Nieabelowa inwariantność cechowania i pola cechowania : grupa SU(2)

Naszym celem będzie uogólnienie konstrukcji, którą przedstawiliśmy w podrozdziale 2.7 dla elektrodynamiki skalarnej o grupie cechowania U(1) na przypadek nieabelowej grupy cechowania ( Yang, Mills 1954 ).

Rozpatrzmy ponownie teorię dwóch zespolonych skalarnych pól, tworzących kolumnę : φ = ( φ1 )

( φ2 )

lagranżjan dla takich pól ma postać :

£ = ∂µφ† ∂µφ − m2φ† φ – λ (φ†φ )2 (4.17)

Lagranżjan ten jest inwariantny względem globalnych przekształceń należących do grupy SU(2) : φ(x) → φ’(x) = ωφ(x) , ω∈ SU(2)

przy czym ω nie zależy od punktu czasoprzestrzeni.

Postaramy się tak zmodyfikować lagranżjan (4.17), aby był on inwariantny względem przekształceń SU(2) w dowolny sposób zależnych od punktu czasoprzestrzeni :

φ(x) → φ’(x) = ω(x) φ(x) (4.18)

ω(x )∈ SU(2) (4.19)

( Przypomnijmy, że analogiczny wymóg w elektrodynamice skalarnej prowadził do zamiany w lagranżjanie zwykłej pochodnej na kowariantną : ∂µφ → ( ∂µφ – iAµ )φ ).

Składowe potencjalne ( ostatnie dwa człony w (4.17) ) są inwariantne względem przekształceń (4.18), jednak człon kinetyczny ( zawierający pochodne ) nie jest inwariantny.

W istocie – przy przekształceniu (4.18) pochodna pola przechodzi w :

∂µφ’(x) = ω(x) ∂µφ(x) + ∂µω(x) φ(x) (4.20)

i w lagranżjanie £ (φ’) pojawiają się człony z ∂µω. Aby się ich pozbyć zamienimy w lagranżjanie (4.17) zwykłą pochodną na pochodną kowariantną ∂µφ → Dµφ i będziemy wymagali, aby przy przekształceniach (4.18) przechodziła ona w :

( Dµφ )’ = ω Dµφ (4.21)

Z (4.20) widać, że można to osiągnąć, wprowadzając pole wektorowe Aµ(x) i zapisać : Dµφ = ∂µφ + Aµφ

Struktura pola Aµ( obszar jego wartości ) na razie nie jest nam znana, jej znalezienie będzie naszym kolejnym celem.

W pierwszej kolejności wyjaśnimy jak przekształca się pole Aµ przy przekształceniach cechowania. W tym celu wypiszemy jawnie lewą część równania (4.21) :

Dµφ’ = ∂µφ’ + A’µφ’ = ω ∂µφ + ∂µωφ + A’µωφ i wymagajmy, aby była ona równa prawej stronie : ω Dµφ = ω ∂µφ + ω Aµφ

Mając na uwadze, że φ jest dowolną kolumną, otrzymamy :

∂µω + A’µω = ωAµ

tj. prawo przekształcenia Aµ ma postać :

Aµ → A’µ = ωAµω-1+ ω∂µω-1 (4.22)

( wykorzystaliśmy to, że z ωω-1= 1 wynika ω∂µω-1+ ∂µωω-1 = 0 )

Wyjaśnijmy teraz, jakie wartości przyjmuje pole Aµ. W tym celu rozpatrzymy infinitezymalne przekształcenie cechowania tj. przekształcenie (4.22) o :

ω = 1 + ε(x)

gdzie : ε(x) – przyjmuje wartości w algebrze Liego grupy SU(2) ( inaczej mówiąc ε(x) – jest macierzą antyhermitowską

2 × 2 o zerowym śladzie w każdym punkcie x )

Druga składowa w (4.22) w niższym rzędzie względem ε jest równa :

ω∂µω-1 = − ∂µε(x) (4.23)

tj. przyjmuje ona wartości w algebrze Liego.

Konieczne jest zatem, aby algebra Liego zawierała się w zbiorze wartości pola Aµ.

Warunek ten jest wystarczający – jeśli pole Aµ przyjmuje wartości w algebrze Liego grupy SU(2), to przy dowolnym ω(x) zarówno ωAµω-1 jak i ω∂µω-1 należą do algebry Liego. Fakt , że ωAµω-1∈ ASU(2) jest oczywisty, ponieważ ωAµω-1 jest wynikiem działania reprezentacji dołączonej na element Aµ ∈ ASU(2).

Zadanie 3. Pokazać, że jeśli ω(x) należy do grupy SU(2) w każdym punkcie x, to ω∂µω-1 należy do algebry Liego grupy SU(2) w każdym punkcie x.

Zatem pole cechowania Aµ(x) ( nazywamy go polem Yanga-Millsa ) jest to pole o wartościach w algebrze Liego ( w danym przypadku – grupy SU(2) ), prawo przekształcenia pól, skalarnego i cechowania przy przekształceniach cechowania ma postać ( tak jak poprzednio przyjmujemy, że pole skalarne przekształca się według reprezentacji podstawowej grupy SU(2) ) :

Aµ(x) → A’µ(x) = ω(x)Aµ(x) ω-1(x) + ω(x) ∂µω-1(x) (4.24)

φ(x) → φ’(x) = ω(x)φ(x) (4.25)

a lagranżjan pola skalarnego inwariantny względem przekształceń cechowania jest równy :

£ = ( Dµφ)† Dµφ – m2φ†φ – λ (φ†φ )2

gdzie

Dµφ = ∂µφ + Aµφ ≡ ( ∂µ – Aµ )φ (4.26)

Jest pochodną kowariantną pola skalarnego, przekształcająca się zgodnie z (4.21).

Zauważmy, jedną z różnic nieabelowego pola cechowania i potencjału wektorowego elektrodynamiki.

Przy przekształceniach globalnych ( nie zależnych od x ) elektrodynamiczne potencjały wektorowe nie zmieniają się a potencjały nieabelowe przekształcają się nietrywialnie :

Aµ(x) → A’µ(x) = ω Aµ(ω)ω-1 (4.27)

tj. Względem reprezentacji dołączonej grupy.

Zbudujemy teraz lagranżjan dla samego pola Aµ, który jest analogiczny do –1/4 Fµν2 w elektrodynamice. W tym celu znajdziemy na początku tensor natężenia dla pola nieabelowego. Analogicznie do elektrodynamiki

oczekujemy, ze w tensorze natężenia będą obecne składowe :

∂µAν −∂νAµ (4.28)

Skąd oraz z (4.27) widać, że tensor natężenia powinien przekształcać się nietrywialnie przy przekształceniach cechowania : wyrażenie (4.28) przekształca się zgodnie z dołączoną reprezentacją grupy przy przekształceniach globalnych. Wymagamy aby tensor natężenia przekształca się zgodnie z dołączoną reprezentacja przy wszystkich przekształceniach cechowania :

Fµν(x) → F’µν(x) = ω(x) Fµν ω-1(x) (4.29)

Wtedy lagranżjan inwariantny względem cechowania będzie zbudowany z inwariantu Tr ( FµνFµν ).

Samo w sobie, wyrażenie (4.28) nie posiada własności (4.29). W istocie- różniczkując (4.24) otrzymamy :

∂µA’ν − ∂νA’µ = ω (∂µAν − ∂νAµ )ω-1 + ∂µωAν ω-1 + ωAν ∂µ ω-1 − ∂νωAµω-1− ωAµ∂ν ω-1 + ∂µω∂ν ω-1 –

− ∂νω∂µω-1 (4.30) Składowe z drugimi pochodnymi funkcji ω skracają się, jednak pozostają składowe z pierwszymi pochodnymi.

Aby je wyeliminować należy dodać do (4.28) człony nie zawierające pochodnych pola Aµ.

Analogicznie do (4.28), człony te powinny być elementami algebry Liego i powinny nosić indeksy µ, ν oraz być antysymetryczne względem tych indeksów. Jedynym kandydatem jest komutator :

[ Aµ , Aν ] = AµAν − AνAµ Z (4.24) wynika, że :

[ A’µ , A’ν ] = ω [ Aµ , Aν ] ω-1 + ω ∂µ ω-1 ωAν ω-1 + ωAµ ω-1 ω∂νω-1 − ω∂ν ω-1ωAµ ω-1 −

– ωAν ω-1ω∂µω-1 + ω∂µω-1ω ∂ν ω-1 − ω∂ν ω-1ω ∂µ ω-1 (4.31) Porównując (4.30) i (4.31) upewniamy się, że wielkością kowariantną ( w sensie (4.29) ) jest tensor :

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + [ Aµ , Aν ] (4.32)

Istotnie – niepożądane składowe ( wszystkie składowe oprócz pierwszych ) w (4.30) i (4.31) skracają się przy uwzględnieniu tożsamości :

ω∂µω-1ω = -∂µωω-1ω = - ∂µω

ω∂µω-1ω∂νω-1 = -ωω-1∂µω ∂νω-1 = -∂µω ∂νω-1

które wynikają z ωω-1 = 1 , ω-1ω = 1 oraz z pochodnych względem xµ od ostatnich równości.

Zatem tensor natężenia ma postać (4.32) i przekształca się według prawa (4.29).

Zadanie 4. Pokazać, że w elektrodynamice [ Dµ , Dν ] = –ie Fµν , gdzie Dµ = ∂µ – ieAµ rozumiane jest w sensie operatora, działającego na pole skalarne, DµDν – będzie działanie złożone, najpierw Dν potem Dµ ,

Oczywiście [ Dµ , Dν ] = DµDν – DνDµ

Zadanie 5. Pokazać, że dla teorii z cechowaniem o grupie cechowania SU(2) słuszne jest [ Dµ , Dν ] = Fµν , gdzie pochodna kowariantna określona jest wzorem (4.26). Wykorzystując tą równość przekonać się jeszcze raz w tym ,że tensor natężenia przekształca się zgodnie z (4.29).

Lagranżjan inwariantny względem cechowania, pola cechowania wybierzemy w postaci :

£A = (1/2g2 ) tr (Fµν Fµν ) (4.33)

gdzie : g2 – pewna dodatnia stała.

Wybór znaku w (4.33) omówimy nieco później.

Zauważmy, że ważną różnicą nieabelowej teorii cechowania od elektrodynamiki jest obecność w lagranżjanie £A składowych trzeciego i czwartego rzędu względem Aµ. ( mają one strukturę typu Tr ( ∂µAν Aµ Aν ) oraz Tr ( AµAν Aµ Aν ) ). To oznacza, że równania pola cechowania są nieliniowe nawet w przypadku braku innych pól.

Mówimy w związku z tym, że pole Aµ jest samooddziałujące.

Pole cechowania Aµ(x) przyjmujące wartości w algebrze SU(2), można wyrazić przez trzy pola rzeczywiste ( liczba generatorów algebry SU(2) ) :

Aµ(x) = – ½ ig τa Aaµ(x) (4.34)

Gdzie : a = 1, 2, 3 ; Aaµ(x) – pola rzeczywiste , ½ τa – hermitowskie generatory algebry SU(2), czynnik g jest ten sam co w (4.33) i jest wprowadzony dla wygody dalszych rachunków.

W analogiczny sposób można zapisać tensor natężenia :

Fµν (x) = – ½ ig τa Faµν(x) (4.35)

Z definicji (4.32) otrzymujemy :

Fµν (x) = – ½ ig τa ( ∂µAaν – ∂νAaµ ) + (ig )2 Aaµ Aaν [ ½ τa ,½ τb ] = – ½ ig τa ( ∂µAaν – ∂νAaµ ) – – g2 Aaµ Aaν iεabc ½ τc = – ½ ig τa ( ∂µAaν – ∂νAaµ + g εabc Aaµ Aaν )

Odpowiednio, rzeczywiste składowe tensora natężenia Faµν możemy wyrazić przez pola rzeczywiste Aaµ za pomocą zależności :

Faµν = ∂µAaν - ∂ν Aaµ + g εabc Aaµ Aaν (4.36)

Zauważmy, że czynnik εabc pojawia się tutaj w wyniku komutacji generatorów ½ τa tj. pojawiają się one jako stałe strukturalne grupy SU(2).

Zadanie 6. Niech : ω(x) = 1 + ½i τa εa (x)

będzie infinitezymalnym przekształceniem cechowania o parametrach rzeczywistych εa (x). Znaleźć przekształcenia składowych Aaµ (x) i wyrazić je przez εa (x). Wykonać to zadanie również dla Faµν (x).

Lagranżjan pola cechowania (4.33) można wyrazić przez składowe rzeczywiste Faµν :

£A = (1/2g2 ) Faµν Fbµν (-ig )2 Tr( ½ τa ½ τb ) = − ¼ Faµν Faµν

W dalszej części będziemy wykorzystywali zarówno pola macierzowe Aµ jak i składowe rzeczywiste Aaµ używając dla jednych i drugich pojęcie „pola cechowania”. To samo odnosi się do macierzowego tensora Fµν i jego składowych rzeczywistych Faµν . Zauważmy, że pochodna kowariantna dla dubletu pola skalarnego ( reprezentacja podstawowa SU(2) ) ma postać :

Dµ φ = ( ∂µ − ½ ig τaAaµ ) φ (4.37)

Omówimy teraz wybór znaku w lagranżjanie (4.33) oraz pojawienie się czynnika g w (4.34) i (4.35). W tym celu rozpatrzymy małe (liniowe) zaburzenia pola nad stanem Aaµ = 0. W lagranżjanie pola cechowania :

£A = − ¼ Faµν Faµν (4.38)

opuścimy człony trzeciego i czwartego rzędu względem Aaµ , które są małe w porównaniu ze składowymi kwadratowymi, jeśli pole Aaµ jest małe we wszystkich punktach czasoprzestrzeni. Wtedy lagranżjan dla małych zaburzeń ma postać :

£A = − ¼ (∂µAaν − ∂ν Aaµ ) ( ∂µAaν − ∂ν Aaµ ) (4.39)

Widać, że rozbija się on na sumę lagranżjanów pól A1µ, A2µ , A3µ przy czym każdy z tych lagranżjanów pokrywa się z lagranżjanem elektrodynamiki. Jest to możliwe dzięki czynnikowi g w (4.34) i (4.35). Stąd jasny

jest również wybór znaku w (4.33) ( lub co równoważne w (4.38) ) właśnie przy takim znaku energia pól z małą amplitudą będzie dodatnia.

Z wyrażenia (4.39) od razu wynika, że małe fizyczne zaburzenia pola Aaν (x) – to trzy typy ( a = 1, 2, 3 ) poprzecznych, bezmasowych ( tj. poruszających się z prędkością światła ) fal, każda z których jest całkowicie analogiczna do fal EM w próżni. Stała g wchodzi do lagranżjanu pola skalarnego :

£A = ( Dµφ )† ( Dµφ) – V(φ†φ )

oraz do lagranżjanu pola cechowania (4.38) ale tylko do jego składowych trzeciego i czwartego rzędu (

wykorzystując równanie (4.37) ) tj. tylko do członów samoodziaływania. Dlatego g nazywamy „stałą strukturalną cechowania”.