Niech zadane będą dowolne czterowektory w przestrzeni Minkowskiego :
xµ = ( x0, x1, x2, x3 ) = (ct, r ) (4.1.1) Zastanowimy się teraz dokładniej na przestrzeni w jakiej określono takie wektory.
Zapiszemy wektor x w pewnej bazie : x = xµ eµ = x1e1 + x2e2 + x3e3 + x0e0 gdzie: eµ - 4-baza przestrzeni Minkowskiego.
Kwadrat tego wektora jest równy :
Stąd wynika, że eµ - jest bazą pseudoortogonalną.
Zadajmy przekształcenie liniowe w przestrzeni współrzędnych x , postaci :
xµ → x’µ = Λµν xν (4.1.4)
W szczególności możemy zapisać następujące macierze Λ :
( 1, 0, 0, 0 ) - macierz transformacji odbicia przestrzennego
( 1, 0 , 0 , 0 ) ( 0 , )
Λµν = ( 0 ,
R
) - przykład macierzy „czystych” obrotów.( 0 , )
gdzie macierz R może mieć postać : R = Rx(θ) = ( 1 0 0 ) ( 0 cos(θ) sin(θ) ) ( 0 -sin(θ) cos(θ) ) lub
R = Ry(θ) = ( cos(θ) 0 -sin(θ) ) ( 0 1 0 ) ( sin(θ) 0 cos(θ) ) lub
R = Rz(θ) = ( cos(θ) sin(θ) 0 ) ( -sin(θ) cos(θ) 0 ) ( 0 0 1 ) ( γ , -γβ , 0 , 0 ) ( -γβ , γ , 0 , 0 )
Λµν = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) - przykładowa macierz pchnięcia w kierunku osi Ox ( 0 , 0 , 0 , 1 )
( γ , 0, -γβ , 0 ) ( 0 , 1 , 0 , 0 )
Λµν = ( -γβ , 0 , γ , 0 ) - przykładowa macierz pchnięcia w kierunku osi Oy ( 0 , 0 , 0 , 1 )
( γ , 0, 0 , -γβ ) ( 0 , 1 , 0 , 0 )
Λµν = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) - przykładowa macierz pchnięcia w kierunku osi Oz ( -γβ ,0 , 0 , γ )
Możemy również wykorzystać macierze obrotów hiperbolicznych ( β = tgh(θ) ) : ( cosh (ψ) , 0 , 0 , - sinh (ψ) )
Λµν = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 1 , 0 ) ( -sinh (ψ), 0 , 0 , cosh (ψ) ) lub
( cosh (ψ) , sinh (ψ), 0, 0 ) Λµν = ( -sinh (ψ), cosh (ψ), 0, 0 ) ( 0 , 1 , 1, 0 ) ( 0 , 0 , 0, 1 )
Macierz Λµν jest nazywana macierzą Lorentza, przekształcenia (4.1.4) są to przekształcenia liniowe i jednorodne, można również rozpatrywać przekształcenia liniowe i niejednorodne postaci :
xµ → x’µ = Λµν xν + ξµ
Prawo (4.1.4) definiuje przekształcenie składowych wektora x. Jeśli wektor x = inv. to jednocześnie ze składowymi wektora przekształca się również baza. W istocie, mamy bowiem :
x = xµ eµ = x’µ e’µ = e’µ Λµν xν Stąd : eν = eµ Λµν i odpowiednio :
e’µ = ( Λνµ )–1 eν (4.1.6) tj. w tym przypadku baza przekształca się za pomocą macierzy odwrotnej i transponowanej : ( Λ-1)T.
Oprócz 4-wektora współrzędnych istnieją inne 4-wektory , jak również obiekty bardziej złożonej natury ze względu na przekształcenie Λµν :
Wektor kontrawariantny : aµ - jest to zbiór wielkości : a0 , a1 , a2 , a3 , przekształcający się jak składowe wektora współrzędnych xµ tj. :
a’µ = Λµν aν = ( ∂x’µ / ∂xν ) aν
Wektor kowariantny : aµ - jest to zbiór wielkości : a0 , a1, a2, a3 , przekształcający się jak wektory bazy : eµ tj.
a’µ = ( Λµν ) –1 aν = ( ∂xν / ∂x’µ ) aν
Tensor kontrawariantny drugiego rzędu : aµν - przekształcający się jak iloczyn składowych : xµ xν, tj. : a’µν =(Λµλ ) (Λνσ ) aλσ = ( ∂x’µ / ∂xλ ) ( ∂x’ν / ∂xσ ) aλσ
Tensor kowariantny drugiego rzędu : aµν - przekształcający się jak iloczyn : eµ eν tj. : a’µν = ( Λλµ ) –1 ( Λσν ) –1 aλσ = (∂xλ / ∂x’µ ) (∂xσ / ∂x’ν ) aλσ
itd.
Zbiór ogólnych transformacji Lorentza, dla których det Λ = +1 nazywa się „zbiorem dodatnich transformacji Lorentza”. Zbiór te oznaczamy następująco :
Λ+(M) ( zbiór ten tworzy grupę )
Transformacje należące do tego zbioru zachowują orientacje czterowektorów.
Zbiór ogólnych transformacji Lorentza, dla których det Λ = –1 nazywa się „zbiorem ujemnych transformacji Lorentza”
Zbiór te oznaczamy następująco : Λ -(M) ( zbiór ten nie tworzy grupy )
Transformacje należące do tego zbioru nie zachowują orientacji czterowektorów ( zawierają odbicia czasoprzestrzenne ).
Oczywiście mamy : Λ (M) = Λ +(M) ∪ Λ -(M)
Można pokazać, że dla wszystkich transformacji Lorentza spełniony jest warunek : | Λ00 | ≥ 1 W zależności od znaku elementu Λ00 , zbiór L(M) możemy podzielić na dwa podzbiory :
Jeśli : Λ00 ≥ + 1 mówimy o zbiorze ortochronicznych transformacji Lorentza, który oznaczamy : Λ↑(M) Jeśli : Λ00 ≤ - 1 mówimy o zbiorze antychronicznych transformacji Lorentza, który oznaczamy : Λ↓(M) Pod wpływem transformacji ortochronicznych znak współrzędnej zerowej ( czasowej ) wektorów czasowych nie ulega zmianie tj. transformacje te zachowują orientacje czasu – przeprowadzają wektory skierowane ku
przyszłości ( czasowe i zerowe ) na wektory skierowane ku przyszłości ( czasowe i zerowe ) Grupa Lorentza jest, więc sumą czterech składowych :
Λ↑
+ = Λ+ ∩ L↑ odpowiada : det Λ = +1 , Λ00 ≥ + 1 ; ( dodatnia ortochroniczna ) Λ ↓
+ = Λ+ ∩ L↓ odpowiada : det Λ = +1 , Λ00 ≤ - 1 ; ( dodatnia antychroniczna ) Λ↑
- = Λ- ∩ L↑ odpowiada : det Λ = -1 , Λ00 ≥ + 1 ; ( ujemna ortochroniczna ) Λ↓
- = Λ- ∩ L↓ odpowiada : det Λ = -1 , Λ00 ≤ - 1 ; ( ujemna antychroniczna ) Jak widać, tylko przekształcenie L↑
+ zawiera w sobie przekształcenie jednostkowe , nazywamy je
„przekształceniem właściwym Lorentza”. Do tego zbioru przekształceń, jak łatwo zauważyć, należy również wprowadzone wcześniej szczególne przekształcenie Lorentza, do którego odnoszą się również zwykłe trójwymiarowe ortogonalne obroty.
Grupa Lorentza jest grupą Liego, oznaczamy ją standardowo jako O(1, 3) ( lub dla sygnatury ( +++–) jako O(3, 1) ) Grupa Λ↑
+ jest grupą Liego, oznaczamy ją zazwyczaj jako SO(1, 3)↑
( lub, jeśli stosujemy sygnaturę ( +++ -) SO(3,1)↑ ). Zatem dekompozycja grupy O(3, 1 ) jest następująca : O(3,1 ) = { SO(1, 3)↑, ΛP SO(1, 3)↑, ΛT SO(1, 3)↑, ΛP ΛT SO(1, 3)↑ }
Grupa SO(3, 1) składa się z dwóch niespójnych składowych : SO(3,1 ) = { SO(1, 3)↑, ΛPΛT SO(1, 3)↑ }
Przekształcenie Poincarego.
Jeżeli oprócz obrotów czasoprzestrzennych (w tym również pchnięć w wybranym kierunku ) i inwersji, uwzględnimy również translacje czasoprzestrzenne tj. przesunięcia w czasie i przestrzeni to otrzymamy niejednorodną grupę Lorentza zwaną również grupą Poincarego.
Można pokazać, że zbiór przekształceń Poincarego o macierzy ( Λ, B ) tj. macierzy o postaci : ( Λ00 , Λ0
Symbolicznie przekształcenia Poincarego oznacza się jako (Λ, Π ) ( oczywiście konkretne oznaczenie jest kwestią wyboru ). Iloczyn w grupie Poincarego określany jest za pomocą następującej zależności :
( Λ1, Π1 ) × ( Λ2, Π2 ) = ( Λ1Λ2 , Λ1Π2 + Π1 )
Na podstawie danych doświadczalnych Poincare w 1904 roku uogólnił zasadę względności Galileusza ma wszystkie zjawiska przyrody. Pisał on :
„Zasada względności, zgodnie z którą prawa zjawisk fizycznych powinny być jednakowe dla obserwatora nieruchomego i dla obserwatora będącego w ruchu jednostajnym, nie daje żadnego sposobu określenia czy znajdujemy się w stanie podobnego ruchu, czy też nie”
Zasada ta stała się fundamentalna dla dalszego rozwoju zarówno elektrodynamiki jak i wszystkich innych klasycznych teorii pól.
Można ją również sformułować następująco :
Zasada względności – jest to zachowanie formy wszystkich równań fizycznych w dowolnym IUO.
H. Lorentz, po przedstawieniu przez Poincarego pewnych krytycznych uwag w 1904 roku, dokonał nowego ważnego kroku, spróbował ponownie zapisać równania elektrodynamiki w poruszającym się UO i pokazał, że równanie falowe elektrodynamiki pozostaje niezmienione (form inwariantne) przy następujących
przekształceniach współrzędnych i czasu :
X’ = γ( X − vT ) , T’ = γ[ T − (v/c2 )X ] , Y’ = Y , Z’ = Z (*) Czas T’ Lorentza nazwał zmiennym czasem miejscowym, w odróżnieniu od wcześniej wprowadzonego (1895r. ) czasu miejscowego τ = T’/γ
γ = 1/ sqrt(1 − v2/c )
gdzie c – stała elektrodynamiczna.
Poincare nazwał takie przekształcenia przekształceniami Lorentza. Przekształcenia Lorentza, jak to widać jasno z (*) odnoszą się do dwóch IUO. Jednakże Lorentz nie ustanowił zasady względności dla zjawisk EM, ponieważ nie udało się mu pokazać forminwariantności przy takich przekształceniach wszystkich równań Maxwella-Lorentza.
Ze wzoru (*) wynika, że niezależność równania falowego od prostoliniowego i równomiernego ruchu UO osiągana jest tylko dzięki zgodnej zmianie współrzędnych i czasu. Stąd naturalnie wynika wniosek, że w każdym IUO należy wprowadzić odpowiedni dla niego czas fizyczny.
Należy zauważyć, że operator falowy – jeden z najważniejszych operatorów klasycznej i kwantowej teorii pola pozostaje niezmienniczy pod działaniem grupy Lorentza (Poincarego )
Równanie falowe elektrodynamiki ma postać :
ϕ ≡∂2/∂t2 – ∆ = [ (1/c2 ) ∂2/∂t2 −∂2/∂x2 −∂2/∂y2 −∂2/∂z2 ] ϕ = 0 (**) gdzie ϕ - funkcja skalarna w czterowymiarowej przestrzeni, c – jest stałą elektrodynamiczną, o wymiarze prędkości (można przyjąć równą 1 ).
W 1905 roku Poincare, opierając się na pracy Lorentza z 1904 roku w której podał on przekształcenia nazwane jego imieniem, oraz na zasadzie względności, którą sformułował on w tymże roku dla wszystkich zjawisk przyrody, po raz pierwszy ustanowił niezmienność równań Maxwella-Lorentza i równań ruchu cząstek naładowanych poddanych działaniu siły Lorentza względem przekształceń (*).
Poincare odkrył, że takie przekształcenia wraz z obrotami przestrzennymi tworzą grupę, po raz pierwszy wprowadził pojęcia czterowymiarowości dla szeregu wielkości fizycznych
Odkrycie takiej grupy wraz z całym aparatem fizyki kwantowej stanowiło podstawę dla zbudowania współczesnej fizyki teoretycznej.