Nieabelowe symetrie globalne

...

4.1 Nieabelowe symetrie globalne.

W teorii zespolonego pola skalarnego ( rozdział 2.4) spotkaliśmy się z symetrią globalną U(1) : lagranżjan był inwariantny względem przekształceń :

φ(x) → gφ(x)

gdzie : g = eiα – dowolny element grupy U(1), nie zależny od współrzędnych czasoprzestrzeni.

W tym rozdziale rozpatrzymy uogólnienie U(1)-symetrii ( która jest abelowa, ponieważ U(1) jest grupą abelową ) na przypadki nieabelowe.

Jednym z prostszych modeli posiadających globalną symetrię nieabelową jest model N zespolonych pól skalarnych φi o lagranżjanie :

£ = ∂µφ*i ∂µ φi – m2φ*i φi – λ (φ*i φi )2 (4.1)

( teraz i dalej przyjmujemy umowę o sumowaniu względem indeksu i = 1, ..., N ) Model ten, oczywiście posiada abelową symetrię U(1) :

φ(x) → eiα φ(x) (4.2)

Ale oprócz tego lagranżjan (4.1) jest inwariantny względem globalnych ( nie zależnych od punktu czasoprzestrzeni ) przekształceń :

φi (x) → φ’i (x) = ωij φj (x) (4.3)

gdzie : ω – dowolna macierz należąca do SU(N).

Własność inwariantności lagranżjanu (4.1) względem przekształceń (4.3) jest oczywista z tożsamości :

φ'*i φ’i = φ*k ω*ij ωij φj = φ*k ( ω†ω )kj φj = φ*k φk

Zauważmy, że SU(N)-inwariantność lagranżjanu (4.1) zapewniona jest przez to, że masa każdego z pól φ1 , ... ,φN jest jednakowa ( i równa m ), a człon oddziaływania dobrany jest w sposób specjalny i występuje tylko jedna stała sprzężenia.

Aby dojść do dalszych uogólnień symetrii (4.3) zapiszemy lagranżjan (4.1) w dogodniejszej postaci.

Wprowadzimy kolumnę pól :

( φ1 ) (4.4)

φ = ( ... ) ( φN )

tak, że φ† = ( φ*1 , ... ,φ*N )

Lagranżjan (4.1) można teraz zapisać następująco :

£ = ∂µ φ† ∂µ φ – m2 φ† φ – λ ( φ† φ )2 (4.5)

gdzie różniczkowanie kolumny rozumiemy, jako różniczkowanie każdej z jego składowych ( tak samo będzie dla zapisu wierszowego i macierzowego )

Kolumnę pól φ(x) można rozumieć jako jedno pole o wartościach w N-wymiarowej, zespolonej przestrzeni kolumn.

Przekształcenie (4.3) jest to przekształcenie pod działaniem reprezentacji fundamentalnej grupy SU(n) :

φ(x) → φ’(x) = ωφ(x) (4.6)

Zauważmy, że inwariantność lagranżjanu (4.5) względem przekształceń (4.6) jest oczywista z unitarności macierzy ω.

Taka sytuacja może być bezpośrednio uogólniona na bardziej złożone przypadki. Interesować nas będą sytuacje, kiedy grupa symetrii jest zwartą grupą Liego G. Niech T(G) będzie reprezentacja unitarną grupy G ( ogólnie mówiąc przywiedlną ), a pole φ(x) przyjmuje wartości w przestrzeni tej reprezentacji. Rozpatrzmy lagranżjan o postaci :

£ = ∂µ φ† ∂µ φ – V(φ†, φ ) (4.7)

i wymagajmy, aby potencjał V był inwariantny względem działania reprezentacji T : V(φ† T† (ω), T(ω)φ ) = V(φ†, φ )

dla wszystkich ω ∈ G.

Wtedy lagranżjan (4.7) będzie inwariantny względem przekształceń : φ(ω) → T(ω) φ(x)

przy których :

φ† (x) → φ†(x) T†(ω)

Człon potencjalny jest inwariantny, a inwariantność składowej kinetycznej wynika z unitarności reprezentacji T : T† (ω)T(ω) = 1 ( wszędzie przyjmujemy, że ω nie zależy od współrzędnych czasoprzestrzeni tj. rozpatrujemy przekształcenia globalne )

Podamy teraz kilka przykładów :

1) Niech φi(x), χi (x) – będą dwoma zbiorami ze zbioru N pól skalarnych, zespolonych , i = 1, ..., N, Jeśli φ i χ są macierzami kolumnowymi, to lagranżjan :

£ = ∂µ φ† ∂µ φ + ∂µ χ† ∂µ χ− mφ2 φ† φ − mχ2 χ† χ− λ1 (φ† φ )2 – λ2 [ (φ†χ )2 + (χ†φ )2 ] – λ3 ( (χ†χ )2 (4.8) jest inwariantny względem przekształceń grupy SU(N) :

φ → ωφ , χ → ωχ ; ω ∈ SU(N).

Zauważmy, że parę pól φ, χ można rozumieć jako jedno pole, przyjmujące wartości w przestrzeni reprezentacji przywiedlnych grupy SU(N), będącej suma prostą dwóch reprezentacji podstawowych.

2) Niech pole φ(x) przekształca się zgodnie z reprezentacją podstawową grupy SU(2) ( tj. φ(x) – jest zespoloną kolumną o postaci ( φ1 (x) )

( φ2 (x) )

a przekształcenie ω ∈ SU(2) działa jak φ → ωφ , gdzie ω nie zależy od x.

Niech pole ξ(x) będzie rzeczywistym trypletem ξa (x) , a = 1, 2, 3, przekształcającym się zgodnie z dołączoną reprezentacją grupy SU(2). Lagranżjan inwariantny względem grupy SU(2), możemy zbudować w następujący sposób :

£ = ∂µ φ†∂µ φ + ∂µξa ∂µ ξa − λ1 (φ†φ )2 – λ2 (ξa ξa )2 – λ3 φ†(τa ξa )φ (4.9)

gdzie : τa – macierze Pauliego ( generatory SU(2) )

W celu sprawdzenia inwariantności wystarczy upewnić się, że (ξa ξa )2 i φ†( τa ξa )φ są inwariantne.

Zbudujmy pole macierzowe : ξ = τa ξa

przyjmujące wartości w algebrze Liego grupy SU(2) ( z dokładnością do jednostki urojonej ). Zgodnie z definicją reprezentacji podstawowej i dołączonej, pola φ i ξ przekształcają się pod działaniem grupy SU(2) w następujący sposób :

φ → φ’ = ωφ (4.10)

ξ → ξ’ = ωξω-1 (4.11)

Zauważmy jeszcze, że :

ξa ξa = ½ Tr ξ2 (4.12)

Inwariantność wyrażenia (4.12) względem (4.11) jest oczywista, a inwariantność wielkości : φ† ( τa ξa ) = φ†ξ φ

wynika z łańcucha równości :

φ’†ξ’φ’ = (φ†ω†) ( ωξω-1(ωφ )= φ†( ω†ω)ξ (ω-1ω)φ = φ†ξφ

Zauważmy, że para pól (φ, ξ) przedstawia sobą pole w przestrzeni sumy prostej reprezentacji podstawowej i dołączonej, grupy SU(2).

3) Niech φiα (x) – będzie zbiorem z m ^• n pól zespolonych , i = 1, ..., n, α = 1, ..., m

Zbiór ten realizuje reprezentacje grupy SU(n) × SU(m) i przedstawia sobą iloczyn prosty podstawowej reprezentacji grupy SU(n) oraz podstawowej reprezentacji grupy SU(m). To oznacza, że para ( ω ,Ω ), ω, Ω ∈ SU(m) działa na φiα w następujący sposób :

φiα → φ’iα = ωij Ωαβ φjβ (4.13)

Innymi słowy, grupa SU(n) działa na pierwszy indeks w φiα , a grupa SU(m) na drugi.

Inwariantny lagranżjan ma postać :

£ = ∂µ φ*iα ∂µφiα - m2 φ*iα φiα – λ ( φ*iα φiα )2 (4.14) Dalej możemy się umówić, aby nie pisać indeksów dla pól tj. przekształcenie (4.13) zapisać następująco : φ → φ’ = ω Ω φ

a lagranżjan (4.14) tak :

£ = ∂µ φ† ∂µ φ -m2 φ† φ – λ (φ† φ )2

Jeśli pole φ jest znane i wiadomo, że ω ∈ SU(n) ,Ω∈ SU(m), to taki zapis nie powinien prowadzić do nieporozumień.

Zauważmy, że z sytuacją, podobną do tej, z którą mieliśmy do czynienia w ostatnim przykładzie już się zetknęliśmy :

pole (4.4) o lagranżjanie (4.5) realizuje w rzeczywistości reprezentacje grupy SU(N) × U(1), gdzie grupa SU(N) działa zgodnie z (4.6) ( reprezentacja podstawowa ), a grupa U(1) zgodnie z (4.2).

4) Zbudujmy nietrywialny model inwariantny względem grupy SU(2) × U(1). Niech φ, χ - będą dubletami względem grupy SU(2) ( reprezentacja podstawowa ) , ξ - singlet względem SU(2) ( reprezentacja trywialna ).

Inaczej mówiąc, pola φ, χ, ξ przekształcają się pod działaniem SU(2) w następujący sposób : φ → ωφ , χ → ωχ , ξ → ξ

Pola φ, χ - są dwuskładnikowymi zespolonymi kolumnami , ξ - jednoskładnikowe zespolone pole skalarne.

Niech pola φ, χ, ξ przekształcają się pod działaniem U(1) w następujący sposób :

φ → eiqφα φ , χ → eiqχα χ , ξ → eiqξα ξ (4.15)

Gdzie : α – parametr przekształcenia , qφ , qχ, qξ - ustalone liczby rzeczywiste.

Człon kinetyczny w lagranżjanie ma standardową postać, a oddziaływanie można wybrać w postaci :

λ [ (φ† ξ )χ + s.z ] (4.16)

Jest ono inwariantne względem SU(2) × U(1), jeśli : qχ + qξ = qφ

( liczby qφ , qχ, qξ można wybrać jako całkowite, wtedy (4.15) będzie rzeczywistą (jednoznaczną ) reprezentacją grupy U(1) )

Zadanie 1. Rozpatrzmy teorię trzech pól, tak jak w przykładzie 4). Przyjmijmy jednakże : qφ + qχ + qξ = 0

Zbudować inwariantne względem SU(2) × U(1), kubiczne działanie pól φ, χ, ξ ( podpowiedź – wykorzystać to, że dla grupy SU(2) reprezentacja podstawowa jest równoważna reprezentacji sprzężonej )

Przykłady globalnych symetrii można byłoby przedłużać, rozpatrując różne grupy G1 × G2 × ... × GN , gdzie Gi – grupy proste lub U(1)-czynniki, różne pola, przekształcają się zgodnie z iloczynem prostym nieprzywiedlnych reprezentacji grup G1, ... , GN , jak również względem kombinacji takich pól.

Do tej pory omawialiśmy pola skalarne, jednakże globalne wewnętrzne symetrię można wprowadzać również dla pól o dowolnych własnościach względem przekształceń Lorentza – struktura lorentzowska i „wewnętrzna”

struktura pól nie odczuwają się wzajemnie ( np. dla rozpatrzenia wewnętrznych symetrii pola wektorowego należy dokonać zamiany φ → φµ we wszystkich wzorach w tym podrozdziale )

Zadanie 2 Znaleźć zachowane prądy odpowiadające rozpatrywanym globalnym symetrią, w modelach o lagranżjanach (4.1) ( i równoważnym mu (4.5)), (4.8), (4.9), (4.14), jak również w modelu przykładu 4).

Symetrię bliskie do tych rozpatrzonych powyżej występują rzeczywiście w fizyce cząstek. Pola protonu i neutronu łączymy w kolumnę N = ( p ) , która przedstawia sobą podstawową reprezentacje grupy SU(2)

( n ) ( tzw. symetria izotopiczna )

Z rzeczywistego pola π0 –mezonu oraz pola zespolonego π, naładowanych π-mezonów można zbudować trzy pola rzeczywiste : π1 = (1/√2 ) ( π + π* ), π2 = (1/i√2 ) ( π − π* ), π3 = π0

które tworzą tryplet ( reprezentacja dołączona ) względem grupie izotopicznej SU(2), lagranżjan pion-nukleon posiada strukturę (4.9) ( z zamianą φ → N, ξa → πa i zmianami związanymi z tym, że nukleony maja spin ½ i są fermionami, jak również z tym ,że w pełnym lagranżjanie występują małe składowe nie inwariantne względem symetrii izotopicznej )

Lagranżjan oddziaływania typu (4.16) pojawia się przy opisie oddziaływania dubletu leptonowego ( lewy elektron, neutrino ), prawej składowej elektronu i dubletu pól Higgsa.

Grupa SU(2) × U(1) jest grupą oddziaływań elektrosłabych.

Przekształcenia typu (4.13) występują w teorii lekkich kwarków, gdzie symetria ma postać SU(3) × SU(3).

Pierwsza SU(3) jest to grupa koloru ( w rzeczywistości grupa cechowania ), druga SU(3) – grupa zapachów (aromatu), względem której lekkie kwarki tworzą tryplet :

( u ) ( d ) ( s )

Pierwsza grupę SU(3) oznaczamy SU(3)c ,drugą SU(3)f . Grupa SU(3)f nie jest ściśle zachowana – człony masywne, jak również oddziaływania elektrosłabe nie są inwariantne względem niej.

...