Funkcje Greena dla równania Kleina –Gordona

Funkcje Greena. Definicja ogólna.

Metoda funkcji Greena pozwala rozwiązywać niejednorodne liniowe równania różniczkowe z dowolnymi prawymi częściami.

Funkcja Greena pierwszego rodzaju G(x, x’ ) ; x, x’∈ D ⊂ Rn zagadnienia brzegowego :

Lu = f , Bu | x∈S = 0 (D6.1.1)

Gdzie : L, B – pewne liniowe operatory różniczkowe spełnia równanie :

LG(x, x’ ) = δ(x – x‘ ) (D6.1.2)

i warunek brzegowy BG(x, x’ )| x∈S = 0.

Schematycznie obszar D i jego brzeg pokazuje rysunek 6.2.1

Rys.6.2.1

Zazwyczaj rozwiązanie zagadnienia (D6.1.1) wyrażamy poprzez całkę : u(x) =

∫

G(x, x’ ) f(x’) dx’

Metoda funkcji Greena stanowi bardzo ważne narzędzie w rozwiązywaniu równań różniczkowych. Ponadto okazuje się, że istnieje bliski związek między operatorami różniczkowymi i operatorami całkowymi. Kluczowym ogniwem łączącym te dwa pojęcia są warunki brzegowe. Związek między operatorami różniczkowymi i

całkowymi stanowi teoria funkcji Greena. Teoria ta znalazła swoje bardzo ważne zastosowanie w fizyce, a zwłaszcza w KTP.

Przykład. Rozważmy następujące, proste równanie różniczkowe :

dy/dx = f(x) (D6.1.3)

Dla warunku początkowego y(a) = y0 możemy zapisać rozwiązanie równania (D6.1.3) :

φ(x ) = y0 +

∫

f(x’) dx’ (D6.1.4)

Jest to oczywiście rozwiązanie rr poprzez jednokrotne scałkowanie.

Pójdźmy teraz dalej, niech x ∈ [a, b ], równanie (D6.1.4) możemy teraz zapisać następująco : b

φ(x ) = y0 +

∫

θ(x – x‘ ) f(x’) dx’ (D6.1.5)

a

gdzie θ(t ) jest funkcją schodkową : θ(t) = { 1 dla t > 0

{ 0 dla t ≤ 0

mającą za zadanie urwanie całkowania po x’ przy x’ = x.

Równanie (D6.1.5) jest równoważne równaniu całkowemu : y(x) = y0 + K f(x)

gdzie K jest operatorem całkowym : b

K =

∫

θ(x – x‘ ) f(x’ )dx’

a

w którym jądrem jest funkcja θ( x – x’ ).

W przypadku, kiedy jądro pochodzi z rozwiązania równania zawierającego operator różniczkowy, nazywa się ono funkcją Greena tego operatora różniczkowego dla odpowiednich warunków granicznych. Zatem :

G(x, x’ ) = θ(x –x’ )

Jest funkcją Greena dla operatora d/dx, dla układu poddanego warunkom brzegowym y(a) = y0.

Jak widać zamieniliśmy równanie różniczkowe w równanie całkowe, co być może akurat dla powyższego, prostego przykładu nie jest atrakcyjnym rozwiązaniem, jednakże dla przypadków bardziej skomplikowanych jest już opłacalne.

W fizyce funkcje Greena związane są z pojęciem propagatora ( propagator jest funkcją Greena dla odpowiedniego równania pola )

Przykład. Mając do rozwiązania niejednorodne rr ( niejednorodne równanie Kleina-Gordona ) : ( + m2 )φ(x) = J(x)

z dowolną funkcją źródłem J(x), szukamy najpierw funkcji Greena G(x – y ) spełniającej równanie :

( + m2 )G( x – y ) = –δ4(x – y ) (D6.1.6)

a następnie ogólne rozwiązanie danego równania możemy przedstawić w postaci : φ(x) = φ0(x) –

∫

d4y G(x – y ) J(y )

gdzie φ0(x) – jest rozwiązaniem jednorodnego równania Kleina-Gordona.

Funkcja Diraca δ4(x – y ) opisuje źródło punktowe.

Funkcja Greena ( stosowana dla pól swobodnych, zwana propagatorem ) G(x – y ) dla równania Kleina-Gordona jest określona jako rozwiązanie równania (D6.1.6). Oczywiście równanie to jest niejednoznaczne i zależy od nałożonych warunków początkowych. Z tego względu możemy zdefiniować różne funkcje Greena dla tego samego operatora różniczkowego. Przykładem są opóźnione i przedwczesne funkcje Greena, w zależności od tego, czy opisują propagacje w „przód” czy w „tył” w czasie, lub funkcje Greena Feynmana ( propagatory Feynmana ) opisujące jednocześnie te dwie ewolucje. W KTP najbardziej odpowiednim opisem jednocześnie cząstek i antycząstek jest właśnie propagator Feynmana.

Na podstawie :

„Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej” tom 2 -- Frederick W. Byron, Robert W. Fuller ; PWN 1975

Funkcje Greena dla równania Kleina –Gordona.

Do tej pory rozpatrywaliśmy równanie Kleina –Gordona dla cząstek swobodnych. W dalszej kolejności będziemy rozpatrywali równania o ogólniejszej postaci z prawą częścią równania różną od zera :

( + m2 )φ(x) = –J(x) (6.2.50)

gdzie J(x) – jest pewną funkcją skalarną

W tym celu dogodnie będzie na początku poszukać rozwiązania równania z δ-podobną prawą stroną :

( + m2 )G(x – x’ ) = –δ(4)(x – x’ ) (6.2.51)

Funkcje G(x – x’ ), będącą rozwiązaniem równania (6.2.51), nazywamy funkcją Greena dla równania Kleina – Gordona. Ogólne rozwiązanie równania (6.2.50) może być zapisane w postaci całki zawierającej funkcje Greena :

ϕ(x) = ϕ0(x) +

∫

d4x’ G(x – x’ ) J(x’)

gdzie ϕ0(x) – jest rozwiązaniem równania jednorodnego :

( + m2 )φ0(x) = 0 (6.2.52)

i jest tak dobrane, aby ϕ(x) spełniało warunki graniczne.

Równanie (6.2.51) dla funkcji Greena dogodnie jest rozwiązywać z pomocą przekształcenia Fouriera.

Zapiszmy :

G(x – x’ ) = [1/(2π)2 ]

∫

d4p G(p) exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.53) δ(4)(x – x’ ) = [1/(2π)4 ]

∫

d4p exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.54) Podstawiając takie rozkłady do (6.2.51) i uwzględniając, że :

exp[ –ip(x – x’ )] = p2 exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.55)

otrzymamy równanie algebraiczne :

( p2 – m2 ) G(p) = –1 (6.2.56)

Stąd wynika, że :

G(p) = 1/ m2 – p2 (6.2.57)

Zatem :

G(x – x’ ) = [1/(2π)4 ]

∫

d4p (1/ m2 – p2 ) exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.58) Gdzie d4p = dp0d3p ,całkowanie po p0 i trzech składowych wektora p prowadzimy od –∞ do +∞.

Na początku przeprowadzimy całkowanie po p0. Przy tym uwzględniamy, że wyrażenie podcałkowe posiada bieguny w punktach :

m2 – p2 ≡ m2 – p02 + p2 = 0 (6.2.59)

tj. w dwóch punktach :

p0 = ±ωp , ωp = sqrt(p2 + m2 ) (6.2.60)

Aby nadać sens całce (6.2.58), należy wskazać zasady obejścia takich biegunów- sposób deformacji konturu całkowania po p0 na płaszczyźnie zespolonej.

Różnym zasadom obejścia odpowiadają różne funkcji Greena, które odpowiadają różnym warunkom granicznym w nieskończoności. Takie funkcje Greena różnią się pomiędzy sobą o wielkość będącą rozwiązaniem

jednorodnego równania Kleina –Gordona.

Rozpatrując przykłady funkcji Greena, na początku wprowadzimy opóźnioną (retarded ) funkcje Greena GR(x – x’ ), definiując ją następująco :

GR(x – x’ ) = [1/(2π)4 ]

∫

d4p (1/ m2 – p2 ) exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.61) CR

Gdzie kontur całkowania CR na płaszczyźnie zespolonej zmiennej p0 pokazano na rysunku 6.2.2.

Rys. 6.2.2

Na początku rozpatrzmy przypadek t – t’ < 0. wtedy kontur CR można zamknąć na górnej półpłaszczyźnie, nie zmieniając wartości całki. Wyrażenie podcałkowe (6.2.61) zawiera bowiem w charakterze czynnika

exp[ –ip0(t – t’ )] = exp[ –ip’0(t – t’ )] exp[ p’’0(t – t’ )]

gdzie p0 = p’0 + ip’’0.

Jeśli t – t’ < 0, to wyrażenie to dąży do zera przy p’’0 → ∞. Zatem, całka po drodze górnego nieskończonego dużego półokręgu jest równa zero (lemat Jordana ) i jej dodanie nie zmienia wartości funkcji Greena.

Jednakże przy takim zamknięciu konturu całkowania wszystkie bieguny wyrażenia podcałkowego okażą się pozostawać poza nim. Dlatego, zgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego, funkcja Greena w takim przypadku jest równa zero :

GR(x – x’ ) = 0 przy t – t’ < 0 (6.2.62)

Jeżeli t – t’ > 0, to kontur całkowania CR nie zmieniając wartości całki może być zamknięty na dolnej

półpłaszcyźnie. Przy tym bieguny znajdą się wewnątrz konturu całkowania, dlatego funkcja Greena będzie różna od zera. W tym przypadku możemy zapisać :

GR(x – x’ ) = – G0(x – x’ ) przy t – t’ > 0 (6.2.63)

Gdzie funkcja G0(x – x’ ) dana jest przez całkę :

G0(x – x’ ) = [1/(2π)4 ]

∫

d4p (1/ m2 – p2 ) exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.64) C

W której kontur całkowania C pokazano na rysunku 6.2.3.

Rys. 6.2.3

Wzory (6.2.62) i (6.2.63) można połączyć, zapisując :

GR(x – x’ ) = – θ(t – t’ ) G0(x – x’ ) (6.2.65)

Gdzie θ(t – t’ ) = { 0, jeśli t – t’ < 0 (6.2.66)

{ 1, jesli t – t’ > 0

Aby wyjaśnić sens fizyczny opóźnionej funkcji Greena, rozpatrzymy rozwiązanie niejednorodnego równania Kleina –Gordona, podstawiając do niego GR(x – x’ ). Przy całkowaniu po t’ w wzorze :

ϕ(x) = ϕ0(x) +

∫

d4x’ G(x – x’ ) J(x’) (6.2.67)

pozostaje tylko obszar t’ < t. Innymi słowy, pole ϕ(x) będzie określone przez wartości funkcji J(x’ ), która stanowi źródło tego pola, tylko dla czasu (t’ < t ) i nie będzie zależało od wartości J(x’ ) w chwili przyszłej

(t’ > t ). W ten właśnie sposób określa się potencjały opóźnione w elektrodynamice.

Wraz z opóźnioną funkcją Greena wprowadza się wyprzedzającą (advanced ) funkcje Greena GA(x – x’ ) : GA(x – x’ ) = [1/(2π)4 ]

∫

d4p (1/ m2 – p2 ) exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.68) CA

Gdzie kontur całkowania CA na płaszczyźnie zespolonej zmiennej p0 pokazano na rysunku 6.2.4.

Rys. 6.2.4

Wyprzedzająca funkcja Greena może być przedstawiona w postaci :

GA(x – x’ ) = θ(t’ – t ) G0(x – x’ ) (6.2.69) Gdzie funkcja G0(x – x’ ) dana jest przez wzór (6.2.64).

Wyprzedzająca funkcja Greena jest równa zero przy t – t’ > 0.

Z wzorów (6.2.65) i (6.2.69) wynika, że :

GA(x – x’ ) – GR(x – x’ ) = G0(x – x’ ) (6.2.70) Funkcja G0(x – x’ ) jest oczywiście rozwiązaniem jednorodnego równania Kleina –Gordona

( + m2 )G0(x – x’ ) = 0 (6.2.71)

Najprostsza postać funkcja G0 przyjmuje w przypadku cząstek bezmasowych, kiedy m = 0. W tym przypadku : G0(x – x’ ) = (1/4πr ) { δ(t + r ) – δ(t – r ) } = –(1/2π) ε(t) δ(x2) (6.2.72) Gdzie xµ = ( t, r ), x2 = t2 – r2 , r = | r | , ε(t) – funkcja schodkowa :

ε(t) = { 1, jesli t > 0 { –1, jesli t < 0

W przypadku ogólnym, kiedy m ≠ 0, funkcja G0(x) może być wyrażona z pomocą (6.2.64) poprzez funkcje cylindryczne.

Oprócz opóźnione i wyprzedzającej funkcji Greena w KTP ważną rolę odgrywa przyczynowa (feynmannowska ) funkcja Greena GF(x – x’ ), mająca postać całki :

GF(x – x’ ) = [1/(2π)4 ]

∫

d4p (1/ m2 – p2 ) exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.73) CF

Gdzie kontur całkowania CF na płaszczyźnie zespolonej zmiennej p0 pokazano na rysunku 6.2.5.

Rys. 6.2.5

Aby wyjaśnić sens fizyczny przyczynowej funkcji Greena, rozpatrzymy obszar t > t’. W tym przypadku kontur całkowania CF można zamknąć na dolnej półpłaszczyźnie w wziąć residuum w punkcie p0 = +ωp.

Przy tym :

GF(x – x’ ) = i

∫

[ d3p / (2π)2 2ωp ] exp[ –iωp(t – t’ )] exp[ –ip(r – r’ )] przy t > t’ (6.2.74) Jeśli wprowadzimy oznaczenia dla funkcji falowych cząstek swobodnych o dodatniej energii :

ϕp+(x) = exp( –ipx ) (6.2.75)

gdzie

E = + ωp = sqrt( p2 + m2 ), to przy t > t’ :

GF(x – x’ ) = i

∫

[ d3p / (2π)2 2ωp ] ϕp+(x) ϕ*p+(x) (6.2.76) Zatem, przy t > t’ przyczynowa funkcja Greena opisuje propagacje stanów o energii dodatniej w przód czasu.

Jeśli weźmiemy t < t’, to kontur całkowania CF można zamknąć w górnej półpłaszczyźnie w wziąć residuum w punkcie p0 = –ωp. Przy tym GF(x – x’ ) opisuje propagacje stanów o energii ujemnej w tył czasu.

We wszystkich otrzymanych powyżej wzorach dla funkcji Greena, deformowaliśmy kontur całkowania na

płaszczyźnie zespolonej p0 pozostawiając bieguny wyrażenia podcałkowego na osi rzeczywistej. Jednakże te same wyniki można otrzymać, jeśli przeprowadzimy całkowanie po rzeczywistej osi p0, ale bieguny przesuniemy na płaszczyźnie zespolonej o nieskończenie małą wartość ± iε (ε > 0). Innymi słowy, wyrażenia dla rozpatrzonych funkcji Greena można zapisać w następującej postaci :

GR(x – x’ ) = [1/(2π)4 ]

∫

d4p (1/ m2 – (p0 + iε )2 + p2 ] exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.77) GA(x – x’ ) = [1/(2π)4 ]

∫

d4p (1/ m2 – (p0 – iε )2 + p2 ] exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.78) GF(x – x’ ) = [1/(2π)4 ]

∫

d4p (1/ m2 – p2 – iε 2 ] exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.79) Na podstawie

Relatywistyczna teoria pola – A. N. Moskaljew ; RAN 2006 (po rosyjsku )

W dokumencie Wprowadzenie do klasycznej i kwantowej - relatywistycznej teorii pola (Stron 72-76)