Pola Yanga-Millsa
Zadanie 17. Teoria cechowania o działaniu (4.49) jest inwariantna w szczególności względem przekształceń globalnych
1.3 Fermiony w zewnętrznych polach bozonowych
Klasyczne pola cechowania – Teorie bozonowe - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005
...
1.3 Fermiony w zewnętrznych polach bozonowych.
Rozpatrzymy teraz jak wygląda równanie Diraca w zewnętrznych polach bozonowych.
Na początku przypomnimy sobie, że fermiony w zewnętrznym polu EM opisywane są równaniem Diraca, analogicznym do (1.1) ( lub (1.3)), ale z zamianą standardowej pochodnej na pochodną kowariantną :
( Ogólnie mówiąc, w równaniu takim mogą występować również składowe, związane z anomalnym momentem magnetycznym fermionu, jego elektrycznym momentem dipolowym itd. )
iγµDµψ − mψ = 0 (1.33)
gdzie :
Dµ = ∂µ− ieAµ
e – ładunek elektryczny.
Zauważmy, że lewa część tego równania przekształca się kowariantnie przy lokalnych przekształceniach cechowania z grupy EM U(1), tj. przy przekształceniach postaci :
ψ(x) → ψ’(x) = exp[iα(x)]ψ(x) (1.34)
Aµ(x) – A’µ(x) = Aµ(x) + (1/e)∂µα(x) (1.35)
Przy przekształceniach tego typu otrzymujemy :
( iγµDµψ − mψ ) → exp(iα)(iγµDµψ − mψ )
Jeśli ψ spełnia równanie Diraca w polu zewnętrznym Aµ, to ψ’ spełnia równanie Diraca w polu zewnętrznym A’µ Innymi słowy, przy przekształceniu cechowania pola zewnętrznego zbiór rozwiązań równań Diraca pozostaje taki sam z dokładnością do przekształcenia fazowego (1.34). Mówimy, że równanie Diraca (1.33) jest inwariantne względem lokalnych przekształceń cechowania (1.34) i (1.35).
Globalne lub nieabelowe symetrie cechowania pojawiają się w równaniu Diraca wtedy, kiedy fermionom można przypisać wewnętrzne liczby kwantowe. Niech np. w układzie ( póki co bez pól zewnętrznych ) mogą występować dwa typy fermionów. Wtedy stan układu, w którym istnieje dokładnie jeden fermion dowolnego typu, można opisać przez funkcje falową w postaci kolumny :
ψ = ( ψ1(x) ) (1.36)
( ψ2(x) )
każda ze składowych której ψ1 lub ψ2 przedstawia sobą spinor Diraca ( dla bezmasowych fermionów może to być spinor Weyla )
Zatem, fermion pierwszego typu opisywany jest przez kolumnę :
( ψ1(x) ) (1.37)
( 0 )
a fermion drugiego rodzaju – przez kolumnę : ( 0 )
( ψ2(x) )
W przypadku ogólnym (1.36) wielkość ( ψ1†ψ1 )(x) reprezentuje sobą prawdopodobieństwo tego, że w układzie istnieje fermion pierwszego typu w punkcie x i analogicznie dla wielkości ( ψ2†ψ2 )(x)
Jeśli masy fermionów są jednakowe, to w przypadku niewystępowania pól zewnętrznych każda ze składowych (1.36) spełnia równanie Diraca (1.1). Równania te można połączyć, zapisując dla kolumny (1.36) równanie : ( iγµ∂µψ − m ) • 1 • ψ = 0 (1.38) gdzie 1 – macierz jednostkowa 2 × 2, działająca w przestrzeni dwuskładnikowych kolumn (1.36) ( nie będziemy jej wypisywali w postaci jawnej, jeśli nie będzie to prowadziło do nieporozumienia )
Równanie (1.38) jest inwariantne względem globalnych ( nie zależnych od współrzędnych ) przekształceń z grupy SU(2) :
ψ(x ) →ωψ(x) , ω∈ SU(2) (1.39)
( Jest ono inwariantne również względem grupy U(1) globalnych obrotów fazowych ψ → eiα ψ )
Należy podkreślić, że przekształcenie (1.39) działa nie na indeks lorentzowski, a na indeksy „wewnętrzne”, numerujące typ fermionu. Zgodnie z (formalną ) analogią do zwykłego spinu, przekształcenia (1.39) nazywają się przekształceniami „spinu wewnętrznego” ( lub izospinu ). Przy tym można powiedzieć, że kolumna (1.36) opisuje fermion, który, może znajdować się w różnych stanach izospinowych – i tak fermion pierwszego typu, opisywany przez (1.37), można nazwać fermionem w stanie o trzeciej projekcji izospinu ( +1/2 ), a fermion drugiego typu – stanem o trzeciej projekcji izospinu (− ½ ).
Historycznie pierwszym przykładem symetrii wewnętrznej była symetria izotopowa oddziaływań silnych.
Jeśli zaniedbamy małą różnicę mas protonu i neutronu, jak również oddziaływaniem EM i słabym, to proton i neutron będą posiadały jednakowe własności. Funkcje falową nukleonu możemy wtedy zapisać w postaci (1.36), gdzie ψ1(x) i ψ2(x) – są funkcjami falowymi składowej protonowej i neutronowej nukleonu. Swobodne równanie Diraca dla nukleonu ma dokładnie postać (1.38).
Nazwa „izospin” – spin izotopowy – ma właśnie takie pochodzenie. W dalszej kolejności wykorzystujemy go dla innych symetrii, opisywanych przez grupę SU(2) ( np. mówiąc o słabym izospinie, który ma związek z
oddziaływaniami słabymi )
Przedstawioną konstrukcje możemy uogólnić na przypadek, kiedy fermiony mogą znajdować się w trzech lub więcej stanach ( inaczej mówiąc mamy trzy lub więcej fermionów o jednakowej masie ). I tak, kwarki mogą znajdować się w trzech stanach ( nazywamy je kolorami ), zatem kwark opisywany jest przez funkcje falową :
( ψ1(x) ) (1.40)
( ψ2(x) ) ( ψ3(x) )
a równanie Diraca dla funkcji falowej kwarku jest inwariantne względem działania wewnętrznej (kolorowej) grupy SU(3)c.
Dalsze uogólnienie wynika z obserwacji, iż kolumny (1.36) lub (1.40) można rozumieć jako wektory z przestrzeni fundamentalnej reprezentacji grupy, odpowiednio SU(2) lub SU(3)c.
Można nie ograniczać się tylko do grup SU(N) i reprezentacji fundamentalnych. Właściwie można wybrać dowolną zwartą grupę G symetrii wewnętrznej i dowolną jej reprezentacje T(G) i żądać, aby fermionowa funkcja falowa należała do przestrzeni reprezentacji T(G), a równanie Diraca było inwariantne względem przekształceń : ψ → T(g )ψ
dla wszystkich g ∈ G.
Należy ponownie podkreślić, ze macierz T(g) działa na wewnętrzne, a nie na lorentzowskie indeksy funkcji falowej fermionu.
Kolejny krok polega na zbudowaniu oddziaływania fermionów z nieabelowymi polami cechowania. Takie oddziaływanie powinno zapewnić inwariantność równania Diraca względem przekształceń cechowania o nieabelowej grupie (wewnętrznej ) symetrii cechowania. W przykładzie z grupą wewnętrzną SU(2) i dubletem fermionowym (1.36) należy wymagać, aby równanie Diraca było inwariantne ze względu na standardowe przekształcenia cechowania pola cechowania grupy SU(2) :
Aµ → A’µ = ωAµω−1 + ω∂µω−1 ,ω(x) ∈SU(2) Gdzie A( = (ig ½ (a A(a
Spełnionych jednocześnie z przekształceniami : ψ(x) → ψ’(x) = ω(x)ψ(x)
Recepta zbudowania wielkości kowariantnych jest dobrze znana – należy zamienić zwykłą pochodną na pochodną kowariantną :
Dµ = ∂µ − Aµ
Zatem, dochodzimy do równania Diraca, inwariantnego ze względu na przekształcenia cechowania z grupy SU(2)
( iγµDµ − m )ψ = 0 (1.41)
które jest w pełni analogiczne do równania Diraca (1.33) w przypadku obecności pola EM. Zauważmy, ze w równaniu (1.41) wykorzystujemy bardzo skrócone oznaczenia; jeśli zapiszemy to równanie zachowując wszystkie indeksy, to otrzymamy :
{ i γαβµ [ δij∂µ − ½ ig (τa)ijAµa ] – mδαβδij }ψβj = 0 (1.42)
gdzie α, β = 1, ... , 4 – indeksy lorentzowskie spinora; i, j = 1, 2 – indeksy izotopiczne ; a = 1, 2, 3 Sumujemy po powtarzających się indeksach.
W przypadku ogólnym dowolnej grupy cechowania G i reprezentacji T(G), według której przekształcają się fermiony, równanie Diraca w zewnętrznym polu cechowania, ma poprzednią postać (1.41), a pochodna kowariantna jest równa :
Dµ = ∂µ + T(Aµ ) (1.43)
Przy m = 0 w charakterze wejściowego równania można byłoby wziąć nie równania Diraca, a równanie Weyla.
Powtarzając poprzednie rozważania, doszlibyśmy wtedy do równania Weyla w zewnętrznym polu cechowania.
Dla lewego fermionu ma ono postać : iσ~µ Dµχ = 0
tj. Równania różniącego się od swobodnego równania Weyla (1.22) gdzie zamieniono standardową pochodną na pochodną kowariantną (1.43). Indeks lorentzowski spinora χ tak jak poprzednio przebiega wartości 1, 2.
Teraz przejdziemy do omówienia oddziaływania fermionów z polami skalarnymi. Rozpoczniemy od najprostszego przypadku jednego rzeczywistego pola skalarnego ϕ(x) i jednego fermionu. Podstawowym wymogiem
nakładanym na równanie Diraca dla funkcji falowej fermionu w zewnętrznym polu klasycznym ϕ jest
lorentzowska inwariantność i hermitowskość hamiltonianu Diraca. Przy przekształceniach lorentzowskich pole skalarne w ustalonym punkcie CP nie przekształca się, dlatego możemy go dołączyć do równania Diraca analogicznie do członu masowego fermionu.
Zatem, dochodzimy do równania :
iγµ∂µψ − mψ − hϕψ = 0 (1.44)
gdzie h – rzeczywista stała sprzężenia.
Taki najprostszy związek fermionu z polem skalarnym nazywamy sprzężeniem Yukawy.
Należy podkreślić, że literalnie w postaci (1.44) sprzężenie Yukawy można wyprowadzić dla fermionów Diraca, ale nie można dla spinorów Weyla.
Dalsze uogólnienie można zbudować, wykorzystując pojęcie działanie dla fermionów. Aby go wyprowadzić, na początku omówimy równanie Diraca (1.44). Można go rozpatrywać jako warunek stacjonarności funkcjonału :
ze względu na dowolne wariacje wielkości ψ−(x), która reprezentuje sobą czteroskładnikowy wiersz.
Taki funkcjonał nazywamy działaniem dla fermionów. Funkcjonał SF jest rzeczywisty, jeśli pod ψ− rozumiemy wiersz
ψ† γ0 ( porównaj (1.24)). ( fakt, że przy wariowaniu SF należy przyjmować ψ− ( lub ψ† ) jako zmienną
niezależną, jest analogiczny do recepty wariowania działania dla zespolonego pola skalarnego, przy której ϕ i ϕ*
przyjmowane są jako zmienne niezależne ). W istocie dla S*F otrzymujemy :
Równość S*F = SF otrzymujemy po scałkowaniu przez części w pierwszej składowej i wykorzystaniu tożsamości ψ†µ γ0 = γ0γµ
Dalej, można pokazać, że SF – jest skalarem lorentzowskim. Wymaganie rzeczywistości oraz lorentzowskiej inwariantności działania jest równoważne wymaganiu hermitowskości hamiltonianu Diraca HD i lorentzowskiej kowariantności równania Diraca.
Działanie dla fermionów jest naturalnym i koniecznym obiektem w KTP, gdzie ψ− i ψ traktowane są jako operatory pola fermionowego. Przy tym SF występuje na równych prawach z działaniem dla pól bozonowych.
Zauważyliśmy już, ze w odróżnieniu od operatorów pól bozonowych operatory ψ i ψ− nie posiadają granicy klasycznej.
Równanie Diraca (1.41) w przypadku obecności pól cechowania może być otrzymane poprzez wariacje działania :
po ψ−, przy tym, jeśli ψ przekształca się zgodnie z reprezentacją unitarną T(G), grupy cechowania G, to ψ− = ψ†
γ0 przekształca się zgodnie z reprezentacja sprzężoną : przy przekształceniach cechowania ω(x) ∈ G otrzymujemy :
lub, w zapisie składnikowym :
gdzie i, j – indeksy odpowiadające symetrii wewnętrznej.
Funkcjonał SF w oczywisty sposób jest inwariantny względem przekształceń cechowania.
Jedno z uogólnień wyrażeń (1.45), (1.46) dla działania fermionowego rozciągnięte na przypadek, kiedy pole w nietrywialny sposób przekształca się przy przekształceniach cechowania ( lub globalnych ), jest oczywiste.
Niech ψi przekształca się zgodnie z reprezentacją T(G) grupy cechowania G, tj. prawo przekształcenia ψi i ψ−i ma postać (1.47). Niech pole skalarne przekształca się zgodnie z rzeczywista reprezentacją TS(G) tj. pola ϕ są
rzeczywiste i dla nich mamy : ϕa → ϕ’a = [ TS(ω)]ba ϕb
Niech dalej z ψ−, ψ i ϕ można utworzyć rzeczywisty gauge- inwariant o postaci :
ψ−i (Λa )ij ψj ϕa = ψ−Λa ψϕa (1.48) gdzie (Λa )ij – są pewnymi współczynnikami.
Wtedy działanie fermionowe o postaci :
będzie lorentzowsko inwariantne, gauge-inwariantne i rzeczywiste przy rzeczywistej stałej sprzężenia h ( w przypadku symetrii globalnej w (1.49) w miejsce pochodnej kowariantnej Dµ figuruje standardowa pochodna ∂µ ) Wymaganie inwariantności (1.48) jest równoważne wymaganiu, aby dla wszystkich ω∈ G było słuszne :
Λa [ TS(ω )]ba T(ω) = T(ω) Λb (1.50) Opuściliśmy tutaj indeksy i, j odnoszące się do reprezentacji fermionów T(G) i przyjmujemy Λa i T(ω) jako macierze względem takich indeksów.
Zależność (1.50) określa możliwą postać macierzy Λa inaczej mówiąc ϕa ψj należy do reprezentacji TS × T grupy Liego G. Wymagamy, aby TS × T → T.
Z użyciem pojęcia reprezentacji algebry Liego grupy G zależność (1.50) ma postać : Λa ( TqS )b
a = [ Tq , Λb ] (1.51)
gdzie Tq i TqS – są generatorami algebry Liego w reprezentacjach T i TS , q = 1, ... , dim G.
Wariując działanie (1.49) po ψ− otrzymamy równanie Diraca :
iγµ Dµ ψ − mψ − hΛaϕaψ = 0 (1.52)
Jego lewa cześć kowariantnie ( względem reprezentacji T(G) ) przekształca się przy przekształceniach cechowania.
W charakterze ważnego przykładu rozpatrzymy grupę SU(N) – jako grupę symetrii i wybierzemy fermiony w reprezentacji fundamentalnej tej grupy, a skalary – w reprezentacji dołączonej ( to oznacza w szczególności, że ϕa - są polami rzeczywistymi , a = 1, ... , N2 − 1 ) Wtedy Tq = itq , gdzie tq – hermitowskie macierze generatorów grupy SU(N)
( TqS )b
a = fqab – stałe strukturalne
W charakterze macierzy Λa można wybrać ta. W istocie, lewa część zależności (1.51) w tym przypadku ma postać tq fqab , a prawa część jest równa :
[ itq , tb ] = − fqbc tc
tak, że zależność (1.51) jest spełniona przy uwzględnieniu antysymetrii stałych strukturalnych. Zatem, kowariantne równanie Diraca w danym przypadku ma postać :
( iγµ Dµ − m − htaϕa )ψ = 0 (1.54)
...
Klasyczne pola cechowania. Teorie z fermionami - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005
8.5.4 Rozwiązanie równań Y-M
Jaki widać z powyższego tekstu równania pól Y-M mają postać (dalej cytując ) :
...
( Dµ Fλρ )a = 0 (4.57)
εµνλρ ( Dν Fλρ )a = 0 (4.58)
Równanie (4.57) i tożsamość (4.58) są to nieabelowe analogi równań Maxwella w elektrodynamice.
Jednakże w odróżnieniu od równań Maxwella, równania nieabelowe (4.57) i (4.58) oprócz tensora natężenia zawierają również potencjał wektorowy Aaµ , jest to oczywiste z
( Dµ Fλρ )a = ∂µ Faλρ + gCabc Abµ Fcλρ (4.56)
Zauważmy również, że pochodna kowariantna (4.58) może być zapisana w postaci macierzowej : DµFλρ = ∂µFλρ + [ Aµ , Fλρ ]
gdzie : Fλρ = ig ta Faλρ
( Dµ Fµν )a = g jaν (4.62)
które jest analogiczne do równania Maxwella dla elektrodynamiki z polami materii.
...
Reasumujac - uogólniając elektrodynamikę maxwellowską mając na uwadze iż FµνFµν = inv. zapisać lagranżjan pól Yanga- Millsa następująco :
₤Y-M = − ¼ FaµνFaµν (3.2.18)
Wariacja takiego lagranżjanu da nam równania pola Yanga –Millsa : Wprowadzimy do układu również pole skalarne masy m , przynależne reprezentacji dołączonej grupy :
ϕa
(a = 1... n ) tj. tej samej reprezentacji co i pole Faµν.
Wtedy z uwzględnieniem konieczności wprowadzenia pochodnej Dµ znajdujemy lagranżjany :
₤ = – ¼ Faµν Faµν + | Dµ ϕa |2 − m2 | ϕa
|2 (3.2.21) gdzie : Dµ ϕa = ∂µϕa + g fabc Aaµ ϕc
Lagranżjan ten jest oczywistym uogólnieniem lagranżjanu elektrodynamiki skalarnej na przypadek nieabelowy.
Zauważmy, że w charakterze grupy cechowania wykorzystujemy zwykłą unitarną grupę SU(N), podstawowa reprezentacja tej grupy działa na przestrzeni zespolonej o wymiarze N.
Samodualne pola Yanga - Millsa
Na początku znajdziemy, zgodnie z twierdzeniem Noether kanoniczny tensor energii-pędu : Tνα = (∂Aaσ / ∂xα Tensor ten jest nie symetrycznym, co jest następstwem wektorowego charakteru pola Aµa.
Z symetryzujemy go dodając do niego dywergencje :
i tensor energii-pędu po dodaniu do niego danej dywergencji przybiera symetryczną postać :
Tνα = – Faνσ Faασ − δνα ₤ (3.3.3) lub :
Tαν = – Faνσ Faασ + ¼ ηαν Faνρ Faσρ (3.3.4) Analogicznie do elektrodynamiki antysymetryczny tensor pola można rozbić na składową elektryczną
Ena i magnetyczną Bna : Ena = Fα
0n ; Ba
n = - ½ εnij Fa
ij (3.3.5) Wtedy składowe (3.3.4) mogą być wypisane w jawnej postaci :
T00 = ½ (E2 Łatwo sprawdzić, że przejście od tensora Fµν do dualnego tensora F~µν odpowiada następującej zmianie
składowych tensora Fµν :
Faµν → F~aµν : Ea → Ba ; Ba → − Ea (3.3.8)
Ze składowych takich dwóch tensorów, tak jak w elektrodynamice można zbudować inwarianty :
Ĥ = ¼ Faαβ Faαβ = ½ (B2a − E2a ) (3.3.9) Ĝ = – ¼ Faαβ F~
aαβ = Ea Ba (3.3.9) Oprócz tego jak łatwo jest się przekonać, przez bezpośredni rachunek, mają miejsce następujące tożsamości : Faµν F~
aνλ = δλµ Ĝ (3.3.10) Faµν Faνλ − F~aµν F~aνλ = -2δλµ Ĥ (3.3.10) Z pomocą tych tożsamości przekształcimy wyrażenie dla tensora energii-pędu (3.3.4) :
Tαν
= - Faνσ Faασ + ¼ ηαν Faνρ Faσρ = - ½ ( Faασ + i F~aασ ) ( Fν
aσ − iF~ν
aσ ) (3.3.11) Jak widać, tensor energii-pędu zeruje się na polach spełniających równości :
a). F~aασ = i Faασ b). F~aασ = - i Faασ (3.2.12) nazywanych odpowiednio : a) samodualnym ,b) antysamodualnym.
W terminach „natężeniowych” warunki (3.3.12) możemy zapisać w postaci : a) Ban = iEa
n b) Ba
n = - iEa n
Zauważmy, że jednostka urojona w tych warunkach pojawia się na skutek pseudo euklidesowości metryki przestrzeni Minkowskiego, dzięki czemu powtórne zastosowanie operacji dualizacji daje :
Faµν = - Faµν
Ważną własnością (anty) samodualnych pól jest to, że zapewniają one ekstremum funkcjonału działania i tym samym spełniają równania pola.
Sam w sobie warunek (anty) samodualności jest równoważny temu, że odpowiadające pola przedstawiają sobą rozwiązania równań pola Yanga – Millsa, pokażemy, że tak jest w istocie.
Na początku należy upewnić się, że tensor dualny spełnia równania pola w sposób automatyczny na mocy swej definicji. Weźmy pochodną ( kowariantną ) :
Pierwsze dwie składowe w powyższym równaniu wzajemnie się znoszą, a ostatnie z udziałem tożsamości : εabc εcdl = δad δbl − δal δbd staje się zerem.
Zatem jako dopełnienie do równań Lagrange’a pól Yanga-Millsa (3.2.20) otrzymujemy jeszcze równania :
DµF~aµν =0 (3.3.13) które tak samo jak w przypadku maxwellowskim spełnione jest tożsamościowo na mocy definicji tensora energii-pędu przez potencjały.
Jeśli pola są samodualnymi F~ = iF lub antysamodalnymi F~ = - iF to z równania (3.3.13) wynikają równania pola :
Dν
Faµν = 0
tj. takie pola w istocie są rozwiązaniami równań polowych i zapewniają ekstremum działania. Względem potencjałów warunki samodualności przedstawiają sobą równania różniczkowe pierwszego rzędu podczas gdy równania Lagrange’a – drugiego rzędu.