Pola Yanga-Millsa
8.3 Naładowane bozony w polu elektromagnetycznym
Jako przykład powyżej sformułowanych zasad, rozpatrzymy naładowane (zespolone ) pole skalarne i jego oddziaływanie z polem EM. Przypomnijmy, że lagranżjan swobodnych bezspinowych cząstek ma postać :
£ = ∂µϕ* ∂µϕ – m2 ϕ*ϕ (8.1.22)
Wychodząc z zasady minimalnego sprzężenia, otrzymujemy :
∂µϕ → (∂µ + ieAµ )ϕ
∂µϕ* → (∂µ – ieAµ )ϕ*
A do lagranżjanu (8.1.22) dodajemy lagranżjan swobodnego pola EM :
£ = – ¼ Fµν Fµν + (∂µ – ieAµ )ϕ* (∂µ + ieAµ )ϕ – m2 ϕ*ϕ (8.1.23) Taki lagranżjan można rozbić na trzy składowe :
£ = £ϕ + £em + £int
gdzie £ϕ - lagranżjan swobodnego pola skalarnego (8.1.22), £em – lagranżjan swobodnego pola EM,
£int – lagranżjan oddziaływania :
£int = – ieAµ [ ϕ*(∂µϕ) – (∂µϕ*)ϕ ] + e2Aµ2 ϕ*ϕ (8.1.24) Rozpatrzmy teraz układ równań E-L, dla zadanego układu pól :
∂µ( ∂£/ ∂(∂µAν ) – ∂£/∂Aν = 0
∂µ( ∂£/ ∂(∂µϕ ) – ∂£/∂ϕ = 0
∂µ( ∂£/ ∂(∂µϕ* ) – ∂£/∂ϕ* = 0
Otrzymujemy następujący układ równań, opisujący naładowane cząstki skalarne w polu EM :
Aµ = –ejµ (8.1.25)
[ (∂µ + ieAµ )2 + m2 ]ϕ = 0 (8.1.25a)
[ (∂µ – ieAµ )2 + m2 ]ϕ* = 0 (8.1.25b)
Prąd naładowanych cząstek skalarnych w polu EM, dany jest przez zależność : Jµ ≡ ejµ = ∂£/∂Aµ = ie[ ϕ*(∂µϕ) – (∂µϕ*)ϕ ] – 2e2Aµϕ*ϕ =
= ie[ ϕ*(∂µ + ieAµ )ϕ – ( ∂µ – ieAµ )ϕ*ϕ ] (8.1.26)
Lagranżjan oddziaływania (8.1.24) możemy przedstawić z pomocą wykresy Feynamnna następująco :
a) b)
Cząstki skalarne przedstawiono linią przerywaną, pole EM – linią falistą. Jak widać, mamy wierzchołki dwóch typów, w których schodzą się trzy (a) i cztery linie (b).
W wierzchołku (a) stoi operator ie∂↔µ, gdzie symbol ∂↔µ jest określony przez zależność :
ϕ*∂↔µϕ = (∂µϕ*)ϕ – ϕ*(∂µϕ) (8.1.27)
W wierzchołku (b) stoi stała e2. Jaki widać taka postać diagramów odpowiada dwóm częściom lagranżjanu (8.1.24). Człon postaci e2Aµ2 ϕ*ϕ nazywa się po angielsku sea-gull – mewa, bowiem odpowiadający mu diagram Feynmanna (b) przypomina mewę lecącą nad powierzchnią morza.
Na koniec należy zauważyć, że dla pola skalarnego operacja sprzężenia ładunkowego sprowadza się do sprzężenia w sensie zespolonym :
ϕC(x) = ϕ*(x)
Jak widać z równań (8.1.25), przy takiej operacji ładunek elektryczny cząstki zmienia się na przeciwny.
...
Rozpatrzmy teraz przypadek oddziaływania pola EM z innymi polami. Przypadek ten jest interesujący z punktu widzenia dalszego wykładu. Równanie pola EM powinno mieć postać :
∂µ Fµν = ejν (2.26)
gdzie prąd jµ jest utworzony z pól i jest zachowany :
∂µ jµ = 0
Dla zespolonego pola skalarnego mamy kandydata na prąd jµ – wyrażenie (2.18) : jµ(0) = −i (φ*∂µφ − ∂µφ*φ )
Zatem, można byłoby założyć, że (2.26) z jµ = jµ(0) – jest jednym z równań teorii oddziaływania pól zespolonego skalarnego i EM. Przekonamy się jednak, że droga taka nie prowadzi do zadowalających rezultatów.
Równanie (2.26) otrzymujemy wariując względem Aµ działanie :
S =
∫
d4x [ ∂µφ* ∂µφ − m2φ*φ – ¼ Fµν Fµν − jµ(0)Aµ ] (2.27)Obecność ostatniej składowej ( oddziaływania ) prowadzi do modyfikacji nie tylko równania pola EM, ale również i równania pola skalarnego ( ponieważ jµ(0) zależy od φ i φ* ).
Wariując działanie (2.27) względem φ*, otrzymamy równanie :
− ∂µ∂µφ − m2φ + 2ie∂µφAµ + ieφ∂µAµ = 0 (2.28) Sprzężone równanie otrzymujemy wariując względem φ :
− ∂µ∂µφ* − m2φ* − 2ie∂µφ*Aµ + ieφ* ∂µAµ = 0 (2.29) Możemy przekonać się, że prąd jµ(0) nie jest zachowany, jeśli spełnione są (2.28) , (2.29).
Dla czterodywergencji prądu jµ(0) otrzymamy :
∂µ jµ(0) = − i (φ* ∂µ∂µφ – φ∂µ∂µφ* )
Mnożąc (2.28) przez –iφ*, a (2.29) przez iφ, a następnie odejmując otrzymane równania otrzymamy :
∂µ jµ(0) = 2e∂µ(φ*φ Aµ )
Prawa cześć tego równania jest równa zeru dla dowolnych pól, tylko jeśli e = 0 tj. jeśli nie występuje oddziaływanie
( zauważmy, że pole φ oraz jego pierwsza pochodna ∂µφ są dowolne tj. nie sprowadzają się do czegoś prostszego za pomocą równań ruchu (2.28) , (2.29) ). Zatem, prąd jµ(0) nie jest zachowany, co jest oczywiście sprzeczne z równaniem (2.29). W zasadzie można byłoby nałożyć warunek ∂µ(φ*φAµ ) = 0 i zapewnić tym samym zachowanie prądu ( byłoby to analogiczne do nałożenia warunku ∂µAµ = 0 w teorii masywnego pola
wektorowego ). Jednakże warunek ten jest istotnie nieliniowy względem pól i przedstawienie swobodnego pola EM i swobodnego masywnego pola skalarnego w granicy słabych pól nie byłoby możliwe.
Wyjścia z tej sytuacji można byłoby szukać na drodze dodania do prądu jµ(0) składowych wyższego rzędu względem pól. W elektrodynamice z polem skalarnym podejście to jest w miarę prosto zrealizować dodając do jµ(0) składowe postaci Aµφφ* ( tj. podstawiając do równania (2.26) jµ = jµ(0) + const. Aµφφ* ). Wykorzystamy jednak inne podejście , które w sposób prosty uwzględnia własność inwariantności względem cechowania. Jest ono interesujące ponieważ odgrywa ono kluczową rolę przy budowie teorii nieabelowych pól z cechowaniem.
Wymagamy inwariantności lagranżjanu względem przekształceń cechowania pola Aµ i jednocześnie pola φ :
φ(x) → φ’(x) = eiα(x) φ(x) , φ*(x) → φ’*(x) = e–iα(x) φ*(x) (2.30)
Aµ(x) → A’µ(x) = Aµ(x) + (1/e) ∂µα(x) (2.30)
( stała e wprowadzona jest dla wygody dalszych rachunków )
Swobodne działanie pola EM jest inwariantne względem tych przekształceń. Swobodne działanie zespolonego skalarnego pola nie jest inwariantne ( inwariantność zachodzi tylko jeśli α nie zależy od punktu
czasoprzestrzeni ).
Istotnie, rozpatrzmy bowiem pochodną pola φ’(x) :
∂µφ’(x) = eiα(x) [ ∂µφ(x) + i ∂µα(x)φ(x) ] (2.31)
Jeśli nie występowałaby druga składowa mielibyśmy inwariantne wyrażenie ∂µφ* ∂µφ i swobodny lagranżjan byłby inwariantny. Idea polega na tym aby w miejsce zwykłej pochodnej ∂µ φ wykorzystać inny obiekt Dµφ, który sprowadzałby się do ∂µ φ w granicy słabego pola i przekształcał się jednorodnie przy
przekształceniach (2.30) :
( Dµ φ )’ = e–iα(x) Dµ φ (2.32)
Z (2.31) jest jasne, że składowe z ∂µα możemy skompensować, dodając do ∂µα składowe typu φA.
Dochodzimy zatem do wyrażenia :
Dµφ = ∂µφ – ieAµφ = (∂µ – ieAµ ) φ (2.33)
Wielkość tą nazywamy „pochodną kowariantną” pola φ. Sprawdźmy wyrażenie (2.32), otrzymamy : ( Dµφ )’ = ∂µφ’ – ieA’µφ’ = eiα ∂µφ + eiα φi ∂µα − ieAµeiα φ – ie(1/e) ∂µα eiα φ = eiα Dµφ Zatem, zależność (2.32) jest spełniona i (Dµφ)* Dµφ jest inwariantne względem cechowania.
Działanie inwariantne względem przekształceń cechowania (2.30), wybierzemy o postaci :
S =
∫
d4x [ – ¼ Fµν Fµν + ( Dµφ)* Dµφ − m2 φ*φ ] (2.34)( można byłoby jeszcze dodać oddziaływanie własne pola skalarnego VI (φ*φ) ).
Składowe nieliniowe ( potęgi wyższe od dwóch względem pól ) w tym działaniu pojawiają się za sprawą obecności członu Aµφ w Dµφ i mają strukturę Aµφ* ∂µφ oraz AµAµφ* φ.
Wariując działanie (2.34) względem pola Aµ, otrzymamy równanie (2.26) o prądzie : jµ = −i(φ*∂µφ − ∂µφ*φ ) – 2eAµφ*φ
który może być zapisany w jawnie inwariantnej względem cechowania postaci :
jµ = −i[ φ*Dµφ – (Dµφ)*φ ] (2.35)
Zauważmy jeszcze, że jeśli pole φ* przyjąć jako niezależne, to dla niego pochodna kowariantna będzie miała postać :
Dµφ* = (∂µ + ieAµ )φ*
( znak przed wyrażeniem ieAµ podyktowany jest wymogiem (Dµφ*)’ = e-iα Dµφ*, oraz znakiem przekształcenia (2.30) ), co pokrywa się z (Dµ φ* ).
W dalszej kolejności nie będziemy rozróżniali (Dµφ)* i (Dµ φ* ) ( ponieważ są to wyrażenia tożsame ) Znajdziemy teraz równanie pola skalarnego. Wariując, jak zwykle względem φ*, mamy :
DµDµ φ + m2φ = 0 (2.36)
gdzie : DµDµ określone jest całkowicie analogicznie do (2.33) : DµDµφ = (∂µ − ieAµ ) (∂µ − ieAµ ) φ
Sprawdźmy, czy przy uwzględnieniu równania (2.36) prąd (2.35) jest zachowany. Mamy co następuje :
∂µ jµ = – i [ ∂µφ* Dµφ + φ* ∂µDµφ – ( Dµφ)* ∂µφ −∂µDµ φ* φ ] I dalej :
∂µ φ* Dµ φ + φ* ∂µDµφ = ∂µφ* Dµ φ + ieAµφ* Dµφ + φ* ∂µDµφ – ie φ* AµDµ φ = Dµφ* Dµφ + φ* DµDµ φ To oraz analogiczne do niego równania dają :
∂µ jµ = i ( φ* DµDµ φ − DµDµ φ* φ )
Wyrażenie po prawej stronie jest równe zeru na mocy równania pola (2.36) oraz równania do niego sprzężonego.
Prąd jµ jest zatem zachowany i układ równań :
∂µ Fµν = jν (2.37)
DµDµφ + m2φ = 0 (2.38)
jest zgodny wzajemnie.
Zatem, wymaganie inwariantności lagranżjanu względem przekształceń cechowania pól (2.30) prowadzi do zamiany w działaniu, zwykłych pochodnych cząstkowych ∂µφ na pochodne kowariantne Dµφ. Prąd jµ obecny w równaniach pola (2.37) okazuje się przy takiej zamianie automatycznie inwariantny względem przekształceń cechowania i jest zachowany przy uwzględnieniu równań pola (2.38).
Zauważmy, że czasami bywa dogodnie zapisać przekształcenia (2.30) w następującej postaci :
φ(x) → φ’(x) = g(x) φ(x) (2.39)
Aµ (x) → A’µ (x) = Aµ(x) + g(x) ∂µg -1(x) (2.40)
Gdzie : g(x) =eiα(x) , Aµ = –ieAµ
Dogodność takiego zapisu polega na tym, że g(x) w każdym punkcie x można interpretować jako element grupy U(1) – grupy liczb zespolonych, co do modułu równych jeden. Przekształcenie (2.39) wygląda jak przekształcenie pod działaniem reprezentacji podstawowej grupy, a g(x) ∂µg–1(x) przedstawia sobą w każdym punkcie x element algebry Liego tej grupy. Uogólnienie przekształceń (2.39) (2.40) na przypadek innych
( nieabelowych) grup Liego prowadzi do nieabelowym polom cechowania, które będziemy rozpatrywali w rozdziale 4 ( i po nim kolejnych ).
Na zakończenie podkreślmy, że w teorii pól oddziałujących wzajemnie lagranżjany jako składowe zawierają zarówno składowe kwadratowe względem pól, jak i człony wyższych rzędów. Składowe kwadratowe prowadzą do członów liniowych w równaniach polowych, składowe wyższych rzędów do nieliniowych. Ogólne rozwiązania nieliniowych równań polowych zazwyczaj nie jest łatwo znaleźć ( wyjątek stanowią modele całkowalne ), pewne fizycznie interesujące rozwiązania istnienie których całkowicie związane jest z nieliniowością równań, będą rozpatrzone w części drugiej. Sytuacja znacznie się upraszcza, jeśli rozpatrujemy fale o małej amplitudzie w każdym punkcie czasoprzestrzeni. W tym przypadku człony nieliniowe w równaniach pola są małe w porównaniu z członami liniowymi i możemy je zaniedbać. Rozwiązanie linearyzowanych równań, jak już zauważyliśmy w poprzednich podrozdziałach nie jest trudne.
W tej chwili będziemy budowali lagranżjany i skupimy się na małych zaburzeniach. Ich właściwości ( tj.
właściwości małych zaburzeń ) mogą być znalezione ze struktury członów liniowych w równaniach polowych lub, co jest równoważne z kwadratowej części całkowitego lagranżjanu.
W teorii kwantowej małym zaburzeniom pól odpowiadają cząstki ( elementarne). Zatem, badanie fal klasycznych o małej amplitudzie w konkretnym modelu jest jednocześnie badaniem spektrum cząstek elementarnych tego modelu.
...
Klasyczne pola cechowania. Teorie bozonowe - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005 8.3.1 Uwagi ogólne o konstrukcji lagranżjanów pól oddziałujących.
Uwaga 1. Rozpatrując oddziaływanie pól mamy na myśli oddziaływania lokalne tzn. wszystkie pola biorące udział w oddziaływaniu (tj. pola i ich pochodne wchodzące do lagranżajnu – lagranżjany lokalne ) brane są w jednym i tym samym punkcie czasoprzestrzeni. Wszystkie rozpatrywane we współczesnej fizyce lagranżjany są lokalne, wprowadzenie nielokalności prowadzi do znacznych trudności natury teoretycznej, związanych z naruszeniem zasady przyczynowości, istnieniem prędkości nadświetlnych, oraz innych nieprzyjemnych z teoretycznego punktu widzenia konsekwencji.
Uwaga 2. W pierwszym podejściu do klasycznej teorii pola, rozpatrywaliśmy lagranżjany, kwadratowe względem pól tj. rozpatrywaliśmy jedynie człony postaci (φi )2 lub (∂µ φ)2 ϕ.
Wariacja takich lagranżjanów prowadzi do liniowych równań dla pól. Takie pola nazywamy polami swobodnymi lub liniowymi. Rozpatrując oddziaływania pól, pod pojęciem oddziaływania pól rozumiemy składowe w
lagranżjanie stopnia wyższego niż dwa względem pól i odpowiednio, nieliniowe składowe w równaniach pola.
Teoria pól oddziałujących wzajemnie będzie inwariantna względem translacji ( przesunięć ) w przestrzeni i w czasie oraz względem przekształceń Lorentza, jeśli lagranżjan oddziaływania będzie skalarem lorentzowskim, niezależnym w sposób jawny od współrzędnych czasoprzestrzennych.
Najprostszy przykład pojawia się w teorii rzeczywistego pola skalarnego, jeśli w charakterze lagranżjanu oddziaływania wybrać pewną funkcję pola VI(φ), odpowiednio działanie w tym przypadku modyfikowane jest następująco :
S =
∫
d4x [ ½ (∂µφ)2 – V(φ) ]gdzie : V(φ) = ½ (mφ)2 + VI(φ)
Musimy mieć na uwadze, że VI zawiera składowe typu φ3, φ4 itd.
W kwantowej teorii pola pojawiają się istotne fakty (renormalizowalność ), które świadczą, że VI(φ) jest wielomianem i zawiera potęgi nie wyższe od czterech w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, oraz nie wyższe od sześciu w trójwymiarowej czasoprzestrzeni ( w dwu wymiarowej czasoprzestrzeni nie istnieją ograniczenia dotyczące postaci VI(φ) ).
Uwaga 3.Fakt pojawienia się członów nieliniowych świadczy o tym, że rozwiązania równań pola nie spełniają