Potencjały cechowania i pola

2. Potencjały cechowania i pola.

Na początku podamy pewne wiadomości z klasycznej teorii pola – tak jak rozumieją je fizycy, a następnie podamy ich geometryczną interpretacje. Rozpoczniemy od tego, że ustalimy pewną zwartą grupę Liego G. Zazwyczaj jest to SU(2) lub SU(3), nie wykluczamy również grupy U(1). Rozpatrzmy algebrę Liego L(G) grupy G. Dla SU(2) składa się ona z skośnie hermitowskich n ×n macierzy o zerowym śladzie. Potencjał cechowania – jest to zbiór funkcji Aµ(x) o wartościach w L(G), gdzie x = ( x1 , ... , x4 ) – jest punktem w przestrzeni Euklidesa lub Minkowskiego,

µ = 1, ... , 4 – indeks przestrzenny.

Wraz z tym potencjałem rozpatrzmy operator :

∇µ = ∂µ + Aµ gdzie ∂µ = ∂/∂xµ

Operator ten działa na funkcje wektorową ( f1(x) , ... fm(x)), jeśli zadano pewną m-wymiarową reprezentacje grupy G.

Przykładowo, dla G = SU(2) można wziąć m = n i wykorzystać reprezentacje standardową

Obliczając komutator operatorów ∇µ i ∇ν otrzymujemy pole cechowania Fµν zadane przez zależność : Fµν = [ ∇µ ,∇ν ] = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + [ Aµ , Aν ]

Gdzie [ ∇µ ,∇ν ] – jest komutatorem w algebrze Liego grupy G.

Ważne jest zauważyć, że dla nieabelowej grupy G taki komutator nie jest równy zero i dlatego funkcja F jest nieliniowa

po A.

W przypadku G = U(1), składowa taka nie występuje i otrzymujemy standardowy liniowy związek między polem i potencjałem wektorowym, charakterystyczny dla teorii Maxwella.

Standardowa niejednoznaczność potencjału znajduje swój wyraz w przypadku ogólnym w postaci przekształceń cechowania. Zgodnie z definicją przekształcenie cechowania jest to funkcja g(x), przyjmująca wartości w grupie G i przekształcająca potencjał Aµ zgodnie ze wzorem :

Aµ → g−1 Aµ g + g−1 ∂µ g

Co odpowiada przejściu od ∇µ do g−1∇νg ( rozpatrujemy tutaj G jako grupę macierzy, tak, że ∂µg – jest macierzą złożona z pochodnych ). Pole cechowania Fµν przekształca się wtedy następująco :

Fµν → g−1 Fµν g

Ważna obserwacja polega na tym, że wielkości Aµ przekształcają się niejednorodnie, podczas gdy wielkości Fµν przekształcają się jednorodnie. Innymi słowy Fµν - jest obiektem typu tensorowego, a Aµ - obiektem typu afinicznego

( nie wyróżniającym zera )

Geometrycznie lub mechanicznie możemy to interpretować następująco. Wyobraźmy sobie cząstkę o pewnej strukturze tj. cząstkę znajdującą się w punkcie x przestrzeni R4 posiadającą strukturę wewnętrzną lub pewien zbiór stanów numerowany przez elementy g grupy G.

Rozpatrzmy teraz pełną przestrzeń P wszystkich stanów takiej cząstki. Mówiąc ogólnie, wyobrażamy sobie przestrzenie wewnętrzne Gx i Gy dla x ≠ y, jako nie tożsame i dlatego przestrzeń P przybiera obraz „włókien.

Jednakże w przypadku niewystępowania jakiegoś pola zewnętrznego przyjmujemy, że wszystkie przestrzenie Gx można utożsamić między sobą, tak że w dopełnieniu do linii pionowych lub włókien, możemy narysować jeszcze linie horyzontalne ( nazywane przekrojami ), otrzymując standardowa siatkę kartezjańską

Teraz wyobraźmy sobie, że nałożono pewne pole zewnętrzne, którego działanie narusza wzajemne ułożenie włókien, tak że staje się nie możliwe poprzednie utożsamienie przestrzeni Gx w różnych punktach. Jednakże zakładamy, przy tym ,że przestrzenie Gx i Gy cały czas możemy utożsamić, jeśli wybierzemy pewną określona drogę w R z punktu x do punktu y.

W języku bardziej fizycznym, wyobrażamy sobie, że cząstka porusza się z punktu x do punktu y i przemieszczamy jej przestrzeń wewnętrzną razem z nią. W przestrzeni Minkowskiego taki ruch następowałby wzdłuż linii świata cząstki. Takie utożsamienie włókien wzdłuż dróg nazywa się „przeniesieniem równoległym”. Jeśli teraz mamy dwie różne drogi, łączące punkty x i y, to nie ma żadnych podstaw przyjmować, że odpowiadające im

przeniesienia równoległe pokrywają się. Zakładamy, że różnią się one o pewien czynnik należący do grupy – czynnik ten należy rozpatrywać jako uogólnione „przesunięcie fazy”. Takie przesuniecie interpretowane jest jako wynik działania pola zewnętrznego. W języku geometrycznym rozpatrujemy go jako „krzywiznę” lub

zakrzywienie rozwłóknienia nad obszarem, ograniczonym takimi dwiema drogami.

Przechodząc do nieskończenie małych w stylu newtonowskim, otrzymamy infinitezymalne przeniesienie

równoległe w punkcie x w danym kierunku. Takie infinitezymalne przesunięcie A włókna Gx w włókno sąsiednie nazywa się koneksją. Infinitezymalna krzywizna F zależy od pary kierunków w punkcie x i przyjmuje wartości w algebrze Liego grupy Gx tj. jest infinitezymalnym „przesunięciem fazy”. Tak jak zwykle infinitezymalny obraz tj.

koneksje, można scałkować, otrzymując obraz globalny przeniesienia równoległego wzdłuż krzywych – takie dwa punkty widzenia są matematycznie równoważne.

Jeśli porównany teraz taki obraz z sytuacją, kiedy pola nie występowało i wszystkie włókna Gx zgodnie można było utożsamić, to przeniesienie równoległe można rozpatrywać jako zmiana fazy w ustalonym egzemplarzu grupy Gx, a koneksje – jako element Aµ(x) algebry Liego, zależny od punktu x i µ-tego kierunku.

Zatem, w języku fizycznym, powracamy do potencjału cechowania. Analogicznie krzywizna F przekształca się w pole cechowania Fµν(x), przyjmujące wartości w ustalonej algebrze Liego grupy G. Zatem krzywiznę F można rozumieć jako zakrzywienie, generowane przez pole zewnętrzne lub też można ją utożsamić z samym tym polem, jeśli przyjmować takie pole siły jako obiekt, mierzalny poprzez jej lokalne oddziaływanie. Takie utożsamienie pól z geometrycznym zakrzywieniem, oczywiście stanowi istotę einsteinowskiej teorii grawitacji. Teraz różnica polega na tym, ze zakrzywienie ma miejsce nie w geometrii CP, a w geometrii pewnej wyobrażonej przestrzeni

stanów struktury wewnętrznej, nakładanej na CP. Takie odróżnienie sprawia, ze geometria takiej przestrzeni jest mniej oczywista i poglądowa i historycznie i fizycznie jak również matematycznie geometria przestrzeni

rozwłóknionych pojawia się znacznie później niż geometria CP. Jednakże ciekawe jest to, że zarówno matematycy jak i fizycy ( ci i c, oczywiście osiągnęli to własnymi drogami ) doszli niezależnie do budowy i badania takich obiektów, naturalnie pojawiających się w różnorodnych kontekstach.

Mimo, że historycznie pojawiła się późno, geometria rozwłóknień opisanego powyżej typu jest technicznie dużo prostsza niż geometria Reimanna-Einsteina. Przyczyna takiego faktu polega na tym, ze w naszej teorii występuje skończona grupa G, podczas gdy w geometrii Riemanna mamy do czynienia z grupą wszystkich przekształceń współrzędnych.

Aby wyjaśnić taką okoliczność, powrócimy do naszego rozwłóknienia i zbadamy jego związek z teorią pól z cechowaniem.

Aby opisać naszą geometryczną koneksje w języku algebraicznym, porównamy nasze przeniesienie równoległe z sytuacją, kiedy pole nie występuje. Wcześniej wykorzystywaliśmy zgodnym utożsamieniem wszystkich włókien Gx, obecnie należy podkreślić, że taka zgodność oznacza właśnie niewystępowanie pola, ale konkretny wybór uzgodnionego utożsamienia wciąż pozostaje w naszej dyspozycji. Konkretny taki wybór nazywa się wyborem cechowania, a zamiana jednego takiego wyboru na inny – jest to przekształcenia cechowania.

Dla poglądowości nasze rozwłóknienie przedstawimy jako dwa różne zbiory horyzontalnych, a ich zamianą opiszemy przez funkcje gx , przyjmująca wartości w grupie G. Żaden konkretny wybór nie jest wyróżniony ( niezależnie od postaci obrazka ! ). Po tym jak wybrano cechowanie, koneksja i krzywizna może być zapisana w postaci współrzędnościowej.

Grupa przekształceń cechowania odgrywa rolę analogu grupy przekształceń współrzędnych w geometrii riemannowskiej.

Ponieważ obecna teraz grupa jest istotnie prostsza, to geometria rozwłóknienia jest teorią znacznie prostszą, w pewnym sensie jest ona „mniej nieliniowa”.

Należy również podkreślić, że koneksja jest określonym obiektem geometrycznym, istotniejszym niż krzywizna.

Jako tego następstwo potencjał cechowania należy rozpatrywać jako obiekt bardziej istotny niż samo pole cechowania. Znajduje to swoje fizyczne potwierdzenie również w elektromagnetyzmie. Eksperyment pokazuje, że pole może być tożsamościowo równe zero, ale cały czas istnieją określone fizyczne następstwa tego faktu, ze przeniesienie równoległe może być operacją nietrywialną jeśli obszar przestrzeni jest niejednospójna. Zerowanie się krzywizny daje informacje tylko o przeniesieniu równoległym po bardzo małych konturach. W terminologii fizycznej przeniesienie równoległe, mówiąc ogólnie, opisywane jest z użyciem niecałkowalnych czynników fazowych. Lokalnie taka niecałkowalność związana jest z tym, ze pole nie jest równe zero, podczas gdy niecałkowalność w dużej skali ma charakter własności topologicznych ( np. obejście wokół solenoidu ) i może pojawiać się nawet dla pól zerowych ( na zewnątrz solenoidu ). Klasycznie, potencjały zostały wprowadzone jako pewne matematyczne uproszczenie równań pola, a niejednoznaczności (swoboda cechowania ) w wyborze potencjału rozpatrywana była jako wskazanie na to, że potencjał nie jest istotny fizycznie.

Geometryczny punkt widzenia pokazuje, ze jest to bardzo ograniczona interpretacja. Koneksja jest obiektem geometrycznym, a to oznacza, ze potencjał należy rozpatrywać jako obiekt fizyczny. Niefizyczny jest wybór cechowania, w którym zamierzamy opisywać potencjał, jest to zgodnie z faktem iż geometryczne rozwłóknienie w którym działa koneksja, nie posiada naturalnych cieć horyzontalnych.

Uwagi o dominującej roli potencjału nabiorą większej treści, kiedy tylko omówimy równania pola w ogólnym nieabelowym przypadku.

Do tej pory mówiliśmy tylko o rozwłóknieniach, w których włókno jest grupą G. W geometrii różniczkowej takie rozwłóknienia nazywa się rozwłóknieniami głównymi. W zastosowaniach zazwyczaj interesujemy się jednak rozwłóknieniami stowarzyszonymi, w których włókno jest to przestrzeń wektorowa Cn, odpowiadająca reprezentacji

grupy G. Znowu typowym w tym przypadku jest przypadek G = U(n). Obraz geometryczny jest tutaj w zasadzie analogiczny : rozpatrujemy przestrzeń ( rozwłóknienie wektorowe ) E, rozwłóknienie nad R4 tak, ze włókno Ex wyobrażamy jako przestrzeń wektorową, gładko zależną od x. Przeniesienie równoległe z punktu x do punktu y rozpatrujemy jako unitarne przekształcenie przestrzeni Ex w przestrzeń Ey.

Zatem, przeniesienie równoległe w rozwłóknieniu głównym podnosimy do przeniesienia równoległego w

rozpatrywanym rozwłóknieniu wektorowym. To samo odnosi się do krzywizny i koneksji. W szczególności cięcie tego rozwłóknienia wektorowego tj. funkcja f(x) określona jest na R4 i przyjmuje wartości w przestrzeni

wektorowej Ex, myśląc w kategorii jej wykresu. Koneksja pozwala przesuwać ten wykres infinitezymalnie w danym kierunku w R4. Przesunięcie takie jest w istocie pochodną kowariantną ∇µf. Takie pojęcie geometryczne nie zależne jest od wyboru cechowania.

Wybierając konkretne cechowanie, możemy zapisać algebraicznie funkcje wektorowa f = ( f1(x), ... , fn(x)), a pochodna kowariantna zadana jest wtedy jawnie wzorem (2.1).

Krzywizna Fµν, określona jest jako komutator [ ∇µ ,∇ν ] i ponownie okazuje się wielkością geometryczną w swoim charakterze, ale występuje teraz jako ( algebraiczny ) operator na cieciach rozwłóknienia wektorowego.

3. Równania pola.

Obecnie wprowadzimy równania pola dla teorii z cechowaniem. Równania te będą uogólniać równania Maxwella.

W układzie jednostek, w których prędkość światła jest równa 1, z użyciem pochodnej kowariantnej ∇µ równania te można zapisać z pomocą komutatorów :

[ ∇µ , [ ∇ν ,∇σ ]] + [ ∇ν , [∇σ , ∇µ ]] + [ ∇σ , [ ∇µ ,∇ν ]] = 0 (3.1)

[ ∇µ , [ ∇µ ,∇ν ]] = 0 (3.2)

W (3.2) sumujemy po µ i w przestrzeni Minkowskiego składowa odpowiadająca składowej czasowej ma znak minus

( podczas gdy dla analogu euklidesowego wszystkie znaki są dodatnie ).

Takie dwa równania, zawierające potencjał, są zupełnie różne co do swojego charakteru, ponieważ pierwsze z nich – jest tożsamością ( tożsamość Bianchi w geometrii różniczkowej ) i tylko drugie równania – równanie Yanga-Millsa- nakłada określony warunek na potencjał. Dla G = U(1) równania te zapisane z użyciem pola Fµν , przedstawiają sobą równania Maxwella w próżni. W tym przypadku pierwsze równanie jest w istocie warunkiem całkowalności pola Fµν.

Mówi ono, że ( w skrajnym przypadku lokalnie ) możemy wprowadzić potencjał Aµ tak, że : Fµν = ∂µAν − ∂νAµ

Dla grupy nieabelowej G nie można zapisać takich równań z użyciem tylko jednego pola Fµν ,ponieważ pochodne kowariantne ∇µ zawierają jawnie potencjał Aµ. To jeszcze raz świadczy wagę roli potencjału względem roli samego pola.

Równanie Y-M (3.2) otrzymujemy z lagranżjanu L, zadanego poprzez wycałkowaną po R4 gęstość Lagrange'a, która jest inwariantnie określonym wyrażeniem kwadratowym od krzywizny. W przypadku G = U(1) lub SU(n) przyjmujemy

( z dokładnością do stałego czynnika ) :

L = − ½

∫

Tr ( Fµν Fµν ) dx1 dx2 dx3 dx4 (3.3)

Gdzie Fµν otrzymujemy z Fµν w standardowy sposób – indeksy podnosimy za pośrednictwem standardowego tensora metrycznego CP Minkowskiego lub przestrzeni Euklidesa, a sumowanie prowadzimy po wszystkich µ, ν.

Równania (3.2) są to odpowiednie równania Eulera-Lagrange’a.

WE wzorze (3.3) stoi znak minus, dlatego w przypadku euklidesowym otrzymujemy dodatni lagranżjan – istota tego tkwi w tym fakcie, że forma Tr (AB ) jest określona dodatnio na algebrze Liego grupy U(n).

Dla innych grup Liego można albo wykorzystać włożeniem w U(1) albo ( sposób bardziej wewnętrzny ) zamienić Tr (AB)

Na formę Killinga, będąca standardową inwariantną formą biliniową na L(G) : oba te sposoby dają jedną i tę samą odpowiedź, z dokładnością do dodatniego czynnika liczbowego.

W przypadku euklidesowym lagranżjan można rozpatrywać jako naturalną L2 –normę krzywizny tj. całkę po R4 od sumy kwadratów wartości absolutnych wszystkich jej składowych a standardowej ortounormowanej bazie.

Bardziej inwariantnie możemy to zapisać w następujący sposób.

Na początku przypomnijmy, że antysymetryczny tensor σµν odpowiada 2-formie : α = ½ Σαµν dxν∧ dxµ = Σαµν dxν∧ dxµ

ν,µ µ <ν

2-forma dualna *α określona jest względem, powiedzmy standardowej metryki euklidesowej i zadaje ona zmianę α12 na

α34 itd. Przy czym, jeśli indeksy tworzą nieparzystą permutacje, to stawiamy znak minus. Ma miejsce następująca równość *2 = 1. Naturalny L2 –skalarny iloczyn 2-form określony jest wzorem :

< α, β > =

∫

_{α ∧ *β}

R4

Gdzie ∧ oznacza iloczyn zewnętrzny I daje tutaj 4-formę tj. formę objętości, którą można dalej przecałkować.

Przechodząc teraz do krzywizny F, reprezentowanej prze 2-formę o wartościach w algebrze Liego L(Gx ), w ten sam sposób określamy *F, przestawiając indeksy przestrzenne i nie zaburzając zmiennych z algebry Liego.

Następnie podstawiamy :

|| F || = < F, F > = −

∫

Tr ( F ∧ *F ) (3.4)

jest to właśnie inwariantny sposób zapisu lagranżjanu.

Równanie (3.1) mówi, że pochodna kowariantna 2-formy F, będącej antysymetryczną, jest równa zero lub symbolicznie :

∇∧ F = 0 (3.5)

Wykorzystując operator dualności *, widzimy, że (3.2) możemy wtedy zapisać w postaci :

∇ ∧ *F = 0 (3.6)

Taki sposób zapisu lagranżjanu i równania Y-M jawnie demonstruje ich własności inwariantności i kowariantności.

Po pierwsze, równania te mają sens w zakrzywionej ( riemannowskiej ) czterowymiarowej przestrzeni, ponieważ operator * wykorzystuje tylko infinitezymalną dualność. Po drugie, operator * na 2-formach w czterowymiarowej przestrzeni jest konforemnie inwariantny w tym sensie, że dwie metryki ds2 i ρ(x)ds2 dają jeden i ten sam operator *.

Zatem, równanie Y-M ( i lagranżjan Yanga-Millsa ) zależy tylko od konforemnej struktury czterowymiarowej przestrzeni.

Co oznacza, że taka ważna własność teorii Maxwella jest zachowań również w przypadku nieabelowym.

Jak już wyjaśniliśmy, pozorna symetria lub dualność między (3.5) i (3.6) jest zdradliwa, chociaż w teorii Maxwella odzwierciedla ona dualność pomiędzy elektrycznością i magnetyzmem i podejmowane były próby zrozumienia jej nieabelowego analogu.

Jest to głębokie zagadnienie i odpowiednie zrozumienie takiej dualności będzie być może osiągnięte tylko na poziomie kwantowym.

Na poziomie klasycznym, możemy zauważyć jedynie elementarne następstwo równań (3.5) i (3.6), a dokładnie to, ze (3.6) wynika z tożsamości (3.5), jeśli pole F, spełnia jedno z poniższych równań :

*F = F ( autodualność ) (3.7)

*F = −F ( antyautodualność ) (3.8)

Zatem, otrzymujemy tutaj nieliniowe równania pierwszego rzędu dla potencjału, z których wynikają równania Y-M drugiego rzędu. Jak się dalej przekonamy równania te mają bardzo prosta postać w przypadku euklidesowym.

Zauważmy, że definicja operatora * zawiera wybór orientacji w R4 ( uporządkowania współrzędnych x2 , ... , x4 ) i (3.7), (3.8) zamieniają się przy zmianie orientacji. Dlatego między takimi dwoma przypadkami nie ma istotnej matematycznej różnicy.

...

The geometry and physics of knots – M. Atiyah ; Cambridge 1990

******************************************************************************************

W dokumencie Wprowadzenie do klasycznej i kwantowej - relatywistycznej teorii pola (Stron 152-157)