( Jako wprowadzenie matematyczne zobacz tekst pt. Grypy i algebry Liego ) Wszystkie elementy zbioru Λ↑
+ mogą być sparametryzowane parametrami zmieniającymi się w sposób ciągły:
trzy parametry dla obrotów ortogonalnych i trzy parametry dla pseudo obrotów. Zatem grupa właściwa Lorentza jest to grupa sześcioparametrowa przekształceń ciągłych lub grupą Liego. Oczywiście , że podgrupa obrotów przestrzennych jest również grupą Liego. Dla nieskończenie małych lub infinitezymalnych przekształceń mamy : Λµν = δµν + (Xi )µν δai
gdzie : (Xt )µν - jest generatorem grupy, δai – jest małą zmianą parametrów ai . i = 1...6
Jak się okazuje grupa Lorentza ma bardzo ciekawe reprezentacje spinorowe (unitarne ), których klasyfikacja stanowi punkt wyjścia dla relatywistycznych teorii pól kwantowych.
Podstawowym faktem na którym opiera się formalizm spinorowy w fizyce jest lokalny izomorfizm właściwej grupy Lorentza i grupy SL(2, C ) – unimodularnych macierzy zespolonych 2 × 2 ( tj. macierzy o wyznaczniku równym 1 ).
Mówiąc ściśle, grupa SL(2, C ) jest dwukrotnie nakrywającą grupą dla grupy Lorentza O(1, 3).
Ogólny schemat zależności grupowo, algebraicznych wynikający dla przekształceń Lorentza.
Przekształcenia Lorentza ( Poincarego ) → Grupa Lorentza (Poincarego ) SO(3, 1 ) → dekompozycje grupy Lorentza → grupa przekształceń właściwych Lorentza → pojęcie ciągłości ( ogólnie topologii na grupie ) →
→ algebra Liego grupy Lorentza so(3, 1 ) – operatory infinitezymalne i generatory grupy, operatory Casmira →
→ grupy nakrywające ( uniwersalna grupa nakrywająca ) SU(2) ⇔ SO(3) ; SO(3,1 ) ⇔ SL(2, C) → reprezentacje grup – reprezentacje nieredukowalne – grupa SU(2) – izomorfizmy i homomorfizmy dla grup SO(3, 1 ), SL(2, C) i SU(2) → klasyfikacja Wignera oparta na reprezentacji – reprezentacja wektorowa, tensorowa i spinorowa grupy Lorentza → równania Diraca jako konsekwencja reprezentacji spinorowej → spinory – spinory Diraca, Weyla, Majorany.
Grupa SL(2, C) jest lokalnie izomorficzna z grupą właściwych przekształceń Lorentza. Globalnie te grupy są homomorficzne. Zatem możemy zapisać :
sl(2, C ) ≈ o( 3, 1 ) tj. ma miejsce również izomorfizm algebr Liego Grupy SU(2) i SO(3) są lokalnie izomorficzne.
Lokalnie SL(2, C) ≅ SU(2) ⊗ SU(2)
Generatory grupy SL(2, C ) ≅ generatory obrotów i pchnięć.
Za pomocą operatorów Casimira możemy numerować reprezentacje nieredukowalne danej grupy.
Grupa SL(2, C) ma dwa operatory Casimira – istnieją dwie 2-wymiarowe nierównoważne reprezentacje tej grupy, oznaczamy je standardowo :
( ½ , 0 ) i ( 0, ½ )
Z powyższego faktu wynika obecność tzw. spinorów kropkowanych i niekropkowanych. Z takich spinorów zbudowane są np. spinory Diraca – bispinory.
Generatory grupy Liego
Jak już wiemy dla grup Liego wprowadza się pojecie generatora danej grupy G ( o składowych gik(α) ) :
Ij = ( ∂gik /∂αj )αi = 0 (D3.1.4)
Często wprowadza się również (lub zamiast ) infinitezymalny operator hermitowski : Jk = i Ik ≡ i ( ∂gik /∂αj )αi = 0 ; i – jednostka urojona
Dowolne przekształcenie infinitezymalne możemy zapisać z użyciem takich generatorów : G(δα) = 1 + Ij (δα) lub G(δα) = 1 + i Ij (δα) ; δα – nieskończenie mały parametr.
Przekształcenie skończone o parametrze α możemy złożyć z nieskończenie wielu następujących po sobie transformacji infinitezymalnych o parametrze δα = α/N , N →∞ :
G(α) = lim ( 1 + i I(α/N) )N = eiαI N→∞
Jeżeli grupa opisana jest wieloma niezależnymi parametrami αr , to posiada ona tyleż samo generatorów Ir , a skończone przekształcenie przyjmuje postać :
G(αr ) = ei Σr Ir Wielkość : n
Xr ≡
Σ
(∂xµ /∂αr ) | αr = 0 ∂/∂xµ (D3.1.5) µ=0nazywamy operatorem infinitezymalnym danej grupy Liego zależnej od αr parametrów. ( często nazywamy ja również generatorem grupy G )
Operatory hermitowskie spełniają warunek : [ Jx, Jy ] = i εxyz Jz ; gdzie εxyz - symbol Leviego-Civity Symbol : [ , ] – jest to komutator [ Jx , Jy ] ≡ Jx Jy − Jy Jx ; oczywiście x, y, z = 1, 2, 3
Oczywiście, aby otrzymać operatory hermitowskie należy powyższe macierze przemnożyć przez i.
Uwaga. Konkretny symbol dla oznaczenia powyższych komutatorów może być inny np. Ji.
Infinitezymalne obroty możemy zadać następująco : Rx(δθ) = 1 + i Sx(δθ), Rx(θ) = ei Jxθ Ry(δθ) = 1 + i Sy(δθ), Ry(θ) = ei Jyθ Rz(δθ) = 1 + i Sz(δθ), Rz(θ) = ei Jzθ ( oczywiście Sx ≡ Jx ... )
Mamy następujące relacje komutacyjne :
[ Jx , Jy ] = i Jz , [ Jy , Jz ] = i Jx , [ Jz , Jx ] = i Jy (D3.1.6) Zależności te z dokładnością do czynnika ħ pokrywają się z regułami komutacyjnymi dla operatorów składowych momentu pędu w mechanice kwantowej.
A tak możemy uzyskać „z powrotem” macierz Rz(θ) korzystając z jej generatora :
Generatory pchnięć mają postać :
K1= ( ∂Λx(ψ)/∂ψ ) |ψ=0 = -i ( 0 1 0 0 ) ( 1 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 )
K2 = ( ∂Λy(ψ)/∂ψ ) |ψ=0 = -i ( 0 0 1 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 1 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) K3 = ( ∂Λz(ψ)/∂ψ ) |ψ=0 = -i ( 0 0 0 1 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 1 0 0 0 )
Generatory Si są generatorami „czystych” obrotów, generatory Ki są generatorami pchnięć- boostów.
Można pokazać, że spełniają one następujące zależności :
[ Ki , Kj ] = - εijk Sk (D3.1.7a,b,c)
[ Si , Sj ] = εijk Sk [ Si , Kj ] = εijk Kk
( Uwaga. zamiast oznaczenia S spotkać możemy oznaczenie I lub J ) Wraz z generatorami J, K wygodnie jest zdefiniować operatory : Ai = ½ ( Ji + iKi ) , Bk = ½ ( Ji − iKi ) , i = 1, 2, 3
Relacje komutacyjne przyjmują teraz postać : [ Ai , Ak ] = i εikj Aj
[ Bi , Bk ] = i εikj Bj [ Ai , Bk ] = 0
Ogólnie możemy powiedzieć, że badanie danej grupy można sprowadzić do badania jej generatorów, a struktura danej grupy będzie zbadana, jeśli zbadamy relacje komutacyjne zachodzące między jej generatorami.
Zamiast wyrażeń macierzowych J, K wielokrotnie dogodnie jest wprowadzić te wielkości w postaci operatorów różniczkowych (infinitezymalnych) , typu (D3.1.5). Postać takich operatorów dla macierzy obrotów jest następująca ( zobacz również wzór (D3.1.8) ) :
Jx = -i ( y ∂/∂z – z ∂/∂y ) Jy = -i ( z ∂/∂x – x ∂/∂z ) Jz = -i ( x ∂/∂y – y ∂/∂x )
Operatory infinitezymalne pchnięć, mają postać : Kx = i ( t ∂/∂x – x ∂/∂t )
Ky = i ( t ∂/∂y – y ∂/∂t ) Kz = i ( t ∂/∂z – z ∂/∂t )
( relacje komutacyjne tych operatorów są takie same jak dla generatorów )
Z teorii grup wynika, że we wszystkich reprezentacjach danej grupy generatory spełniają te same relacje komutacyjne Różne reprezentacje numerowane są wartościami własnymi niezmienników w danej grupie, utworzonymi z ich generatorów. Takie niezmienniki nazywa się operatorami Casimira. Najważniejszą ich własnością jest komutowanie z każdym elementem grupy, z czego wynika, że muszą one być proporcjonalne do jedności grupowej.
W przypadku grupy obrotów operatorem Casimira jest suma kwadratów generatorów, czyli operator kwadratu momentu pędu :
I2 = I12 + I22 + I32
Wartości własne kwadratu momentu pędu, jak wiadomo z mechaniki kwantowej wynoszą j(j + 1 )ħ, gdzie j – to liczba kwantowa, która może przyjmować wartości ½ , 1, 3/2, 2, ....
Zatem, różne reprezentacje możemy numerować dyskretną liczbą j – wartością własną operatora Casimira. Grupa obrotów posiada, więc nieskończenie wiele unitarnych reprezentacji skończenie wymiarowych.
Operatorami infinitezymalnymi i hermitowskimi grupy obrotów, spełniającymi relacje (D3.1.6) są wielkości :
Xmn = – i (xm∂n− xn ∂m ) (D3.1.8)
Operatory infinitezymalne grupy Lorentza.
W szczególności operatorami inifinitezymalnymi grupy Lorentza są operatory o postaci : Lµν = i (xµ∂ν− xν ∂µ ) ; µ, ν = 0, 1, 2, 3
Z których tylko 6 jest niezależnych : L01 , L02 , L03 , L12 , L23 , L31.
Operatory te spełniają następujące relacje komutacyjne : [ Lµν , Lρσ ] = i ηνρLµσ - i ηµρLνσ - i ηνσLµρ + i ηµσLνρ
( Uwaga. często zastępuje się elementy metryki Minkowskiego ηµν ogólniejszą metryką Riemanna gµν ) Lµν≡ Mµν = ( 0 K1 K2 K3 )
( -K1 0 -J3 J2 ) ( -K2 J3 0 -J1 ) ( -K3 -J2 J1 0 ) lub: M0i = Ki , Mij = – εijk Jk
Z sześciu niezależnych generatorów Mµν daje się skonstruować dwa zestawy niezależnych operatorów Nk, oraz N+k , k = 1, 2, 3.
Są one sprzężone względem siebie po hermitowsku i spełniają jednakowe warunki komutacyjne postaci [ Jx , Jy ] = i εxyz Jz tj. :
[ Nm , N+ k ] = 0 [ Nm , Nk ] = i εmkn Nn [ N+m , N+
k ] = i εmkn N+ k
Zależności te definiują algebrę Liego grupy Lorentza.
W skład generatorów grupy Poincarego wchodzi 6 operatorów infinitezymalnych grupy Lorentza Lµν , oraz dodatkowo 4 generatory translacji :
Pµ = – i∂µ
Operatory te komutują ze sobą, tj. : [ Pµ, Pν ] = 0
oraz spełniają zależność : [ Lµν , Pρ ] = iηµρPν + iηνρ Pµ
Pełna algebra grupy Poincarego ma, zatem postać : [ Lµν , Lρσ ] = iηνρLµσ – iηµρLνσ – iηνσLµρ + iηµσLνρ [ Lµν , Pρ ] = iηµρPν + iηνρ Pµ
[ Pµ , Pν ] = 0
Grupa Poincarego posiada dwa operatory Casimira ( operatory W2 i P2 komutują z generatorami grupy Poincarego ) :
C1 = − Pµ Pµ C2 = Wµ Wµ Gdzie :
Wµ = ½ εµνλσ Lνλ Pσ - wektor Pauliego-Lubańskiego Można pokazać, że :
Wµ Pµ = 0 , [ Wµ, Pν ] = 0
W2 = – ½ Mµν Mµν P2 + Mµσ Mνσ Pµ Pν [ Lµν , Wσ ] = i ( gνσWµ – gµσWν ) [ Wµ , Wν ] = − i εµνσρ Wσ Pρ Reprezentacje grupy Poincarego
Teoria reprezentacji grupy Poincarego została opracowana przez Wignera.
Jej reprezentacje dzielą się na trzy klasy.
1. Wartość własna operatora PµPµ ≡ m2 jest liczbą dodatnią i rzeczywistą. Wtedy wartość własna operatora WµWµ jest równa –m2s(s + 1), gdzie s – spin s = 0, ½ , 1, ....
Takie reprezentacje indukowane są poprzez masę m i spin s.
Stany wewnątrz tej reprezentacji rozróżniane są poprzez trzy składowe spinu s3 = -s, -s + 1, ... , s – 1 , jak również poprzez ciągłe wartości Pi. Fizycznie taki stan odpowiada cząstce o masie m i spinie s, trójwymiarowym pędem pi i rzutem spinu s3. Masywne cząstki o spinie s mają 2s + 1 stopni swobody.
2. Wartość własna operatora PµPµ jest równa zeru, co odpowiada cząstce o zerowej masie spoczynkowej.
Przy tym wartość własna operatora WµWµ jest również równa zero, a ponieważ PµWµ = 0 to operatory Wµ i Pµ są proporcjonalne.
Współczynnik proporcjonalności nazywa się skrętnością i jest on równy ± s, gdzie s = 0, ½ , 1, 3/2 , ... – jest spinem reprezentacji.
Zatem, cząstki bezmasowe o spinie s ≠ 0 posiadają dwa stopnie swobody. Dodatkowo są one rozróżniane poprzez trzy wartości ich pędu wzdłuż osi x, y, z.
Przykładem cząstek, podpadających pod tę kategorie jest foton o spinie 1 i dwoma stanami o skrętności ± 1 neutrino o skrętności ± ½ i grawiton o dwóch stanach polaryzacyjnych ± 2.
3. PµPµ = 0, ale spin przyjmuje wartości ciągłe. Długość wektora W jest równa minus kwadratowi pewnej liczby dodatniej. Taki tym reprezentacji opisuje cząstki o zerowej masie spoczynkowej i o nieskończonej liczbie stanów polaryzacji, indukowanych przez zmienną ciągłą. Jak się wydaje takie reprezentacje nie są realizowane w przyrodzie.
Istnieją również reprezentacje „tachionowe” o PµPµ < 0, których zazwyczaj nie rozpatrujemy.
Zatem mamy cztery różne reprezentacje grupy Poincarego (w zależności od wartości własnej PµPµ, którą nazywamy masą i wartości własnej WµWµ, którą nazywamy spinem s – operator wewnętrznego momentu pędu )
1) m2 > 0, s = 0, ½, 1, 3/2, 2 ,... (cząstki masowe np. elektron, proton ) 2) m2 = 0, h = ±s (skrętność ) (cząstki bezmasowe np. foton )
1) m2 > 0, s dowolne i ciągłe (nie znaleziono takich cząstek ) 1) m2 < 0, s dowolne i ciągłe (nie znaleziono takich cząstek ) (0, 0 ) – reperzenatcja skalarna
(0, ½ ) , ( ½, 0 ) – reprezentacje spinorowe – spinory Weyla (dolny i górny ) (reprezentacje dwóspójna ! ) ( ½ , ½ ) – reprezentacja wektorowa
(1, 1 ) – reprezentacja tensorowa
( ogólnie jeśli obie liczby są jednocześnie całkowite lub jednocześnie ułamkowe mamy do czynienie z reprezentacją tensorową, w szczególności skalarna lub wektorową )
Oprócz takich reprezentacji możemy rozważać reprezentacje będące ich iloczynem prostym np. iloczyn prosty reprezentacji wektorowej ( ½, ½ ) i reprezentacji Diraca :
( ½, ½ ) ⊗[ ( ½, 0 ) ⊕ ( 0, ½ )] = ( ½, 1 ) ⊕ ( ½, 0 ) ⊗ ( 1, ½ ) ⊕ ( 0, ½ )
Na taka reprezentacje możemy narzucić warunek więzu, żądając by γµψν = 0, co „izoluje” reprezentacje ( 1, ½ ) ⊕ ( 1, ½ ), która opisuje cząstki o spinie 3/2, odpowiednie równanie nazywa się równaniem Rarity-Schwingera.
Można pokazać, że reprezentacje o spinie s = 0, ½ ,1, 3/2, ... mają wymiar 2s + 1 (co wynika z opisu reprezentacji unitarnych SU(2)). Zatem równania opisujące cząstki o spinie s maja odpowiednio 2s + 1 składowych tj. liczbę niezależnych funkcji potrzebnych do opisu rozwiązań równań ruchu.
Zatem jeżeli chcemy opisać cząstkę o spinie 0 potrzebujemy 1 pole – pole skalarne.
Należy jednakże mieć na uwadze fakt, że wymiar reprezentacji i liczba stopni swobody nie zawsze pokrywają się.
Liczba stopni swobody to liczba funkcji opisujących pole po rozwiązani równań ruchu i narzuceniu odpowiednich więzów. Doskonale widać to w przypadku pola wektorowego o spinie 1. Pole ma w tym przypadku 4 składowe, ale stopni swobody jest tylko 3 – narzucamy więzy cechowania Lorentza.
Zatem :
Spin 0 - rzeczywiste pole skalarne - 1 składowa pola, 1 stopień swobody Spin 1 - pole wektorowe - 4 składowa pola, 3 stopnie swobody
Spin ½ - pole spinorowe (spinor Majorany ) – 4 składowe rzeczywiste, 2 stopnie swobody Spin 3/2 – bispinor – 16 składowych rzeczywistych – 4 stopnie swobody
Spin 2 – tensor symetryczny – 10 składowych , 5 stopni swobody
Podsumowanie.
Grupa Lorentza jest sześcio- parametrową grupą Liego, na której możemy wprowadzić współrzędne lokalne za pomocą macierzy antysymetrycznych 4 × 4 θ ≡ (θλµ ) = ( –θµλ ) według wzoru :
Λ = exp( ½ Lλµ θλµ ) (D2.1.9)
gdzie : Lλµ = – Lµλ – operatory liniowe działające w przestrzeni M ( operatory infinitezymalnych obrotów lorentzowskich ) :
( Lλµ )αβ = – gλα δµβ + gµα δλβ (D2.1.10)
Można się przekonać, że operatory te spełniają następujące zależności komutacyjne :
[ Lλµ , Lρσ ] = gλρ Lµσ − gµρ Lλσ + gµσ Lλσ − gλσ Lµρ (D2.1.11) Reprezentacje ( skończenie wymiarowe i liniowe ) spójnych grup Liego możemy badać metodami algebraicznymi.
Jeśli T jest reprezentacją L↑
+ ( a grupa ta jest spójna, ale nie zwarta ) w przestrzeni ℵ ( w KTP będzie to przestrzeń Hilberta ), to w pewnym otoczeniu jedności grupowej ( gdzie elementy grupy mają postać (D2.1.9) ) T(Λ) zapisuje się w postaci :
T(Λ) = exp( ½Xλµ θλµ ) (D2.1.12)
gdzie : Xλµ = – Xµλ – operatory liniowe działające w przestrzeni ℵ, nazywane generatorami reprezentacji T.
Wielkości Xλµ spełniają zależności komutacyjne algebry Liego :
[ Xλµ , Xρσ ] = – i( gλρ Xµσ − gµρXλσ + gµσXλσ − gλσ Xµρ ) (D2.1.13) Zazwyczaj jeśli mowa o reprezentacji grupy Lorentza mamy na myśli reprezentacje unitarną. W tym kontekście warto zauważyć, że grupa Lorentza nie posiada skończenie wymiarowych reprezentacji unitarnych
( oprócz reprezentacji trywialnej jednostkowej T(Λ) ≡ 1 ) Każda reprezentacja grupy L↑
+ określa reprezentacje jej algebry Liego £. Tym samym zbudowanie reprezentacji grupy L↑
+ mogłoby być całkowicie sprowadzone do zagadnienia algebraicznego, jeśli tylko każdej reprezentacji algebry Liego £ odpowiadałaby reprezentacja grupy L↑
+ . Jednakże sytuacja jest bardziej skomplikowana.
Problem polega na tym, że jeśli według zadanych operatorów Xαβ ( spełniających zależność (D2.1.13) ) zbudujemy ( według wzoru (D2.1.12) ) operatory T(Λ) dla Λ w otoczeniu jedności, to otrzymalibyśmy tzw.
lokalną reprezentacje grupy L↑
+. Naturalnym jest spróbować rozszerzyć taką reprezentacje na całą grupę, wykorzystując wzór :
T( Λ1Λ2 ) = T(Λ1) T(Λ2)
w charakterze definicji takiego rozszerzenia. W niektórych przypadkach rzeczywiście otrzymujemy w wyniku takiej procedury reprezentacje grupy L↑
+. W innych przypadkach T(Λ) okazuje się zdefiniowana niejednoznacznie ( takie nieprzywiedlne reprezentacje algebry Liego nazywają się niecałkowalnymi do reprezentacji całej grupy ).
W tych przypadkach otrzymujemy tzw. dwuznaczną reprezentacje grupy L↑
+. ( dla grupy obrotów w
trójwymiarowej przestrzeni sytuacja jest całkowicie analogiczna ). Reprezentacje dwuznaczne odgrywają jednak ważną rolę w KTP, dlatego też warto dokładnie się im przyjrzeć.
Okazuje się, że przyczyną takiej sytuacji dla grupy L↑
+ jest jej nie jednospójność, dokładniej jej dwuspójność.
Wspomniana trudność nie pojawiłaby się, jeśliby od samego początku zamienić grupę L↑
+ na grupę jednospójną, zbudowaną w otoczeniu jedności tak samo jak grupa L↑
+ tj. lokalnie izomorficzną do niej. Okazuje się dalej, że dla dowolnej spójnej grupy Liego G istnieje ( jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu ) jednospójna grupa G^, lokalnie izomorficzna grupie G. Taka grupa nazywa się uniwersalną grupą nakrywającą grupę G.
Uniwersalną grupę nakrywającą L↑
+ możemy zbudować w następujący sposób.
Grupa L↑
+ posiada dwuwymiarową zespoloną reprezentacje. Macierze takiej „reprezentacji” tworzą grupę SL(2, C) ( grupę macierzy zespolonych 2 × 2 o wyznaczniku równym 1 )
Na podstawie :
Ogólne zasady kwantowej teorii pola” – N. N. Bogolubow, A. A. Logunow, A. I. Oksak, I. T. Todorow ; Fizmatlit 2005 od str. 134, książka po rosyjsku )