167
4.8. Kalkulacja składek netto w ubezpieczeniach na życie płatnych okresowo
4.8. Kalkulacja składek netto…
Składka netto jest ceną za całą ochronę ubezpieczeniową, którą ubezpieczający dokonuje w formie rocznych płatności w okresie ubezpieczenia. Składki netto (SN) mogą być opłacane okresowo przez cały okres ubezpieczenia lub przez założoną z góry liczbę lat. Zakłada się równoważność wartości składek (obliczonych za pomocą rachunku rent) i wartości świadczeń [wzory (4.8.1) – (4.8.8)].
Dożywotnie ubezpieczenie na życie (whole life insurance)
Składka netto dla osoby w wieku x lat płatna z góry rocznie przez cały okres ubezpieczenia za świadczenie w wysokości 1 j.p. wypłacane na koniec roku, w którym nastąpiła śmierć (z dołu):
P x = __ A a ¨ xx = ___ M N xx . (4.8.1) Składka netto dla osoby w wieku x lat płatna z góry przez k lat ubezpieczenia za świadczenie w wysokości 1 j.p. wypłacane na koniec roku, w którym nastąpiła śmierć (z dołu):
k P x = A x ____ a ¨
x:k = _______ N M x
x − N x+k . (4.8.2) Ze wzoru (4.8.1) można obliczyć składki dla osoby w dowolnym wieku, korzystając z wybranych tablic trwania życia (wykres 4.6).
4. Finansowe i aktuarialne zasady obliczania składek…
168
13 Legenda: M – mężczyzna, K – kobieta, U – ubezpieczony, tj. osoba, dla której wykonano obliczenia na podstawie łącznych tablic trwania życia 2018.
W obliczeniach przyjęto: suma ubezpieczenia = 1j.p., techniczna stopa procentowa = 1.98 proc. (to wartość maksymalnej stopy procentowej obowiązującej od 1 maja 2019 r. do 30 kwietnia 2020 r.).
Wykres 4.6. Składka netto w dożywotnim ubezpieczeniu na życie według płci (na podstawie polskich tablic trwaniażycia z 2018 r.)
Źródło: Opracowanie własne, na podstawie: Główny Urząd Statystyczny, Tablice trwania życia 1990–2018, https://stat.gov.pl/obszary-tematyczne/ludnosc/trwanie-zycia/trwanie-zycia-tablice,1,1.html [dostęp: 2020.01.21].
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16
0 20 60 80
Składka netto dla sumy ubezpieczenia w wysokości 1 j.p.
40
Wiek x [w latach] M K U
Legenda: M – mężczyzna, K – kobieta, U – ubezpieczony, tj. osoba, dla której wykonano obliczenia na podstawie łącznych tablic trwania życia 2018.
W obliczeniach przyjęto: suma ubezpieczenia = 1 j.p., techniczna stopa procentowa = 1,98 proc. (to wartość maksymalnej stopy procentowej obowiązującej od 1 maja 2019 r. do 30 kwietnia 2020 r.).
Wykres 4.6. Składka netto w dożywotnim ubezpieczeniu na życie według płci (na pod-stawie polskich tablic trwania życia z 2018 r.)
Źródło: opracowanie własne na podstawie: Główny Urząd Statystyczny, Tablice trwania życia 1990–2018, https://stat.gov.pl/obszary-tematyczne/ludnosc/trwanie-zycia/trwanie-zycia-ta-blice,1,1.html [dostęp: 21.01.2020].
Wykres 4.6 przedstawia składkę netto w dożywotnim ubezpieczeniu na życie z sumą ubezpieczenia w wysokości 1 j.p. wypłacaną na koniec roku, w którym nastąpiła śmierć. Składka netto obliczona została jako wartość obecna przyszłej płatności w wysokości 1 j.p. zdyskontowanej na moment zawarcia umowy ubez-pieczenia i podzielonej przez wartość obecną renty życiowej z tytułu corocznych płatności. Składka netto mężczyzn (kolor czerwony) jest wyższa za to samo świadczenie niż kobiety (kolor niebieski) w tym samym wieku, ze względu na większe prawdopodobieństwo śmierci niż u kobiet w tym samym wieku.
4.8. Kalkulacja składek netto…
169 Terminowe ubezpieczenie na życie (n-year term insurance)
Składka netto dla osoby w wieku x lat płatna z góry, rocznie przez cały okres ubezpieczenia:
P x:n1 = ____ A ä x:n1
x:n = M ________ N xx − M − N x+nx+n . (4.8.3) Składka netto dla osoby w wieku x lat płatna z góry rocznie przez k lat ubezpieczenia:
k P 1x:n = ____ A ä x:n1
x:k = M ________ N xx − M − N x+kx+n . (4.8.4) Ze wzoru (4.8.3) można obliczyć składki dla osoby w dowolnym wieku, korzystając z określonych tablic trwania życia (wykres 4.7).
14 Legenda: M – mężczyzna, K – kobieta, U – ubezpieczony, tj. osoba, dla której wykonano obliczenia na podstawie łącznych tablic trwania życia 2018.
W obliczeniach przyjęto: suma ubezpieczenia = 1j.p., techniczna stopa procentowa = 1.98 proc. (to wartość maksymalnej stopy procentowej obowiązującej od 1 maja 2019 r. do 30 kwietnia 2020 r.).
Wykres 4.7. Składka netto w dwudziestoletnim ubezpieczeniu na życie według płci (na podstawie polskich tablic trwaniażycia z 2018 r.)
Źródło: Opracowanie własne, na podstawie: Główny Urząd Statystyczny, Tablice trwania życia 1990–2018, https://stat.gov.pl/obszary-tematyczne/ludnosc/trwanie-zycia/trwanie-zycia-tablice,1,1.html [dostęp: 2020.01.21].
Składka netto dla sumy ubezpieczenia w wysokości 1 j.p.
40
Wiek x [w latach] M K U
Legenda: M – mężczyzna, K – kobieta, U – ubezpieczony, tj. osoba, dla której wykonano obliczenia na podstawie łącznych tablic trwania życia 2018.
W obliczeniach przyjęto: suma ubezpieczenia = 1 j.p., techniczna stopa procentowa = 1,98 proc. (to wartość maksymalnej stopy procentowej obowiązującej od 1 maja 2019 r. do 30 kwietnia 2020 r.).
Wykres 4.7. Składka netto w dwudziestoletnim ubezpieczeniu na życie według płci (na podstawie polskich tablic trwania życia z 2018 r.)
Źródło: opracowanie własne na podstawie: Główny Urząd Statystyczny, Tablice trwania życia 1990–2018, https://stat.gov.pl/obszary-tematyczne/ludnosc/trwanie-zycia/trwanie-zycia-ta-blice,1,1.html [dostęp: 21.01.2020].
4. Finansowe i aktuarialne zasady obliczania składek…
170
Wykres 4.7 przedstawia składkę netto w terminowym, dwudziestoletnim ubezpieczeniu na życie z sumą ubezpieczenia w wysokości 1 j.p. wypłacaną na koniec roku, w którym nastąpi śmierć. Składka netto mężczyzn (kolor czerwony) jest wyższa za to samo świadczenie niż kobiety (kolor niebieski) w tym samym wieku, ze względu na większe prawdopodobieństwo śmierci mężczyzn niż u kobiet w tym samym wieku. Składka netto w terminowym, dwudziestoletnim ubezpieczeniu na życie jest niższa niż w dożywotnim ubezpieczeniu na życie (por.
wykres 4.6 i 4.7), gdyż w pierwszym z nich wypłata świadczenia nie nastąpi, jeżeli ubezpieczony dożyje końca okresu ochrony. W dożywotnim (bezterminowym) ubezpieczeniu na życie zakład ubezpieczeń na pewno wypłaci świadczenie, o ile nie wystąpią zdarzenia, które spowodują wyłączenie odpowiedzialności zakładu ubezpieczeń. Składka netto w terminowym ubezpieczeniu na życie rośnie wraz z wiekiem ubezpieczonego, gdyż wraz z wiekiem rośnie prawdopodobieństwo zgonu determinujące wysokość składki.
Terminowe ubezpieczenie na dożycie (n-year pure endowment)
Składka netto dla osoby w wieku x lat płatna z góry, rocznie przez cały okres ubezpieczenia:
P x:n 1 = ____ A ä x:n
x:n = ________ N x D − N x+nx+n . (4.8.5) Składka netto dla osoby w wieku x lat płatna z góry rocznie przez k lat ubezpieczenia:
k P x:n 1 = A ____ ä x:n
x:k = _______ N x D − N x+nx+k . (4.8.6) Ze wzoru (4.8.5) można obliczyć składki dla osoby w dowolnym wieku, korzystając z określonych tablic trwania życia (wykres 4.8).
1
1
4.8. Kalkulacja składek netto…
171
15 Legenda: M – mężczyzna, K – kobieta, U – ubezpieczony, tj. osoba, dla której wykonano obliczenia na podstawie łącznych tablic trwania życia 2018.
W obliczeniach przyjęto: suma ubezpieczenia = 1j.p., techniczna stopa procentowa = 1.98 proc. (to wartość maksymalnej stopy procentowej obowiązującej od 1 maja 2019 r. do 30 kwietnia 2020 r.).
Wykres 4.8. Składka netto w terminowym ubezpieczeniu na dożycie według płci (na podstawie polskich tablic trwaniażycia z 2018 r.)
Źródło: Opracowanie własne, na podstawie: Główny Urząd Statystyczny, Tablice trwania życia 1990–2018, https://stat.gov.pl/obszary-tematyczne/ludnosc/trwanie-zycia/trwanie-zycia-tablice,1,1.html [dostęp: 2020.01.21].
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
0 20 60 80
Składka netto dla sumy ubezpieczenia w wysokości 1 j.p.
40
Wiek x [w latach] M K U
Legenda: M – mężczyzna, K – kobieta, U – ubezpieczony, tj. osoba, dla której wykonano obliczenia na podstawie łącznych tablic trwania życia 2018.
W obliczeniach przyjęto: suma ubezpieczenia = 1 j.p., techniczna stopa procentowa = 1,98 proc. (to wartość maksymalnej stopy procentowej obowiązującej od 1 maja 2019 r. do 30 kwietnia 2020 r.).
Wykres 4.8. Składka netto w terminowym ubezpieczeniu na dożycie według płci (na pod-stawie polskich tablic trwania życia z 2018 r.)
Źródło: opracowanie własne na podstawie: Główny Urząd Statystyczny, Tablice trwania życia 1990–2018, https://stat.gov.pl/obszary-tematyczne/ludnosc/trwanie-zycia/trwanie-zycia-ta-blice,1,1.html [dostęp: 21.01.2020].
Wykres 4.8 przedstawia składkę netto w terminowym ubezpieczaniu na dożycie z sumą ubezpieczenia w wysokości 1 j.p. wypłacaną na koniec roku, w którym nastąpiła śmierć. Mężczyźni (kolor czerwony) powinni płacić mniej za świadczenie niż kobiety (kolor niebieski) w tym samym wieku. Powodem jest wyższe prawdopodobieństwo śmierci u mężczyzn niż u kobiet w tym samym wieku (a tym samym mniejsze prawdopodobieństwo wypłaty świadczenia).
Składka netto maleje wraz z wiekiem, gdyż maleje prawdopodobieństwo wypłaty świadczenia.
4. Finansowe i aktuarialne zasady obliczania składek…
172
n-letnie ubezpieczenie na życie i dożycie (n-year endowment)
Składka netto dla osoby w wieku x lat płatna z góry, rocznie przez cały okres ubezpieczenia:
P x:n = ___ A a ¨ x:nx:n = M x − M N x − N x+n + D x+n x+n _____________ . (4.8.7) Składka netto dla osoby w wieku x lat płatna z góry rocznie przez k lat ubezpieczenia:
k P x:n = ___ A a ¨ x:n
x:k = M x − M N x − N x+n + D x+k x+n _____________ . (4.8.8) Ze wzoru (4.8.7) można obliczyć składki dla osoby w dowolnym wieku, korzystając z wybranych tablic trwania życia (wykres 4.9).
16 Legenda: M – mężczyzna, K – kobieta, U – ubezpieczony, tj. osoba dla której wykonano obliczenia na podstawie łącznych tablic trwania życia 2018.
W obliczeniach przyjęto: suma ubezpieczenia = 1j.p., techniczna stopa procentowa = 1.98 proc. (to wartość maksymalnej stopy procentowej obowiązującej od 1 maja 2019 r. do 30 kwietnia 2020 r.).
Wykres 4.9. Składka przypisana netto w terminowym ubezpieczeniu na życie i dożycie według płci (na podstawie polskich tablic trwaniażycia z 2018 r.)
Źródło: Opracowanie własne, na podstawie: Główny Urząd Statystyczny, Tablice trwania życia 1990–2018, https://stat.gov.pl/obszary-tematyczne/ludnosc/trwanie-zycia/trwanie-zycia-tablice,1,1.html [dostęp: 2020.01.21].
Składka netto dla sumy ubezpieczenia w wwwysokości 1 j.p.
40
Wiek x [w latach] M K U
Legenda: M – mężczyzna, K – kobieta, U – ubezpieczony, tj. osoba dla której wykonano obliczenia na podstawie łącznych tablic trwania życia 2018.
W obliczeniach przyjęto: suma ubezpieczenia = 1 j.p., techniczna stopa procentowa = 1,98 proc. (to wartość maksymalnej stopy procentowej obowiązującej od 1 maja 2019 r. do 30 kwietnia 2020 r.).
Wykres 4.9. Składka przypisana netto w terminowym ubezpieczeniu na życie i dożycie według płci (na podstawie polskich tablic trwania życia z 2018 r.)
Źródło: opracowanie własne na podstawie: Główny Urząd Statystyczny, Tablice trwania życia 1990–2018, https://stat.gov.pl/obszary-tematyczne/ludnosc/trwanie-zycia/trwanie-zycia-ta-blice,1,1.html [dostęp: 21.01.2020].