró˙znica odstrojenia wszystkich cz˛estotliwo´sci wynosi 11,2 %.
Uzyskany ostatecznie model numeryczny violi da gamba, posiada optymalnie dobrane parametry geometryczne, materiałowe, warunki brzegowe i optymalne napr˛e˙zenia wst˛epne. U˙zyta metoda optymalizacji wielokryterialnej wraz z identyfikacj ˛a daje bardzo dobre rezultaty, szczególnie w zastosowaniu z algorytmem genetycznym. Model ten mo˙zna uzna´c za zwalidowany wzorzec komputerowy violi da gamba. Mo˙ze on posłu˙zy´c do prowadzenia dalszych prac badawczo-rozwojowych
6.4. Model 4: analiza wyników 119
jak projektowanie kształtu innych instrumentów, stosowanie nowoczesnych materiałów (np. do druku 3D) i innych. Na rysunkach B.9 i B.10 przedstawione zostały wszystkie 7 modelowane postaci PG i PD violi da gamba wraz z porównaniem do nich eksperymentalnie zmierzonych odpowiedników. W wyniku modelowania całego instrumentu udało si˛e tak˙ze odwzorowa´c postaci płyty dolnej, która nie została zmierzona eksperymentalnie. Jest to dodatkowy nowatorski aspekt niniejszej pracy, gdzie za pomoc ˛a jedynie wyników analizy eksperymentalnej PG (przy uzupełnieniu na podstawie szkiców pozostałych elementów instrumentu oraz oszacowaniu jego napr˛e˙ze´n od strun wraz z zamodelowaniem warunków brzegowych) odtworzone zostały drgania PD.
6.4.4. Wyniki modelowania płyty górnej violi da gamba
Po uzyskaniu optymalnego modelu M4 nast ˛apił demonta˙zu PG w ´srodowisku komputerowym od pozostałych elementów instrumentu po to, aby oceni´c podobie´nstwo postaci płyty swobodnej violi da gamba, a tak˙ze zidentyfikowa´c ró˙znice cz˛estotliwo´sci w stosunku do pełnego modelu violi. Rysunek 6.8 przedstawia zestawienie kolejnych dziewi˛eciu postaci PG swobodnej violi da gamba, pocz ˛awszy od pierwszej.
Bardzo ciekawym faktem jest wynik dostrojenia postaci nr 5 PG swobodnej do C4, dla której MAC = 0,84. Odstrojenie tej postaci od 130 Hz jest dosy´c spore i wynosi 14,4 %. Oznacza to, ˙ze posta´c zwana pier´scieniow ˛a na płycie swobodnej jest postaci ˛a C4 na pełnym modelu violi da gamba. Dodatkowo, uwidacznia si˛e sposób dostrajania przez lutników płyty swobodnej, poprzez strojenie wy˙zej postaci pier´scieniowej tak, aby po zło˙zeniu całego instrumentu mogła ona obni˙zy´c si˛e o interwał sekundy małej wy˙zej ni˙z cz˛estotliwo´s´c nastrojenia struny C3. Podobnie ciekawie (cho´c z gorszym dostrojeniem) przedstawia si˛e posta´c nr 9 PG swobodnej, która dopasowała si˛e do C7z warto´sci ˛a MAC = 0,7. W tym przypadku odstrojenie postaci od 252 Hz wynosi zaledwie 5 %, wi˛ec jest to bardzo dobre dostrojenie. Konkluzj ˛a dodatkow ˛a jest wpływ napr˛e˙ze´n wst˛epnych na obni˙zenie cz˛estotliwo´sci C4. Ponadto, ciekawym zjawiskiem jest sposób w jaki zmieniania si˛e ta cz˛estotliwo´s´c pocz ˛awszy od eksperymentu E1, gdzie była ona na poziomie zbli˙zaj ˛acym si˛e do 140 Hz, do E21 gdzie dla wyników z AG wyniosła 144,5 Hz. W momencie wstawienia duszy w modelu M3, wszystkie wyniki z E3 dla tej cz˛estotliwo´sci zbli˙zaj ˛a si˛e do 150 Hz, a wi˛ec tyle ile wynosi dla płyty swobodnej posta´c pier´scieniowa. Dopiero po wprowadzeniu napr˛e˙ze´n wst˛epnych w M4, opada ona w okolice 130 Hz. Posta´c C7dostraja si˛e stosunkowo dobrze od samego pocz ˛atku (modeli M1-M4), co potwierdza fakt jej dostrojenia tak˙ze na PG swobodnej.
Działanie sprz˛e˙zenia duszy powoduje, ˙ze nast˛epuje rozszczepienie postaci C7z E1, która znajduje si˛e na rysunku B.1a. Dodatkowo postaci C2i C3pochodz ˛a od drga´n PD, przy czym C3jest tak˙ze wynikiem sprz˛e˙zenia PG i PD przez Du, poniewa˙z pojawia si˛e dopiero w M3. Posta´c C4te˙z jest zwi ˛azana cz˛e´sciowo z drganiem PD, natomiast w tym wypadku PG ma wy˙zsz ˛a amplitud˛e drga´n od PD. W momencie gdy pojawia si˛e Du w E3, nast˛epuje zamiana wyst˛epowania postaci z C2 na C3. Dopiero po wprowadzeniu napr˛e˙ze´n wst˛epnych udaje si˛e otrzyma´c obydwie postaci na wysokim poziomie warto´sci MAC. Aby
120 6.4. Model 4: analiza wyników
zbada´c dodatkowe informacje na temat braku dostrojenia postaci C2i C3, wykonany został model Maku
ze sprz˛e˙zeniem pola mechanicznego z polem akustycznym wewn ˛atrz instrumentu.
(a) Posta´c 1 cz˛estotliwo´s´c 37,3 Hz. (b) Posta´c 2 cz˛estotliwo´s´c 49,7 Hz, tzw. X. (c) Posta´c 3 cz˛estotliwo´s´c 101,2 Hz. (d) Posta´c 4 cz˛estotliwo´s´c 115,7 Hz.
(e) Posta´c 5 cz˛estotliwo´s´c 151,8 Hz tzw. O. (f) Posta´c 6 cz˛estotliwo´s´c 195,9 Hz. (g) Posta´c 7 cz˛estotliwo´s´c 198,9 Hz. (h) Posta´c 8 cz˛estotliwo´s´c 220,7 Hz.
(i) Posta´c 9 cz˛estotliwo´s´c 240,1 Hz.
Rys. 6.8. Zestawienie postaci zdemontowanej PG swobodnej wraz z cz˛estotliwo´sciami.