Lokalne abelowe symetrie cechowania i równanie Diraca

8.4 Lokalne abelowe symetrie cechowania i równanie Diraca.

Jak już wiemy, zgodnie z zasadą lokalnej inwariantności cechowania, wymagamy inwariantności lagranżjanu względem przekształceń cechowania pola Aµ i jednocześnie samego pola (lub pól ) φ :

φ(x) → φ’(x) = eiα(x) φ(x) , φ*(x) → φ’*(x) = e–iα(x) φ*(x) (8.1.28)

Aµ(x) → A’µ(x) = Aµ(x) + (1/e) ∂µα(x) (8.1.29)

( stała e wprowadzona jest dla wygody , α(x) – dowolna funkcja współrzędnych czasoprzestrzennych ) lub w innym zapisie :

φ(x) → φ’(x) = g(x) φ(x)

Aµ (x) → A’µ(x) = Aµ(x) + g(x) ∂µg –1(x)

gdzie : g(x) =eiα(x) , Aµ = – ieAµ

Jak się okazuje, przy lokalnych przekształceniach cechowania funkcji falowej :

ψ(x) → ψ’(x) exp[–ieα(x)] ψ(x) (8.1.30) lub dla spinora sprzężonego :

ψ– (x) → ψ–’(x) exp[–ieα(x)] ψ–(x) (8.1.30a) równanie Diraca nie pozostaje inwariantne :

( iγµ∂µ – m)ψ(x ) = exp[ieα(x)] [(iγµ ∂µ – m ) ψ’(x ) + e(∂µα(x ))γµ ψ’(x )] =

= e(∂µα(x)) γµ ψ’(x ) ≠ 0

Zatem, pole ψ’(x ) nie jest rozwiązaniem swobodnego równania Diraca. Pierwotna symetria może być

przywrócona, jeśli skompensujemy dodatkową składową. Osiągamy to poprzez wprowadzenie pola cechowania Aµ, które przekształca się w taki sposób, tak aby skracać dodatkowe składowe.

Jak już wiemy, inwariantność może być przywrócona jeśli pochodne cząstkowe ∂µ zamienimy na pochodną kowariantną Dµ :

Dµ = ∂µ – ieAµ

Wtedy równanie Diraca możemy zapisać następująco :

(iγµDµ – m ) ψ(x ) = [ iγµ (∂µ – ieAµ ) – m ]ψ(x ) = 0

Wykorzystując przekształcone pole ψ’(x ), łatwo zauważyć, że inwariantność równania Diraca jest przywrócona, jeśli pole cechowania przekształca się następująco :

Aµ → Aµ + ∂µα(x ) (8.1.31)

Cała elektrodynamika opisywana jest w podobny sposób tj. jako inwariantność lagranżjanu £ lub, co równoważne – jako inwariantność równań ruchu względem przekształceń U(1). Ładunek elektryczny e pojawia się tutaj w charakterze wielkości zachowanej.

Kolejną teorią w której kluczowym jest lokalna inwariantość cechowania jest elektrodynamika kwantowa (QED), dzięki swojemu postępowi stała się ona jaskrawym przykładem teorii z cechowaniem.

W fizyce klasycznej Aµ przedstawia sobą klasyczny potencjał wektorowy. Pole cechowania wiążemy z fotonem, odgrywającym rolę cząstki pośredniczącej. Oprócz tego ujawniono, że we wszystkich teoriach z cechowaniem pola cechowania powinny być bezmasowe. Dowolna masa pojawia się w wyniku mechanizmu zwanego jako spontaniczne naruszenie symetrii. Omawiany tutaj przykład odpowiada elektrodynamice jako teorii z

cechowaniem. Z punktu widzenia teorii grup pomnożenie przez czynnik fazowy opisuje przekształcenie unitarne, w omawianym przypadku jest to przekształcenie należące do grupy U(1).

Grupa ta posiada jeden generator. Zasadę cechowania możemy łatwo uogólnić na przypadek abelowych grup cechowania, których generatory komutują ze sobą. Przypadek grup nieabelowych oraz opartych na nich nieabelowych teorii cechowania ( teorii Yanga-Millsa ) jest bardziej złożony.

Lagranżjan Diraca inwariantny względem lokalnych przekształceń cechowania.

Rozważmy lagranżjan swobodnych cząstek Diraca :

£ = ψ–(x)( iγµ∂µ – m)ψ(x)

człon masowy –mψ–ψ, który nie zawiera pochodnych funkcji falowej ψ(x), nie zmienia się przy przekształceniach (8.1.30), jednakże człon zawierający pochodną ∂µψ, nabiera pewnej poprawki :

∂µ[ ψeieα ] = eieα ∂µψ + ie(∂µα ) eieα ψ

dlatego, dla swobodnych cząstek lokalna symetria U(1) zostaje naruszona.

Jeśli wprowadzimy do lagranżjanu pole EM (oczywiście nie musi to być koniecznie pole EM, ale taki wybór wydaje się być najbardziej naturalnym ) Aµ(x), to można skompensować pojawiający się dodatkowy człon, jednocześnie pole Aµ(x) podlega przekształceniu (8.1.31).

W ten sposób zmodyfikowany lagranżjan :

£ = ψ–(x)( iγµDµ – m)ψ(x) → £ = ψ–(x)( iγµ∂µ – eγµAµ – m)ψ(x) nie zmienia się przy przekształceniach (8.1.30).

I teraz najważniejsze – ponieważ do swobodnego lagranżjanu Diraca wprowadziliśmy pole EM (poprzez jego potencjał Aµ(x)), to naturalnym wydaje się być uzupełnienie go o lagranżjan swobodnego pola EM :

£em = – ¼ Fµν2

W wyniku takiego zabiegu otrzymujemy pełny lagranżjan cząstek Diraca oddziałujących z polem EM :

£ = £ψ + £em + £int (8.1.32)

gdzie :

£ψ = ψ–(x)( iγµDµ – m)ψ(x)

£em = – ¼ Fµν2

lagranżjan oddziaływania ma postać :

£int = –eψ–(x) γµψ(x)Aµ(x)

Standardowo wykorzystuje się lagranżjan bez członu oddziaływania – wtedy oddziaływanie jest minimalne tj. jest zawarte w członie pochodnej kowariantnej :

£ = ψ–(x)( iγµ∂µ – eγµAµ – m)ψ(x) – ¼ Fµν2 (8.1.33) lub

£ = ψ–(x)iγµ (∂µ + ieAµ )ψ(x) – mψ–(x)ψ(x) – ¼ FµνFµν (8.1.33a) Lagranżjany o takiej postaci wykorzystuje się przy budowie elektrodynamiki kwantowej – QED.

8.5 Przekształcenia cechowania SU(2), SU(3). Pola Yanga – Millsa.

8.5.1 Singlety, dublety, triplety i multiplety pól.

We współczesnej teorii cząstek elementarnych – modelu standardowym oddziaływań cząstek elementarnych, wprowadza się pola o złożonej naturze – pola zestawione z innych pól.

I tak możemy wyróżnić :

Pole singletowe – jest to, po prostu jedno pole – jeden rodzaj pola np. pole skalarne, zespolone pole skalarne czy też pole spinorowe. Oczywiście przy takiej terminologii nie zapominamy, ze np. zespolone pole skalarne ma w istocie dwie składowe, a np. pole spinorowe Diraca posiada cztery składowe.

Pole dubletu pól, to pole złożone z dwóch jednakowych rodzajów pól np. dwóch pół skalarnych, dwóch pól spinorowych.

Pole trypletu pól – pole złożone z trzech rodzajów pól.

I ogólnie pole multipletu pól – pole złożone z n jednakowych pól. Przykładowo – oktet, dekuplet – pól.

Najważniejsze przy tym jest to, że dane złożenie pól stanowi „pewną jedność” ze względu na własności

transformacji (globalnej ) lokalnej symetrii cechowania. I tak mówimy np. o tryplecie pól spinorowych ze względu na transformacje grupy SU(3).

Zazwyczaj multiplety oznaczamy w postaci kolumny : ( ϕ1 )

( ... ) ϕ(n) = ( ... ) ( ϕn )

gdzie ϕn – dowolne pole np. pole skalarne zespolone, pole spinorowe.

Przykładem dubletu pól jest dublet : ( ψe(x ) )

( ψν(x ) )

pól spinorowych – pola spinorowego Diraca elektronu ψe(x ) i pola spinorowego Diraca neutrina ψν(x ) jest to dublet ze względu na odpowiednią grupę SU(2).

W modelu standardowym definiuje się następujące generacje – multiplety : dla leptonów : ( νe ) ( νµ ) ( ντ )

( e )L ( µ )L ( τ )L eR µR τR -singlety

dla kwarków : ( u ) ( c ) ( t ) ( d )L ( s )L ( b )L uR, dR cR, sR tR,τR L, R – skrętność : lewa, prawa.

W modelu standardowym :

Grupa SU(2) to grupa słabego izospinu np. pole dublet ( νe )

( e )L

ze względu na grupę słabego izospinu SU(2) i singlet : eR

ze względu na tę samą grupę słabego izospinu SU(2).

Grupa SU(3) z oddziaływaniami silnymi – grupa kolorowa Grupa U(1), to grupa słabego hiperładunku

(omówienie szczegółów bodowy modelu standardowego – patrz tekst pt. „Wprowadzenie do modelu standardowego cząstek elementarnych’ )

8.5.2 Nieabelowe lokalna symetria cechowania SU(2).

Rozpatrzona wcześniej lokalna symetria cechowania związana z wprowadzeniem pola EM jako pola cechowania jak wiemy jest związana z grupą U(1). Oczywiście w ramach uogólnienia nie stanowi większej trudności wprowadzenie pól cechowania podlegających symetrii SU(n) np. SU(2), SU(3).

Ogólnie zakłada się iż grupa cechowania jest zwarta, a więc dopuszcza skończenie wymiarowe reprezentacje unitarne. Tak jest w przypadku grup SU(2) i SU(3).

Właściwie taka teoria nie wnosiłaby jakościowo niczego nowego, gdyby nie pewien bardzo istotny fakt - grupy SU(2) i SU(3) nie są grupami abelowymi tj. nie są grupami przemiennymi – są grupami nieabelowymi.

Fakt ten pociąga za sobą nietrywialne następstwa.

Nieabelowość danej grupy oznacza, że jej generatory nie komutują ze sobą, ale spełniają określone zależności komutacyjne. Przykładem mogą być zależności komutacyjne spinowych macierzy Pauliego σi :

[ σi , σj ] = ½ iεijk σk ; i,j,k = 1, 2, 3 gdzie :

σi – macierze Pauliego :

σ1 = ( 0 1 ) , σ2 = ( 0 i ) , σ3 = ( 1 0 ) , 1 = ( 1 0 ) ( 1 0 ) ( –i 0 ) ( 0 –1 ) ( 0 1 )

W przypadku ogólnym grupa SU(n) posiada n2 – 1 generatorów. Reprezentacją grupy SU(2) są wszystkie macierze unitarne 2 × 2 o wyznaczniku równym 1 np. macierze Pauliego.

Generatory grupy SU(2) maja postać : Ti = ½ σi

Przy tym stałe strukturalne są liczbami urojonymi, zależność komutacyjna dla generatorów ma postać : [ Ti , Tj ] = iεijk Tk

Zacznijmy od analizy lokalnej symetrii cechowania, która jest związana z generatorami nieprzemiennej grupy SU(2).

Reprezentacja fundamentalna SU(2) jest dwuwymiarowa, zatem wprowadzimy dwuskładnikowe zespolone pole skalarne (mówimy w tym przypadku o dublecie pól zespolonych ) :

ϕa = (ϕ1 ) ( ϕ2 )

gdzie ϕ1 i ϕ2 – są funkcjami zespolonymi.

Lokalna symetria cechowania związana z grupą SU(2) ma postać :

ϕ → U(x)ϕ = exp[ –ig θi(x)σi ] (8.1.34)

U(x) – macierz transformacji, której elementy zadane są przez relacje exp[ –ig θi(x)σi ] g – stała sprzężenia ,θi(x) – dowolne funkcje współrzędnych czasoprzestrzennych, σi – generatory grupy S(2) – macierze Pauliego

Lagranżjan wprowadzonego dubletu ma postać :

£ = –∂µφ† ∂µφ

Okazuje się, że taki lagranżjan nie jest inwariantny względem lokalnej symetrii cechowania (8.1.34).

Podobnie jak było to w przypadku lagranżjanu Diraca, zachowanie takiej symetrii wymaga wprowadzenia pól wektorowych A(i)µ ; i = 1, 2, 3 – liczba generatorów grupy SU(2).

Pola A(i)µ – ( bezmasowe ! ) nazywane są polami Yanga- Millsa.

I podobnie jak wcześniej należy wprowadzić pochodną kowariantną : Dµ = ∂µ + igA(i)µσi

Zazwyczaj człon igA(i)µσi oznacza się prosto jako Aµ jednakże w odróżnieniu od natężenia Aµ pola EM, teraz jest to wielkość macierzowe, a nie funkcyjna !!.

Prawo przekształcenia Aµ ma postać : A’µ = UAµU–1 – (∂µU)U–1

Innymi słowy, należy wprowadzić pole wektorowe Aµ(x) = Aiµ(x) Ti o wartościach w algebrze Liego ℘, grupy SU(2) które przy przekształceniach przekształca się następująco :

Aµ(x) → g(x)Aµ(x) g(x)1 + g(x) ∂µg(x)–1

Fakt, że w prawie transformacyjnym A’µ występuje wyraz niejednorodny (∂µU)U–1odgrywa w teoriach z cechowaniem kluczowa rolę.

Zatem, niezmienniczy ze względu na nieabelowe transformacje cechowania lagranżjan dubletu zespolonych pól skalarnych ma postać :

£ = – (Dµφ)† Dµφ

Analogicznie do elektrodynamiki, definiuje się tensor natężenia pola odpowiadającego potencjałowi Aµ : Fµν = ∂µAν – ∂νAµ + [ Aµ, Aν ]

który przekształca się następująco :

Fµν (x) → g(x) Fµν(x) g(x)–1

W charakterze kolejnego przykładu rozpatrzymy elektron i neutrino. Za wyjątkiem ładunków elektrycznych i mas te dwie cząstki zachowują się jednakowo względem oddziaływania słabego i możemy zapisać następujące przekształcenia dubletu pól ψe(x ) i ψν(x ):

Ψ(x) = ( ψe(x ) )’ = U(x) ( ψe(x ) )

( ψν(x ) )’ ( ψν(x ) ) gdzie macierz U ma postać :

U( a1, a2 , a3 ) = exp[ ½i (a1σ1 + a2σ2 + a3σ3 )] = exp( ½i aσ ) Rozpatrzmy swobodny lagranżjan Diraca :

£ψ = Ψ–(x) ( iγµ∂µ – m )Ψ(x)

Aby lagranżjan był inwariantny względem lokalnych przekształceń SU(2) – zwanej teraz grupą obrotów izotopicznych :

Ψ’(x) = exp[ ½ ig θi(x)σi ] Ψ(x)

należy wprowadzić trzy bezmasowe pola Yanga- Millsa, które teraz oznaczymy jako Wµ jest to wektor w przestrzeni izotopicznej, ma on składowe : Wµ+ , Wµ– , Wµ0.

Niekomutowanie generatorów grupy prowadzi do tego, że cząstki pośredniczące (jakie otrzymujemy w procesie drugiej kwantyzacji ), odpowiadające składowym Wµ+ , Wµ– , Wµ0 posiadają własny „ładunek” – odpowiednio +1, –1, 0 ( w przeciwieństwie do elektrycznie neutralnego fotonu dla pola abelowego Aµ ).

Dalej, należy wprowadzić pochodną kowariantną o postaci : Dµ = ∂µ + ½ ig Wµσi

która zapewni inwariantność swobodnego lagranżjanu Diraca :

£ψ = Ψ–(x) ( iγµDµ – m )Ψ(x)

Inwariantność osiągana jest tylko w wyniku następujących przekształceń pól cechowania :

W’µ = Wµ + ∂µω(x ) – Wµ × ω(x) (1.68)

Tensor natężenia pola odpowiadającego potencjałowi Wµ ma postać : Fµν = ∂µWν – ∂νWµ + g [ Wµ, Wν ]

który przekształca się następująco : Fµν (x) → g(x) Fµν(x) g(x)–1

Naturalnym rozsądnym uogólnieniem lagranżjanu pola EM na przypadek nieabelowych pól cechowania jest lagranżjan :

£ = (1/8g2 ) tr ( Fµν Fµν ) , tr – ślad

który jest inwariantny względem lokalnych przekształceń cechowania.

Wchodząca do niego wielkość g nazywa się „stałą strukturalną cechowania”.

W lagranżjanie pole cechowania wzięte jest w normalizacji geometrycznej. W modelach fizycznych zwykle wykorzystujemy inną normalizacje. Aby przejść ku tej normalizacji z pola Aµ(x) należy wydzielić stałą g tj. w lagranżjanie należy dokonać zamiany : Aµ(x) → gAµ(x).

Przy takiej zamianie g2 w mianowniku „swobodnego” lagranżjanu pola cechowania znika, jednak stała strukturalna pojawia się w tensorze natężenia : Fµν (x) = ∂µAν – ∂νAµ + g [ Aµ ,Aν ] oraz w pochodnej kowariantnej : Dµ = ∂µ + gAµ.

Zatem, całkowity lagranżjan, opisujący cząstki Diraca i pola Yanga-Millsa (Y-M), który jest inwariantny względem lokalnych SU(2) – przekształceń ma postać :

£ψ = Ψ–(x) ( iγµDµ – m )Ψ(x) – ¼ tr ( Fµν Fµν ) W takim lagranżjanie możemy wydzielić trzy części :

£ = £ψ + £W + £int gdzie :

£ψ = Ψ–(x) ( iγµDµ – m )Ψ(x) – lagranżjan swobodnych cząstek Diraca

£W = – ¼ tr ( Fµν Fµν ) – lagranżjan pól Y-M

£int = ½ gΨ–(x) γµσµ Wµ(x)Ψ(x) – lagranżjan oddziaływania.

...

W dokumencie Wprowadzenie do klasycznej i kwantowej - relatywistycznej teorii pola (Stron 123-128)