6.5.1 Rzeczywiste pole wektorowe – masywne i bezmasowe.
Pole wektorowe przekształca się zgodnie z reprezentacją ( ½, ½ ). Pole, przekształcające się jak ∂µφ(x ) nazywa się polem wektorowym :
A’µ(x) = Λµν Aν (x) , Λµν - macierz Lorentza.
Oczywiście pole wektorowe w najprostszym przypadku jest opisywane przez funkcje o czterech składowych : A(x) = {Aµ(x)}
Możemy dodać jeszcze, że istnieje druga reprezentacja pola wektorowego w postaci macierzy hermitowskiej 2 × 2 :
Aµ → A = ( A0 + A3 A1 + iA2 ) ( A1 − iA2 A0 − A3 )
Przekształcenia Lorentza określone są jako takie przekształcenia przy których zachowany jest warunek A = A† i wielkość det A pozostaje inwariantna.
Rzeczywiste pole wektorowe
Wybierając lagranżjan takiego pola można rozważyć szereg inwariantów, takich jak np.
Aµ(x )Aµ(x), ∂µAν(x )∂νAµ(x) , ∂µAν(x )∂µAν(x) , ∂µAµ(x) itp.
Ponieważ dla zadanej reprezentacji określona jest parzystość, to możemy zdefiniować zarówno pola wektorowej jak i pseudowektorowe.
Lagranżjan pola wektorowego możemy zadać jako sumę czterech lagranżjanów swobodnych pól skalarnych A0 , A1, A2 , A3 , po jego wariowaniu dostaniemy cztery niezależne równania Kleina-Gordona, przypadek ten nie wnosi niczego interesującego z fizycznego punktu widzenia. Pole o nowych własnościach otrzymamy nakładając na pole Aµ dodatkowy warunek, zmniejszający liczbę niezależnych składowych ( do trzech ) :
∂µ Aµ = 0
Te trzy niezależne składowe będą odpowiadać trzem wewnętrznym stopniom swobody cząstki o spinie równym 1 i masie różnej od zera. ( pole skalarne reprezentuje cząstkę o spinie zero, pole wektorowe reprezentuje cząstkę o spinie jeden )
Ogólnie możemy zapisać :
£ = a (∂µAσ )2 + b (∂µAµ )2 + c (∂µAσ ) (∂σAµ ) + αAµ2 gdzie a, b, c, α – stałe
Przyjmując np. a jako ogólny czynnik i przyjmując : a = – ½ , b/a = β , c/a = γ , α/a = κ2
możemy przepisać lagranżjan do postaci :
£ = – ½ { [ (∂µAσ )2 + β (∂µAµ )2 + γ (∂µAσ ) (∂σAµ )] + κAµ2 } (6.5.1) lub
£ = – ½ {δ’µν, σρ (∂µAσ )(∂νAρ )2 + κAµ2 } (6.5.2) gdzie
δ’µν, σρ = δµν δσρ + βδµσ δνρ + γ δµρ δνρ (6.5.3)
Równania Lagrange’a mają postać :
∂£ /∂Aλ − ∂η [ ∂£/ ∂(∂ηAλ )] = 0 Odpowiednio otrzymujemy :
∂£ /∂Aλ = – κAλ
∂£/ ∂(∂ηAλ ) = – ½ ∂η{δ’µν,σρ [ δµη,σρ [ δµη δσλ (∂νAρ) + δνη δρλ (∂µAσ )] } = – δ’ηµ, λσ ∂η(∂µAσ ) Stąd dla pola wektorowego mamy następujące równanie pola :
δ’µη, λσ ∂η ∂λ Aσ – κAµ2 = 0 (6.5.4) lub
∂µ2Aλ + ( γ + β) ∂λ (∂σAσ ) – κAµ2 = 0 (6.5.5) Rozwiązania takich równań ruchu można przedstawić w następującej postaci :
Aµ(x) = A’µ(x) + ∂µϕ(x) (6.5.6)
gdzie ϕ(x) – pewna funkcja skalarna, a na funkcje A’µ(x) nałożono warunek :
∂µA’µ(x) = 0 (6.5.7)
Podstawiając do (4.5.5) wyrażenie (4.5.6) i uwzględniając (4.5.7), otrzymamy :
{ [ ( – κ2 ) Aµ(x)] + [ (1 + γ + β ) – κ2 ] ∂µϕ(x) } = 0 (6.5.8)
Różniczkując po xµ :
{ [ ( – κ2 ) ∂µAµ(x)] + [ (1 + γ + β ) – κ2 ] ϕ(x) } = 0 (6.5.9) i uwzględniając (4.5.7), otrzymamy :
[ ( 1 + γ + β ) – κ2 ] χ(x) = 0 (6.5.10)
gdzie przyjęto oznaczenie :
χ(x) = ϕ(x) (6.5.11)
oczywiście równanie (6.5.10) (przy χ ≠ 0 ) można rozpatrywać jako równanie typu Kleina –Gordona, opisujące pewne pole skalarne. Takie pole powinniśmy wykluczyć z dalszej analizy, korzystając z swobody wyboru współczynników γ, β. Chcemy bowiem uzyskać „czystą” teorię pola wektorowego.
Zatem nałóżmy następujący warunek :
1 + γ + β = 0 (6.5.12)
Wtedy z (6.5.10) otrzymujemy :
χ(x) = ϕ(x) = 0 (6.5.13)
Jednocześnie różniczkując po xµ (6.5.6) i uwzględniając (6.5.7), znajdujemy :
∂µAµ(x) = ϕ(x) (6.5.14)
Wtedy zgodnie z (6.5.13) wynika, że warunek (6.5.12) automatycznie pociąga za sobą określone ograniczenie nakładane na wejściowe funkcje pola :
∂µAµ(x) = 0 (6.5.15)
(jednocześnie trzeba pamiętać, ze warunek (6.5.7) nie nakładał żadnych ograniczeń na wejściowe pole wektorowe Aµ(x))
Ogólne rozwiązanie równania (6.5.8) przy uwzględnieniu warunku (6.5.12) ma postać :
( – κ2 ) Aµ(x) – κ2 ∂µϕ(x) = 0 (6.5.16) Równanie to możemy przepisać następująco :
( – κ2 ) [A’µ(x) – ∂µϕ(x)] = 0 (6.5.17) Co z uwzględnieniem (6.5.6) daje :
( – κ2 ) Aµ(x) = 0 (6.5.18) gdzie funkcje pola Aµ(x) spełniają dodatkowy warunek (6.5.15). Jest to bardzo istotna uwaga, ponieważ jak się okazuje, swobodne pole wektorowe to takie pole, które jest opisywane przez cztery funkcje Aµ(x), podlegające równaniu pola (6.5.18), tylko wtedy kiedy jest nałożony na nie warunek (6.5.15) tj. z czterech funkcji Aµ(x), tylko trzy są niezależne.
Zatem, można powiedzieć, że w przypadku ogólnym cztery funkcje Aµ(x), opisują jednocześnie dwa pola – wektorowe i skalarne. Pole skalarne można wykluczyć poprzez odpowiedni wybór współczynników β, γ, wchodzących do wejściowego lagranżjanu. Osiągamy to poprzez nałożenie na współczynniki β, γ warunku (6.5.12), który okazuje się być równoważny nałożeniu warunku (6.5.15) na funkcje pola Aµ(x).
Oczekujemy, że wychodząc z takich warunków równania pola nie będą opisywały dodatkowego pola skalarnego.
Zatem :
£ = – ½ { [(∂µAσ )2 + (∂µAσ ) (∂σAµ )] + β (∂µAµ )2 – (∂µAσ ) (∂σAµ )] + κ2Aµ2 } (6.5.19) oraz
Aλ(x) – ∂λ(∂σAσ(x)) – κ2Aλ(x) = 0 (6.5.20)
Ważne jest zauważyć, że wyrażenie, stojące w lagranżjanie (6.5.19), przy współczynniku β nie wnosi wkładu do równania pola (6.5.20), zatem w danym przypadku jest nieistotne, jednakże w przypadku zespolonego pola wektorowego, oddziałującego z polem elektromagnetycznym stała β nie znika i wchodzi ona do lagranżjanu oddziaływania i może być interpretowana jako wielkość charakteryzująca moment magnetyczny cząstki wektorowej.
Zatem lagranżjan masywnego pola wektorowego ma postać :
£ = – ½ { [(∂µAσ )2 + (∂µAσ )(∂σAµ )] + κ2Aµ2 } (6.5.21) Skąd otrzymujemy równania pola :
Aλ(x) – ∂λ(∂σAσ(x)) – κ2Aλ(x) = 0 (6.5.20)
Lagranżjan pola (4.5.21) można przedstawić w bardziej zwartej postaci, jeśli wprowadzimy relacje :
(∂µAσ )2 + (∂µAσ ) (∂σAµ ) = ½ (∂µAσ – ∂σAµ )2 (6.5.21) I analogicznie do klasycznej elektrodynamiki, wprowadzimy tensor antysymetryczny :
Fµσ = ∂µAσ – ∂σAµ ( Fµσ = – Fσµ ) (6.5.22)
Oczywiście tensor Fµσ możemy zapisać z użyciem znanych z elektrodynamiki wielkości - trójwektorów E, B : ( 0 −E1 –E2 −E3 )
( E1 0 –B3 −B2 )
Fµν = ( E2 B3 0 −B1 )
( E3 –B2 B1 0 )
Tensor Fµν nazywa się tensorem pola EM. Przy przekształceniach Lorentza zachowuje się on jak antysymetryczny tensor drugiego rzędu :
Fµν → Λµα Λνβ Fαβ
Z użyciem tensora Fµν lagranżjan przyjmie postać:
£ = – ¼ (∂µAσ – ∂σAµ )2 – κAµ2 = – ¼ Fµσ2 – ½ κ2Aµ2 (6.5.23) Równania pola można przepisać w następującej postaci :
∂σ(∂µAλ – ∂λAσ ) – κ2Aλ = ∂σFσλ – κ2Aλ = 0 (6.5.24) Oczywiście zapis lagranżjanu i równań pola postaci (6.5.23) i (6.5.24) jakościowo nie wnosi niczego nowego w porównaniu z zapisem (6.5.21( i (6.5.20).
Można jeszcze zapisać lagranżjan w postaci jawnie zawierającej tensor Fµσ :
£ = – ¼ Fµσ2
– ½ Fµσ (∂µAσ – ∂σAµ ) – ½ κ2Aµ2 (6.5.25) Istotną różnicą tego zapisu jest to, że teraz wielkości Aµ i Fµσ przy wariowaniu działania rozpatrujemy jako zmienne niezależne – funkcje pola. To oznacza, że lagranżjan pola należy przyjąć jako funkcje o postaci :
£ = £(Aµ (x), ∂σAµ(x) , Fλν , ∂ηFλν )
Wariacja takiego działania prowadzi do równania pola postaci (6.5.24).
Reasumując mamy następujące równoważne układy równań wektorowego masowego pola rzeczywistego : 1)
( – κ2 ) Aµ(x) = 0 (6.5.18) z warunkiem :
∂µAµ(x) = 0 (6.5.15)
2)
( – κ2 )Aλ(x) – ∂λ(∂σAσ(x)) = 0 (6.5.20) 3)
∂µFµν – κ2Aν = 0 (6.5.24) z warunkiem :
Fµν = ∂µAν – ∂νAµ
W przypadku 1), 2) mamy równania drugiego rzędu, w przypadku 3) układ 10 równań pierwszego rzędu.
Należy również zauważyć, że we wszystkich w/w przypadkach jawnie – przypadek 1) i niejawnie – przypadek 2) i 3) występuje warunek więzu :
∂µAµ(x) = 0 (6.5.15)
Jest to warunek konieczny aby wyeliminować pole skalarne, które to jest imannentym składnikiem ogólnego opisu pola wektorowego z użyciem pola Aµ(x).
Tylko po wprowadzeniu (lorentzowskiego ) więzu postaci (6.5.15), który eliminuje jedną składową pola wektorowego (mamy zatem trzy niezależne składowe ) możemy mówić o polu któremu w procesie kwantyzacji przypiszemy cząstkę o spinie 1 – cząstkę wektorową.
Jak bowiem przekonamy się dalej masywne cząstki wektorowe posiadają trzy (spinowe ) stopnie swobody – cząstki wektorowe bezmasowe posiadają dwa stopnie swobody np. foton posiada dwa stopnie swobody – polaryzacje lewo – prawo, stronną.
Zmienne dynamiczne pola wektorowego.
Tensor energii pędu pola wektorowego :
Tµν = ∂L/∂(∂µAρ ) (∂νAρ ) – £δµν (6.5.26)
Przy wykorzystaniu lagranżjanu :
£ = – ¼ (∂µAσ – ∂σAµ )2 – κAµ2 = – ¼ Fµσ2 – ½ κ2Aµ2 (6.5.23) i uwzględnieniu :
∂L/∂(∂µAρ ) = Fµρ ma postać:
Tµν = Fρµ(∂νAρ ) – £δµν (6.5.27) Tensor ten nie jest symetryczny, zatem zgodnie z ogólną teorią pole wektorowe posiada wewnętrzny moment pędu – spin.
Spinowy momentu pędu ma postać :
S[ρσ] = – (i/c)
∫
( F4ρAσ – F4σAρ )d3x (6.5.28) Zazwyczaj dla opisu spinowych własności pól (cząstek) wykorzystujemy tylko trzy składowe : S[23] , S[31], S[12] kowariantnego wyrażenia dla tensora spinowego momentu pędu S[ρσ].Tworzą one trójwymiarowy wektor : S = ½ δabcS[bc]
(indeksy łacińskie przebiegają wartości 1,2 ,3 )
Symetryczny (metryczny ) tensor energii –pędu ma postać :
T(metr )µν = Tµν + ∂λFµλ Aν (6.5.29)
T(metr )µν = Fρµ Fνρ – κ2 AµAν ) – £δµν (6.5.30) Jest to oczywiście tensor symetryczny.
Gęstość energii pola jest dana przez zależność :
T44 = ½ (E2 + B2 + κA2 + κ2A02 ) (6.5.31) Gdzie wprowadzono (kierując się już w stronę oznaczeń znanych z relatywistycznego sformułowania
elektrodynamiki klasycznej ) wektory B i E (indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego ).
E ≡ –∇A0 – ∂A/∂t ; B ≡ rot A Energia pola :
E =
∫
T44 d3x = ½∫
(E2 + B2 + κA2 + κ2A02 ) d3x (6.5.32) E = ½∫
(E2 + B2 ) + κ (A2 + A02 ) d3x (6.5.32a) jest wielkością dodatnio określoną T44 ≥ 0.Pęd pola wektorowego :
Pa = (i/c)
∫
T4a d3x = (1/c)∫
{ [EH]a + κ2A0Aa } d3x (6.5.33) lubP = (i/c)
∫
(E × H ) + κ2A0Aa d3x (6.5.34)Reprezentacja pędowa.
Ponieważ każda składowa pola wektorowego Aµ(x) spełnia równanie Kleina –Gordona to analogicznie do pola skalarnego możemy zapisać :
3
Aµ(x) = [1/ √(8π3 ) ]
∫
[ d3p / √(2E(p))] Σ [ ε(λ)µ(p) aλ(p)e–ipx + ε(λ)*µ(p) aλ(p)eipx ] (6.5.35) λ=1gdzie ε(λ)µ(p) – są trzema niezależnymi wektorami polaryzacji.
W przestrzeni pędów warunek ∂µAµ = 0, ma postać
ε(λ)µ(p) pµ = 0 (6.5.36)
Powyższe równanie spełniają następujące 4- wektory zadane w układzie spoczynkowym cząstki :
pµ = ( m, 0, 0, 0 ) (6.5.37)
ε(1) = ( 0, 1, 0, 0 )
ε(2) = ( 0, 0, 1, 0 )
ε(3) = ( 0, 0, 0, 1 )
Elektrodynamika jako szczególny przypadek teorii pola wektorowego Jak wiemy pole EM opisujemy z użyciem funkcji czteroskładnikowej : A(x) = {Aµ(x) } = {A(x), A0(x)}
Utworzonej z trójwymiarowego potencjału wektorowego A(x) i potencjału skalarnego ϕ(x).
Zbiór tych funkcji tworzy czterowektor. Zatem pole EM można rozpatrywać jako przypadek szczególny rzeczywistego pola wektorowego. Jak wiemy z MQ kwant pola EM – foton posiada zerową masę spoczynkową.
Zatem teorię swobodnego pola EM otrzymamy, kiedy przyjmiemy κ = 0
Pole wektorowe κ ≠ 0 Pole EM (κ = 0)
£ = – ¼ Fµν2 – ½ κ2Aµ2 £ = – ¼ Fµν2 lub równoważnie
£ = – ¼ Fµν Fµν – ½ κ2AµAµ
Fµν = ∂µAν – ∂νAµ Fµν = ∂µAν – ∂νAµ
∂µFµν – κ2Aν = 0 ∂µFµν = 0
T(metr )µν = Fρµ Fνρ – κ2 AµAν ) – £δµν T(metr )µν = Fρµ Fνρ – £δµν E = ½
∫
{ E2 + B2 + κ(A2 + A02 )} d3x E = ½∫
{ E2 + B2 }d3xP = (i/c)
∫
(E × H ) + κ2A0Aa d3x P = (i/c)∫
(E × H ) d3xJak widać z równań Fµν = ε(λ)µ(p) aλ(p)e–ipx ∂νAµ przy warunku ∂µFµν = 0 otrzymujemy równania Maxwella swobodnego pola EM.
Jaki widać w teorii bezmasowego pola wektorowego w której to operujemy jedynie wielkością Fµν ,a nie wielkościami Fµν i Aµ tj. operujemy jedynie pochodnymi potencjałów Aµ mamy do czynienia z teorią z cechowaniem :
Aµ (x) → A’µ = Aµ (x) + q ∂µα (x) ; q- pewna stała
Innymi słowy potencjał jest określony niejednoznacznie i może zostać wycechowany.
Jest to wynik przyjęcia κ = 0 tj. zerowej masy spoczynkowej fotonu.
Należy również zauważyć, że teoria wektorowego pola bezmasowego nie narzuca warunku ∂µAµ = 0, tak jak miało to miejsce w teorii pola masywnego. Ogólnie w teorii pola bezmasowego ∂µAµ ≠ 0.
Jednakże mając wybór w cechowaniu możemy go tak dobrać, aby był spełniony warunek ∂µAµ = 0.
Dlatego też przyjmując równania pola EM postaci ∂µFµν = 0, należy podać rodzaj cechowania np. zapisać wprost
∂µAµ = 0 – cechowanie Lorentza, lub przyjąć znane z elektrodynamiki cechowanie coulombowskie.
Cechowanie coulombowskie :
∇ A(x) = 0 ( div A = 0 )
nakłada jeszcze jeden dodatkowy, w porównaniu z cechowaniem Lorentza, więz na pole wektorowe, zatem w takim cechowaniu pole EM posiada nie trzy, ale dwie niezależne składowe – polaryzacje kołowe fali EM.
Zatem, reasumując warunek cechowania ∂µAµ = 0, wraz z warunkiem ∇ A(x) = 0 – które to są możliwe jedynie w teorii bezmasowego pola wektorowego prowadzą do dwóch stopni swobody fotonu – spinowych stopni swobody
±1.
...
Masywne pole wektorowe powinno być opisywane przez czterowektor Bµ(x). Jednak jeśli Bµ(x) przedstawia sobą gradient pola skalarnego : Bµ(x) = ∂µ χ(x), to o wektorowym charakterze Bµ(x) nie ma sensu mówić – układ opisywany jest bowiem polem skalarnym χ(x). Innymi słowy, dowolne pole wektorowe Bµ(x) możemy rozdzielić na składową poprzeczną ( w czterowymiarowym sensie ) Bµ⊥ oraz gradient pola skalarnego :
Bµ = Bµ⊥ + ∂µ χ , ∂µ Bµ⊥ = 0 (2.9)
Pole poprzeczne Bµ⊥ nie jest sprowadzalne do pola skalarnego i właśnie ono będzie nas interesowało. Jeśli masa pola jest różna od zera, to prawo dyspersji powinno mieć postać : k0 = sqrt( k2 + m2 ), będzie to wypełnione, jeśli każda składowa pola Bµ⊥ (x) będzie spełniała równanie Kleina-Gordona :
( ∂µ ∂µ + m2 ) Bν⊥ = 0 (2.10)
Chcemy zatem opisać pole Bν⊥ spełniające równania (2.10)oraz (2.9).
Działanie prowadzące do równań (2.10), (2.9) ma postać :
S =
∫
( − ¼ Bµν Bµν + ½ m2 Bµ Bµ ) d4x (2.11) Gdzie : Bµν = ∂µBν - ∂νBµ co jest całkowicie analogiczne do określania tensora natężenia pola EM.Z działania (2.11) wynikają równania pola :
∂µBν + m2 Bν = 0 (2.12)
Przy m2 ≠ 0równanie (2.9) jest następstwem równań (2.12) : różniczkując (2.12) względem xν oraz wykorzystując antysymetrię tensora Bµν , otrzymamy :
∂ν ∂µBµν + m2 ∂νBν = m2 ∂νBν = 0
Wykorzystując teraz definicję tensora Bµν oraz uwzględniając poprzeczność Bν z (2.12) otrzymamy : ∂ν ∂µBν − ∂µ ∂ν Bµ + m2 Bν = ∂µ ∂µBν + m2 Bν = 0
Zatem równania (2.12) są równoważne układowi :
∂ν ∂µBν + m2 Bν = 0 , ∂ν Bν = 0 (2.13)
co właśnie chcieliśmy uzyskać.