Model płyty prostok ˛atnej swobodnie podpartej płaskiej: analiza wyników

Model ten pokazuje mo˙zliwo´sci zwi ˛azane z projektowaniem nowych kształtów zachowuj ˛ac charakterystyczne cechy drga´n wzorca, którym jest viola da gamba, na zasadzie syntezy układu. Celem tego procesu było dostrojenie 8 cz˛estotliwo´sci drga´n własnych PPSP (jako szereg cz˛estotliwo´sci) do eksperymentalnie zmierzonych cz˛estotliwo´sci na PG violi da gamba ([107]). Do optymalizacji wykorzystany został jedynie algorytm przesiewania, który dla prostych modeli konstrukcji przy stosunkowo niewielkiej liczbie parametrów wej´sciowych (do 8) wykazuje wystarczaj ˛ac ˛a skuteczno´s´c. Zmieniane zostało jedynie 5 parametrów (3 geometryczne i 2 materiałowe), przy czym plan eksperymentu liczył 700 punktów. Zakresy parametrów wej´sciowych do modelu PPSP zestawione zostały w tabeli 6.33, gdzie Lx to długo´s´c płyty, Ly - szeroko´s´c, h - grubo´s´c. Pozostałe parametry materiałowe zdefiniowane były według tabeli A.7.

Tabela 6.33. Wykaz zakresów parametrów geometrycznych dla modelowania PPSP.

h_min h_max L_xmin L_xmax L_ymin L_ymax ⇢_min ⇢_max E_xmin E_xmax 0,003 0,0065 0,7 1,2 0,1 0,45 315 500 5900 15200

W wyniku przeprowadzonej optymalizacji wielokryterialnej za pomoc ˛a AP, uzyskano nast˛epuj ˛ace parametry wyj´sciowe umieszczone w tabeli 6.34. Nale˙zy doda´c, ˙ze funkcja celu posiadała 8 składników, które odnosiły si˛e do cz˛esto´sci drga´n własnych płyty w dodatku bez ich redukcji na podstawie analizy postaci jak zostało to zrobione w 3.1. Sformułowanie funkcji celu odnosiło si˛e do sumy składników wektora zapisanego jak w 4.27, gdzie pojedynczy składnik wyznaczany był z zale˙zno´sci 4.29.

Tabela 6.34. Wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci PPSP.

Cz˛estotliwo´sci eksperymentalne [Hz] 129 160.9 169 190 196 255 301,8 312 Ró˙znica cz˛estotliwo´sci [%] 7,4 -6,8 2,4 -2,3 2,5 -7,0 -8,6 6,7

Jak wida´c uzyskano płyt˛e prostok ˛atn ˛a, która posiada wszystkie cz˛estotliwo´sci drga´n własnych z odstrojeniem mniejszym ni˙z +/- 9%. Pokazuje to, ˙ze pomimo diametralnie ró˙znego kształtu płyty płaskiej (od PG) i swobodnego podparcia jako warunku brzegowego, mo˙zna dzi˛eki u˙zyciu optymalizacji wielokryterialnej otrzyma´c bardzo dobre dostrojenie cz˛estotliwo´sci drga´n własnych do zmierzonych na

6.7. Model płyty prostok ˛atnej swobodnie podpartej płaskiej: analiza wyników 125

pełnym modelu. Dodatkowo, istniej ˛a ró˙zne warianty doboru optymalnych w sensie Pareto parametrów wej´sciowych co przekłada si˛e na odpowiedni kompromis parametrów wyj´sciowych zilustrowany na rysunku 6.10.

(a) Zbiór optymalnych parametrów wej´sciowych Lxi Ly.

(b) Zbiór optymalnych parametrów wyj´sciowych f1i f2.

Rys. 6.10. Zbiór parametrów wej´sciowych i wyj´sciowych optymalnych w sensie Pareto uzyskanych dla PPSP

Na rysunku 6.10a widoczne jest wyra´zne rozwidlenie optymalnego zbioru parametrów wej´sciowych (kolor niebieski), co wskazuje na dwa równie dobre zbiory parametrów. Wykres 6.10b pokazuje, ˙ze istnieje zaledwie kilka zestawów optymalnych parametrów wyj´sciowych umo˙zliwiaj ˛acych osi ˛agniecie zmierzonych cz˛estotliwo´sci (130 i 160,9 Hz). Pozostałe mo˙zliwo´sci dostrajania cz˛estotliwo´sci s ˛a wynikiem kompromisu. U˙zyto zaledwie pi˛eciu parametrów wej´sciowych, dzi˛eki czemu zastosowana

126 6.7. Model płyty prostok ˛atnej swobodnie podpartej płaskiej: analiza wyników

metoda redukcji poprzez wyznaczenie najistotniejszych z nich jest w pełni uzasadniona, tak˙ze dla modelowania konstrukcji o tak uproszczonym kształcie (PPSP).Tabela 6.35 pokazuje, ˙ze otrzymana płyta płaska jest bardzo długa i w ˛aska a stosunek długo´sci do szeroko´sci wynosi a˙z 7,07. Co ciekawe, grubo´s´c płyty to 0,0041 m. Jest to w zasadzie identyczna grubo´s´c jak PG, która została zaczerpni˛eta wprost ze szkicu Bertranda (rysunek 1.5) tak˙ze do E0.

Tabela 6.35. Optymalne parametry wej´sciowe PPSP.

h L_x L_y ⇢ E_x

7. Podsumowanie

Zasadniczym wnioskiem sformułowanym na podstawie uzyskanych wyników, jest potwierdzenie postawionej tezy pracy. W zwi ˛azku z tym, model M4 mo˙zna uzna´c za zwalidowany, pomimo jego niedoskonało´sci zwi ˛azanych z odstrojeniem cz˛estotliwo´sci C2 i C3. ´Zródło tego problemu zostało wskazane na podstawie rezultatów E6 oraz konkluzji wynikaj ˛acych z zastosowania duszy w E3 i E4 (dwa sprz˛e˙zenia PD i PG: za pomoc ˛a duszy oraz obj˛eto´sci akustycznej wewn ˛atrz instrumentu). Otrzymana ostateczna grubo´s´c płyty górnej i dolnej zgadzaj ˛a si˛e z wymiarami modelu rzeczywistego, co potwierdza rysunek 7.1. S ˛a to wielko´sci przybli˙zone, natomiast mo˙zna traktowa´c rysunek za wiarygodny. Uzyskana grubo´s´c płyty górnej w górnej jej cz˛e´sci wynosi h2 = 0, 0039m, natomiast dla instrumentów wielko´sci wiolonczeli najcz˛e´sciej przyjmuje si˛e 0,004 m.Dolna grubo´s´c płyty górnej wynosi h1 = 0, 0069 m, wi˛ec jest to tak˙ze rezultat bardzo podobny do otrzymanego na rysunku 7.1. Płyta dolna posiada ostatecznie grubo´s´c P Dh = 0, 0028 m a wi˛ec identyczn ˛a jak w badanej eksperymentalnie violi da gamba. Ostatecznie zdemontowana w sposób numeryczny swobodn ˛a płyt˛e górn ˛a violi da gamba wykazuje dopasowanie postaci nr 5 (posta´c pier´scieniowa lub tzw. O) do C4 na poziomie MAC = 0,84 a przestrojenie cz˛estotliwo´sci wynosi 14,4 % (czyli odległo´s´c interwałowa prawie tercji małej -3m). Potwierdza to opini˛e lutników, ˙ze podczas rze´zbienia płyty górnej stosuj ˛a celowe przestrojenie C4, aby po sklejeniu całego instrumentu była ona odstrojona od cz˛estotliwo´sci nastrojenia struny C3 o interwał sekundy małej (2m). Mo˙zna zatem stwierdzi´c, ˙ze zostały w ten sposób odtworzone parametry geometryczne voli da gamba, podobnie jak materiałowe, które w zasadzie zawsze obni˙zaj ˛a warto´s´c funkcji celu, a co za tym idzie podnosz ˛a poziom dopasowania modelu, co najlepiej wida´c mi˛edzy E41

i E42. Bardzo ciekawym faktem jest te˙z dopasowywanie si˛e odwrotnej proporcji grubo´s´c płyty górnej (płyta mo˙ze by´c grubsza u góry i cie´nsza na dole) na przykładzie E1. Praca zawiera tak˙ze rezultaty realizacji przyj˛etych celów dodatkowych:

– zbudowano model violi da gamba z uwzgl˛ednieniem sprz˛e˙zenia pola mechanicznego z polem akustycznym, dzi˛eki czemu dokonano identyfikacji akustycznych postaci drga´n własnych (6.6). Dodatkowo, zidentyfikowano obni˙zenie cz˛estotliwo´sci dla wszystkich postaci w modelu ze sprz˛e˙zeniem akustycznym (około 3 % podobnie jak postaci C4). Najwi˛eksze warto´sci przesuni˛ecia cz˛estotliwo´sci wyst˛epuj ˛a dla postaci, których cz˛estotliwo´sci drga´n konstrukcji zbli˙zone s ˛a do cz˛estotliwo´sci postaci akustycznych A0 i A1. W pierwszym przypadku pojawia si˛e obni˙zenie cz˛estotliwo´sci o 5 % w obr˛ebie C2i C3. Jest to dowód na problem odstrojenia tych cz˛estotliwo´sci

128

w M4, poniewa˙z model ten nie zawierał obj˛eto´sci akustycznej. Maku posiada inne warunki brzegowe zatem nie da si˛e porównywa´c bezpo´srednio wyników, lecz nale˙zy zwraca´c uwag˛e na ich trend zmian. Wspomniany trend obni˙zania si˛e cz˛estotliwo´sci (a˙z o 7,4 %) dotyczy tak˙ze postaci, która jest podobna do C7. Jest to ponownie potwierdzenie wyst˛epowania cz˛estotliwo´sci C7 i A1

bardzo blisko siebie. We wcze´sniejszych etapach modelowania E1 - E3 cz˛estotliwo´s´c C7 prawie zawsze ma tendencj˛e du˙zego przestrojenia ponad warto´s´c 252 Hz,

Rys. 7.1. Szacowane grubo´sci płyt rezonansowych violi da gamba

– zaprojektowano nowy kształt płyty rezonansowej na przykładzie płyty płaskiej prostok ˛atnej swobodnie podpartej o stałej grubo´sci (6.7). Model ten pokazał, ˙ze mo˙zna projektowa´c nowe kształty płyt rezonansowych (nawet bardzo proste) i uzyskiwa´c bardzo dobre wyniki dostrojenia cz˛estotliwo´sci rezonansowych zmierzonych na pełnym modelu. Przykład ten potwierdza efektywno´s´c i uniwersalno´s´c zastosowanej metody optymalizacji wielokryterialnej. Inn ˛awarto´sci ˛a, jest stworzenie mo˙zliwo´sci przeprojektowywania pewnych elementów instrumentu bez konieczno´sci jego fizycznej realizacji, zwane wirtualnym prototypowaniem. Zmiany mog ˛a dotyczy´c wprowadzania elementów stworzonych z ró˙znych materiałów (np. dusza, belka basowa), w celu poprawy brzmienia instrumentu.

Ponadto, niniejsza rozprawa zawiera rozwi ˛azania sformułowanych problemów cz ˛astkowych, kluczowych z punktu widzenia modelowania instrumentów muzycznych:

– dokonano obszernej analizy eksperymentalnie zmierzonych (za pomoc ˛a młotka modalnego) drga´n płyty górnej violi da gamba (3). Dokonano tak˙ze identyfikacji postaci akustycznych pochodz ˛acych od obj˛eto´sci wewn ˛atrz pudła rezonansowego A0 i A1, gdzie cz˛estotliwo´s´c postaci A0 zweryfikowana została na podstawie wyników w literaturze naukowej, widma zarejestrowanego sygnału akustycznego, a tak˙ze analitycznie wyznaczonej cz˛estotliwo´sci

129

rezonatora Helmholtza. Cz˛estotliwo´s´c postaci A1 zidentyfikowana została za pomoc ˛a analizy modalnej modelu komputerowego obj˛eto´sci akustycznej. Wykazano, ˙ze odstrojenie cz˛estotliwo´sci nastrojenia pustych stron od zmierzonych eksperymentalnie cz˛estotliwo´sci rezonansowych utrzymuje na poziomie interwału sekundy (2w i 2m). Wynik ten (zamieszczony w tabeli 3.2) sugeruje sposób w jaki lutnik projektuje instrument modeluj ˛ac zamierzone odległo´sci interwałów tak, aby uzyska´c finalnie zadowalaj ˛ace brzmienie w okre´slonym stroju (A4 = 422 Hz),

– zastosowano (zaimplementowano) przyj˛et ˛a metod˛e optymalizacji wielokryterialnej do modelowania instrumentów muzycznych na przykładzie violi da gamba i PPSP. Szczegółowy opis poszczególnych etapów modelowania wraz z wizualizacjami wyników znajduje si˛e w 6. Sformułowanie funkcji celu i autorski analityczny przykład optymalizacji wielokryterialnej PG z u˙zyciem algorytmu genetycznego zamieszczono w rozdziale 4,

– stworzono autorski algorytm preselekcji postaci drga´n własnych, które niweluje efekt przeskakiwania (zamiany miejscami) postaci podczas procesu modelowania (4.6.1). Pozwala on zautomatyzowanie i stabilizacj˛e optymalizacji wielokryterialnej niezale˙znie od poziomu skomplikowania modelu komputerowego,

– zaproponowano autorskie kryterium materiałowe, które sformułowano na podstawie danych materiałowych uwzgl˛ednionych w [87, 71] (4.6.2.1). Umo˙zliwia ono identyfikacj˛e materiału, który mo˙ze by´c materiałem lutniczym,

– zbudowano cztery modele violi da gamba (M1-M4) wraz metodyk ˛a modelowania, polegaj ˛ac ˛a na rozdzieleniu du˙zego planu eksperymentu na dwa plany szeregowe, osobno dla parametrów wej´sciowych geometrycznych i materiałowych (5.4). Model M4 posiada najbardziej skomplikowan ˛a konstrukcj˛e, która przewy˙zsza poziomem zaawansowania modele przedstawiane w literaturze naukowej w dziedzinie modelowania chordofonów,

– zastosowano ograniczenie ilo´sci parametrów wej´sciowych, na podstawie autorskiego kryterium okre´slaj ˛acego poziom istotno´sci parametrów. Znacznie ułatwia proces modelowania oraz sprawia, ˙ze staje si˛e on przejrzysty. Równie˙z z punktu widzenia algorytmów uczenia maszynowego operacja ograniczania cech jest jedn ˛a z najbardziej po˙z ˛adanych, poniewa˙z algorytm nie nasyca si˛e parametrami, które ze wzgl˛edu na swoj ˛a mał ˛a istotno´s´c traktowane s ˛a jako szum, co finalnie obni˙za skuteczno´s´c stosowanego algorytmu,

– zaproponowano autorski algorytm wygładzania postaci C7 w celu poprawy jej odwzorowania po eksperymentalnej analizie modalnej. Procedura wygładzania,któr ˛a jest aproksymacja amplitud w miejscu umieszczenia czujnika bazuje na cyfrowym przetwarzaniu sygnałów i daje w zasadzie identyczne wyniki jak standardowe algorytmy aproksymacji,

130

– dobrano rodzaj elementu sko´nczonego na podstawie autorskiego eksperymentu, dowodz ˛ac słuszno´s´c wykorzystania elementu SHELL281, uwzgl˛edniaj ˛acego przemieszczenia k ˛atowe w przekroju poprzecznym modelowanej powłoki (2.3.1),

– sprawdzono wpływ wprowadzania napr˛e˙ze´n głównych za pomoc ˛a wydłu˙zania duszy, z uwzgl˛ednieniem nieliniowego sformułowania kontaktowego typu rough (6.5). Niestety wydłu˙zanie duszy nie przyniosło oczekiwanych efektów. Model zdecydowanie bardziej podatny jest na przemieszczania duszy w stosunku do jej wydłu˙zania. Ponadto, ustawienie duszy wpływa tak˙ze cz˛e´sciowo na dostrojenie postaci C2i C3. Pomimo ˙ze warto´s´c MAC = 0,65 dla postaci C3to cz˛estotliwo´sci obydwu z nich s ˛aprawie na poziomie 10 % odstrojenia. Powraca natomiast problem z odstrojeniem cz˛estotliwo´sci postaci C6, jak to miało miejsce w przypadku E2,

– zidentyfikowano postaci pochodz ˛ace od sprz˛e˙zenia płyt górnej i dolnej za pomoc ˛a duszy. Sprz˛e˙zenie to tworzy posta´c C3, oraz C6 dla której w momencie gdy nie ma duszy, pojawiła si˛e warto´s´c MAC = 0,7 w eksperymencie E21. Niestety dzieje si˛e tak przy du˙zym odstrojeniu cz˛estotliwo´sci wynosz ˛acym 18 %. Przy zastosowaniu AG w E22 dostrojenie postaci tej spada do MAC = 0,33 wraz ze spadkiem odstrojenia do 12,6 %. Mo˙zna uzna´c, ze zale˙zy ona od pojawienia si˛e duszy w modelu (M3 i M4), w którym praktycznie w ka˙zdym przypadku dopasowuje si˛e powy˙zej MAC = 0,7 i dostraja do ok. 10 %. Zastosowana dusza w modelach M3 i M4 przy odpowiednim ustawieniu nie tylko pozwala dopasowa´c odpowiednio postaci, ale tak˙ze wzmacnia konstrukcj˛e dzi˛eki czemu napr˛e˙zenia w modelu mocno spadaj ˛a szczególnie w kierunku L, czyli równoległym do włókien, a współczynnik bezpiecze´nstwa wynosi kL = 5, 06. ´Swiadczy to o poprawnym oszacowaniu sił od naci ˛agu strun oraz odwzorowaniu ich przyło˙zenia w modelu komputerowym. Dostrojenie postaci udowadnia jeszcze odpowiednie dobranie pozycji duszy, czyli odwzorowanie miejsca, w którym znajdowała si˛e w modelu rzeczywistym (autor nie mierzył poło˙zenia duszy).

– wykonano obszerny prz˛egl ˛ad literatury naukowej na temat modelowania instrumentów muzycznych oraz samej historii i genezy powstania violi da gamba (1.3). Poprzez wykazanie prawdopodobnie pierwszej na ´swiecie produkcji seryjnej instrumentów muzycznych w warsztacie N. Bertranda [67] badany instrument rzeczywisty (zbudowany na szkicach Bertranda) mo˙zna uzna´c za jedn ˛a z najbardziej dopracowanych konstrukcji instrumentu, który posiadał swoj ˛a matryc˛e,

Praca ta pokazuje, ˙ze przedstawiony sposób modelowania instrumentu jest poprawny i dzi˛eki niemu mo˙zna uzyska´c inne konstrukcje zachowuj ˛ace podobne drganie. Warto zatem zauwa˙zy´c, ˙ze model ten mógłby posłu˙zy´c do przeprojektowywania tego instrumentu do innego stroju np. A4 = 440 Hz, który obecnie cz˛esto jest u˙zywany w orkiestrach symfonicznych. Nale˙zy wtedy dokona´c odstrojenia cz˛estotliwo´sci strun od cz˛estotliwo´sci drga´n własnych modelu tak, aby zachowa´c wzorcow ˛a proporcj˛e odległo´sci interwału sekundy (2w i 2m). Przy naci ˛agu strun uwzgl˛edniaj ˛acym strój A4=440 Hz