Identyfikacja modelu wraz z analiz ˛a wyników

Bazuj ˛ac na wynikach uzyskanych w procesie optymalizacji wielokryterialnej, nale˙zy dokona´c jeszcze jednej selekcji zbiorów optymalnych w sensie Pareto (parametrów wej´sciowych i wyj´sciowych), w procesie identyfikacji. Proces ten słu˙zy wyłonieniu rozwi ˛aza´n wła´sciwych z punktu widzenia wymaga´n in˙zynierskich oraz sensu fizycznego. Dodatkowo, procesowi modelowania towarzysz ˛a problemy z dopasowywaniem postaci drga´n własnych , w zwi ˛azku z którymi nale˙zy zastosowa´c odpowiednie metody ograniczaj ˛ace niepo˙z ˛adane zjawiska wraz z ich weryfikacj ˛a. W tym celu stworzony został przez autora algorytm opisany poni˙zej (w kolejnym podrozdziale).

4.6. Identyfikacja modelu wraz z analiz ˛a wyników 71

Rys. 4.12. Zbiór rozwi ˛aza´n optymalnych w sensie Pareto po optymalizacji z u˙zyciem algorytmu genetycznego. Optymalne rozwi ˛azania zaznaczono kolorem niebieskim

4.6.1. Preselekcja postaci drga´n własnych

Weryfikacja danych dotyczy dopasowania odpowiednich postaci drga´n numerycznych do wzorców, które b˛ed ˛ac wra˙zliwe na zmiany parametrów wej´sciowych w procesie modelowania, powoduj ˛a problem zamieniaj ˛ac si˛e miejscami. Dodatkowo, niektóre z nich wykazuj ˛a wzajemne podobie´nstwo (zgodnie z rysunkiem 3.4). Aby zniwelowa´c problem przeskakiwania postaci zastosowany został algorytm preselekcji postaci na podstawie dopasowania eksperymentalnie zmierzonych cz˛estotliwo´sci drga´n własnych do wyznaczonych numerycznie. Algorytm ten szczegółowo przedstawia schemat blokowy na rysunku 4.13. Po wst˛epnym przygotowaniu macierzy ró˙znic mi˛edzy cz˛estotliwo´sciami zmierzonymi eksperymentalnie a otrzymanymi numerycznie (F M AC) nast˛epuje sortowanie macierzy w celu wybrania rozwi ˛aza´n, których ró˙znica jest mniejsza od warto´sci progowej 0,2 (czyli 20 % dobranej eksperymentalnie). Dla komórek macierzy o warto´sci poni˙zej 0,2 nast˛epuje wybór postaci o najwy˙zszym MAC (dzieje si˛e tak, gdy˙z jak wiadomo postaci s ˛a podobne do siebie, zatem przyjmujemy, ˙ze ta o wy˙zszej warto´sci MAC jest dopasowana do wzorca). Dla komórek których warto´s´c przekracza 20 % wybierana jest komórka (przeszukuj ˛ac wierszami w kolumnie przypisanej do cz˛estotliwo´sci wzorca), która posiada najbli˙zsz ˛a ró˙znic˛e w cz˛estotliwo´sci (np. 27 %). W ostatecznym rozrachunku, kompletowana jest macierz posiadaj ˛aca tylko warto´sci MAC w komórkach, które s ˛awynikiem procedury preselekcji. Wizualizacj˛e tej operacji na prostym przykładzie przedstawia rysunek 4.14.

Dodatkowo, aby zredukowa´c liczb˛e postaci do liczby odpowiadaj ˛acych im postaciom wyznaczonym eksperymentalnie zgodnie z tabel ˛a3.2, wybierano reprezentantów (w przypadku zbioru kilku podobnych postaci jak to przedstawia rysunek 3.4) o maksymalnym dopasowaniu MAC mi˛edzy postaciami

72 4.6. Identyfikacja modelu wraz z analiz ˛a wyników

numerycznymi i eksperymentalnymi. Ko´ncowa liczba postaci pochodz ˛acych od drga´n konstrukcji wynosi 7, dodatkowo uwzgl˛ednia si˛e postaci A0 i A1 pochodz ˛ace od drga´n obj˛eto´sci akustycznej.

Rys. 4.13. Algorytm preselekcji postaci drga´n w celu zniwelowania efektu przeskakiwania postaci.

4.6.2. Kryteria identyfikacji

Kryteria te dobrane zostały na podstawie wymaga´n in˙zynierskich w stosunku do doboru materiałów dla układu ortotropowego (głównie dotyczy to ´swierka, z którego zbudowana jest płyta rezonansowa górna, belka basowa i dusza), a tak˙ze dopuszczalnych napr˛e˙ze´n konstrukcji. Autor zało˙zył tak˙ze (jako dodatkowe kryterium) maksymalny poziom odstrojenia cz˛estotliwo´sci +/- 10%, natomiast dopasowanie postaci za pomoc ˛a kryterium MAC powinno by´c wi˛eksze od 0,7. W przypadku je´sli warto´s´c MAC jest mniejsza od 0,3 nie mo˙zna mówi´c o podobie´nstwie i przyjmuje si˛e, ˙ze dana posta´c nie istnieje w modelu numerycznym. Aby uzasadni´c poprawno´s´c przyj˛etego kryterium MAC = 0,7 nale˙zy przytoczy´c pozycj˛e [43], w której autor stwierdza, ˙ze w wielu przypadkach MAC = 0,8 jest w pełni wystarczaj ˛acy i tak naprawd˛e zale˙zy od skomplikowania modelu (zwykle s ˛a to proste płyty lub belki), który jest badany. W innym przypadku [78], autorzy modeluj ˛ac konstrukcj˛e numeryczn ˛a budynku Bazyliki Maksencjusza w Rzymie dopuszczaj ˛a poziom warto´sci MAC = 0,8. Rozpatruj ˛ac w dalszym ci ˛agu ten przykład, nale˙zy

4.6. Identyfikacja modelu wraz z analiz ˛a wyników 73

zwróci´c uwag˛e, ˙ze autorom udało dopasowa´c si˛e jedynie 4 postaci, gdzie dopuszczalne odstrojenie cz˛estotliwo´sci mocno przekracza +/- 10%. Obserwacja ta jest o tyle wa˙zna, ˙ze w niniejszej rozprawie doktorskiej autor dopasowuje w sumie 14 składowych funkcji celu, a wi˛ec 7 postaci i 7 odpowiadaj ˛acych im cz˛estotliwo´sci. Zbudowany model numeryczny violi da gamba na podstawie szkiców Bertranda (warto doda´c, ˙ze instrument badany skonstruowano na podstawie tych samych szkiców, natomiast lutnik wprowadził w nim kilka modyfikacji, które dotycz ˛a rze´zbienia PG i podstawka - Po) składa si˛e z 12 elementów konstrukcjnych, które posiadaj ˛a sformułowanie ortotropowe materiału i poł ˛aczone s ˛a za pomoc ˛a 26 poł ˛acze´n kontaktowych. Trzeba tak˙ze pami˛eta´c, nawi ˛azuj ˛ac jeszcze raz do [43], ˙ze nieliniowo´sci struktury a tak˙ze kwestie zwi ˛azane z niedokładnym rozmieszczeniem siatki pomiarowej (jak wiadomo z rysunku 3.7, istniały na instrumencie obszary bez rozmieszczonych punktów), s ˛a głównymi czynnikami wpływaj ˛acymi negatywnie na warto´s´c kryterium MAC.

Rys. 4.14. Algorytm preselekcji na podstawie operacji macierzowych. Komórki spełniaj ˛ace kryterium ró˙znicy cz˛estotliwo´sci 20% zaznaczono kolorem zielonym. Komórka reprezentuj ˛aca ró˙znic˛e cz˛estotliwo´sci niespełniaj ˛ac ˛a kryterium zaznaczono kolorem czerwonym

4.6.2.1. Kryterium doboru materiału

Kryterium to ma na celu zidentyfikowanie parametrów materiałowych wyst˛epuj ˛acych w przyrodzie (dla drewna) spo´sród wyników uzyskanych w procesie optymalizacji wielokryterialnej. Kryterium dotyczy ´swierku a mo˙zliwy rozrzut parametrów w przeprowadzonych eksperymentach dobrany był na podstawie [32, 71, 73, 19, 2]. Zgodnie z [71] autor podaje zale˙zno´s´c proporcji pomi˛edzy stałymi materiałowymi, która zdefiniowane jest jako

74 4.6. Identyfikacja modelu wraz z analiz ˛a wyników

D₂+ D₄⇠ 2^pD₁D₃. (4.46) gdzie D1 = E_x/(12µ), D2 = ⌫_xyE_y/(6µ), D3 = E_y/(12µ), D4 = G_xy/3, µ = 1 ⌫xy⌫yx, oznaczaj ˛a stałe materiałowe. Na podstawie tej zale˙zno´sci autor rozprawy sformułował kryterium nazwane jako Kryterium Rossinga - RC (ang. Rossing Criterion), które przedstawia si˛e nast˛epuj ˛aco

0 ^{|(D2+ D4) 2} p

D1D3|

D₂+ D₄  0, 5 (4.47)

Rys. 4.15. Interpretacja graficzna kryterium RC i OC

Jest to dosy´c du˙ze uproszczenie, szczególnie je´sli spojrze´c na rysunek 4.15, które sugeruje przybli˙zenie mi˛edzy praw ˛a stron ˛a równania a lew ˛a. W efekcie zwi ˛azek ten mo˙zna wyrazi´c w postaci funkcji liniowej y = kx. Ka˙zdy punkt na wykresie odnosi si˛e do kolejnego rodzaju ´swierka zebranego w zbiorczej tabeli (w sumie zebrano parametry materiałowe dla osiemnastu osobnych ´swierków). Jak wida´c, prawie wszystkie punkty le˙z ˛a poni˙zej prostej y = kx, czyli współczynnik proporcjonalno´sci z równania 4.46 równy jest 1 podobnie jak w [112]. Wyj ˛atkiem jest jeden punkt, co sugeruje bardzo du˙zy rozrzut warto´sci w zaproponowanym kryterium. W zwi ˛azku z tym, w celu udoskonalenia RC sformułowane przez autora rozprawy zostało kolejne kryterium nazwane Własnym Kryterium - OC (ang. Own Criterion), zaw˛e˙zaj ˛ace przestrze´n punktów tak aby le˙zały one pomi˛edzy dwoma prostymi ograniczaj ˛acymi. Uwzgl˛edniaj ˛ac centroid (´srodek ci˛e˙zko´sci) całej populacji punktów, poprowadzona została prosta trendu (kolor zielony), wskazuj ˛aca monotoniczno´s´c rozrzutu punktów na płaszczy´znie.

4.7. Podsumowanie 75

Na podstawie najwi˛ekszej odległo´sci punktów od aproksymowanej prostej, dobrano maksymaln ˛a i minimaln ˛a granic˛e rozrzutu punktów, formułuj ˛ac kryterium jako

y_OC ymax OC ymax OC ⇤ ^y min OC y_OC ymin OC  0. (4.48)

Co przy uwzgl˛ednieniu stałych materiałowych z zale˙zno´sci 4.46, oraz przekształce´n matematycznych przedstawia si˛e nast˛epuj ˛aco.

y_OC² + yOC(y^min_OC + y_OC^max) y_OC^min⇤ ymax OC y_OC^min⇤ ymax OC 0. (4.49) gdzie: yOC = D₂+D₄, ymin OC = 0, 009⇤2^pD₁D₃+1, 58⇤108, ymax OC = 0, 611⇤2^pD₁D₃+1, 58⇤108. Dla warto´sci wi˛ekszych b ˛ad´z równych zero kryterium uwa˙za si˛e za spełnione a dany materiał zaliczany jest jako materiał lutniczy.

4.6.2.2. Kryterium wytrzymało´sciowe

Kryterium wytrzymało´sciowe przyj˛eto po to, aby nie przekroczy´c warto´sci krytycznych napr˛e˙ze´n głównych wzdłu˙z płyty i prostopadłych do PG w procesie modelowania. Warto´sci napr˛e˙ze´n krytycznych wzdłu˙z i prostopadłych do włókien zaczerpni˛ete zostały z [2, 42]. W zwi ˛azku z tym kryterium wytrzymało´sciowe (na podstawie teorii zaczerpnietej z [13, 38]) mo˙zna przedstawi´c jako

L kr L ,

R kr

R, (4.50)

gdzie współczynniki bezpiecze´nstwa kL dla napr˛e˙ze´n głównych L (wyznaczonych w analizie statycznej) i krytycznych kr

L (pobranych z [42, 2]) wzdłu˙z włókien, oraz w poprzek kR (gdzie R

napr˛e˙zenia główne w poprzek włókien) wynosz ˛a

k_L= kr L L , k_R= kr R R . (4.51)

Kryterium jest spełnione wtedy gdy jednocze´snie kL>^ kR> 1.

4.7. Podsumowanie

Po uwzgl˛ednieniu całego procesu optymalizacji wielokryterialnej wraz z identyfikacj ˛a, a tak˙ze algorytmu weryfikacji wyników mo˙zna otrzyma´c wiarygodne wyniki zwalidowanego modelu numerycznego violi da gamba. Takie podej´scie, pomimo skomplikowania, jest nowatorskie w zastosowaniu do tego typu zagadnie´n i daje du˙ze mo˙zliwo´sci dalszego rozwoju, szczególnie w stron˛e projektowania nowych geometrii instrumentów muzycznych. Dotyczy to głównie zastosowania nowych materiałów, a tak˙ze implementacji bardzo dokładnego kształtu płyty rezonansowej górnej z nieliniowym rozkładem grubo´sci.

5. Opis zastosowanych modeli numerycznych wraz metodyk ˛a