4.1. Tablice trwania życia i ich rola
Składka (premium) jest to cena, jaką ubezpieczający płaci zakładowi ubezpieczeń za ochronę ubezpieczeniową. Można wyróżnić dwa rodzaje składek – netto i brutto. Składka netto to składka czysta (tzw. składka za ryzyko – risk premium), jej celem jest wyłącznie pokrycie roszczeń (odszkodowań i świadczeń) z tytułu umowy ubezpieczenia. Suma składek netto, jak podkreśla J. Monkiewicz301, tworzy fundusz ubezpieczeniowy przeznaczony na wypłatę świadczeń i odszkodowań.
Z kolei składka brutto to suma składki netto i różnego rodzaju kosztów, które zostają doliczone do ostatecznej ceny produktu i uwzględniają różnorodne korekty, np. inflacyjne, reasekuracyjne oraz z tytułu zysków inwestycyjnych.
Mogą to być między innymi: narzuty bezpieczeństwa (tzw. dodatki na ryzyko), koszty administracji i akwizycji, dodatki na działalność prewencyjną czy też dodatek na zysk zakładu ubezpieczeń.
301 J. Monkiewicz, Podstawy techniczne działalności ubezpieczeniowej. Struktura składki ubezpiecze-niowej [w:] Podstawy ubezpieczeń, red. J. Monkiewicz, Wydawnictwo Poltext, Warszawa 2003, t. I, s. 108.
4. Finansowe i aktuarialne zasady obliczania składek…
148
Zdaniem J. Monkiewicza, przy kalkulacji wysokości składek ubezpieczenio-wych występują trzy złote reguły ubezpieczeniowe:
• reguła równowagi składek i świadczeń;
• reguła proporcjonalności składek i świadczeń;
• reguła równowartości składek i świadczeń302.
Reguła równowagi składek i świadczeń nazywana jest podstawową regułą równowagi finansowej zakładu ubezpieczeń, ponieważ bazuje na założeniu zachowania równowagi między wpłaconymi do zakładu składkami ubezpiecze-niowymi, a wypłaconymi odszkodowaniami. Druga reguła – proporcjonalności składek i świadczeń – zakłada odpowiednią relację pomiędzy wpłaconymi składkami ubezpieczeniowymi (jako funkcji sumy ubezpieczenia), a oczekiwa-nymi wypłacoa oczekiwa-nymi świadczeniami. Trzecia reguła – równowartości składek i świadczeń – nazywana także zasadą składki sprawiedliwej, zakłada odpowiednią relację pomiędzy obciążeniem finansowym ubezpieczonych, a rozmiarami ryzyka ubezpieczeń. Wprowadza ona indywidualizację wysokości składek za pomocą metody stawki zróżnicowanej.
Poniżej przedstawiono aktuarialne metody obliczania składek netto dla różnych produktów ubezpieczeń na życie. Wykorzystują one zasadę równo-ważności (zasadę czystego ryzyka – pure risk premium), a więc równość składki netto (wartości wszystkich składek netto) i oczekiwanej wartości przyszłych wypłat świadczeń zaktualizowanych (zdyskontowanych) na moment kalku-lacji składki. W zależności od produktu ubezpieczeniowego przy tego typu obliczeniach konieczne jest przyjęcie pewnych założeń, np. co do rocznej stopy zwrotu r w trakcie okresu ubezpieczenia (jest to tak zwana techniczna stopa procentowa303) oraz prawdopodobieństw zgonu lub przeżycia w okresie ubezpieczenia. Prawdopodobieństwa te zawarte są w tablicach umieralności nazywanych także tablicami wymieralności oraz tablicami trwania życia304
302 Ibidem, s. 105–106.
303 Komisja Nadzoru Finansowego na początku każdego roku publikuje (w Dzienniku Urzędowym) wysokość maksymalnej stopy technicznej przyjętej do kalkulacji produktów ubezpieczeniowych, która obowiązuje od 1 maja danego roku do 30 kwietnia kolejnego roku. Na przykład w styczniu 2019 r.
ogłoszono wysokość maksymalnej stopy technicznej na poziomie 1,98%, która obowiązuje od 1.05.2019 r.
do 30.04.2020 r.
304 Nazwa „tablice trwania życia” (TTŻ) pojawiła się po raz pierwszy w opracowaniach Głównego Urzędu Statystycznego (GUS) w 1970 roku.
4.1. Tablice trwania życia i ich rola
149 (TTŻ305), które dla określonej kohorty306 (generacji, pokolenia307) przedstawiają m.in.:
• lx – liczbę osób dożywających wieku x;
• dx – liczbę osób zmarłych w wieku x;
• qx – warunkowe prawdopodobieństwo zgonu w ciągu 1 roku osoby w wieku x, pod warunkiem, że dożyła wieku x;
• px – warunkowe prawdopodobieństwo przeżycia 1 roku osoby w wieku x, pod warunkiem, że dożyła wieku x;
• ex – przeciętne dalsze trwanie życia osoby w wieku x.
Tablice trwania życia publikowane są przez narodowe urzędy statystyczne, któ-rym w Polsce jest GUS (patrz tablica 4.5308 załączona na końcu rozdziału). Tablice dla całej populacji osób, nazywane są zwykłymi tablicami populacyjnymi309. Wiele zakładów ubezpieczeń, które mają odpowiednią liczbę ubezpieczonych, korzysta także z tablic umieralności skonstruowanych na własny użytek, na podstawie wewnętrznych danych statystycznych dotyczących ich klientów.
Rozwiązanie to ma tę zaletę, że dotyczy osób wykupujących konkretny rodzaj ubezpieczenia, a nie całej populacji danego kraju (jak ma to miejsce w przypadku danych w TTŻ), warto podkreślić, że obie populacje mogą się istotnie różnić.
W praktyce niektóre zakłady ubezpieczeń konstruują tzw. tablice konserwatywne, w których w porównaniu do zwykłych tablic populacyjnych uwzględnia się wyższą
305 Pierwsze tablice trwania życia dla Polski opublikował GUS dla lat 1931–1932. Szerzej: B. Jackowska, Modele dalszego trwania życia…, s. 46. Wcześniej Adam B. Danilewicz opublikował w 1874 r. oraz 1885 r. dwie tablice wymieralności dla mieszkańców miasta Warszawa. Szerzej: J. Łukasiewicz, Rodowód historyczny statystyki polskiej, [b.m.r], s. 61 [w:] Jubileusz 90-lecia Głównego Urzędu Statystycznego 1918–2008, red. A. Kula, GUS, Warszawa 2008, t. 59. J. Słomiński także opublikował tablice wymieralności dla Królestwa Polskiego za lata 1837–1842. Szerzej [w:] C. Domański, A. Jędrzejczak, Rozwój Statystyki Łódzkiej, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2015, s. 30.
306 Kohorta oznacza „grupę osób lub innych obiektów, które zaistniały w jakimś określonym czasie, a więc są sobie równe przynajmniej pod tym względem”, jak podaje A. Balicki, Analiza przeżycia i tablice wymieralności, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2006, s. 45. Może to być pewna grupa osób, które są zgrupowane wg określonego kryterium, np. płci czy miejsca zamieszkania. W polskich TTŻ jest to hipotetyczna liczba 100 tys. osób.
307 Generacja (pokolenie, kohorta urodzeniowa) to kohorta osób urodzonych w tym samym czasie (w tym samym przedziale czasu, np. roku), por.: B. Jackowska, Modele dalszego trwania życia…, s. 66.
308 W tablicy 4.5 przedstawiono TTŻ dla obu płaci łącznie, gdyż na mocy wyroku Trybunału Sprawiedliwości UE (sprawa Test Achats) od 2012 r. nie można różnicować składek ubezpieczeniowych ze względu na płeć (chociaż jest ona głównym czynnikiem ryzyka), zob. szerzej: B. Jackowska, E. Wycinka, Znaczenie wyroku Trybunału Sprawiedliwości Unii Europejskiej…, s. 5.
309 T. Michalski, Podstawy aktuarialne działalności ubezpieczeniowej [w:] Podstawy ubezpieczeń, red. J. Monkiewicz, Wydawnictwo Poltext, Warszawa 2003, t. I, s. 319.
4. Finansowe i aktuarialne zasady obliczania składek…
150
umieralność. W tablicach konserwatywnych prawdopodobieństwo śmierci (qx) dla osoby w wieku x jest podwyższone o kilka lat (np. s lat) w stosunku do prawdopodobieństwa wynikającego ze zwykłych populacyjnych tablic trwania życia. Takie prawdopodobieństwo uzyskuje się przez przesunięcie wieku x w górę o s lat z tablic populacyjnych (qx = q x+sp , gdzie: q xp to prawdopodobieństwo śmierci z populacyjnych tablic trwania życia). Przykład: prawdopodobień-stwo śmierci dla mężczyzny w wieku x (np. x = 25) odczytamy nie z tablic trwania życia dla mężczyzn tylko z tablic konserwatywnych (np. łącznych tablic trwania życia) dla wieku x podwyższonego o s lat (np. s = 3), czyli prawdopodobieństwo śmierci w wieku x + s lat (np. 28 lat). Jeżeli jednak w TTŻ w niektórych grupach wiekowych (przez kilka lat) uwzględnia się niższą umieralność w porównaniu z całą populacją, to wtedy tworzy się tzw. tablice selektywne310.
Na podstawie tablic trwania życia można obliczyć warunkowe prawdopodo-bieństwa przeżycia (i zgonu) w ciągu t lat dla osoby w wieku x311, pod warunkiem, że osoba dożyła wieku x lat. Są to prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia, że noworodek przeżyje co najmniej t + x lat (lub umrze przed osiągnięciem wieku x + t), pod warunkiem, że osiągnie wiek x lat312. Do tego typu obliczeń służą następujące wzory:
tpx = 1px ⋅ 1px+1 ⋅ … ⋅ 1px+t–1 = l ___ x+1 l x ⋅ ___ l l x+2x+1 … ____ l x+t−1 l x+t = ___ l x+t l x ; (4.1.1)
1qx = 1 – 1px = 1 − ___ l x+1 l
x = ______ l x – l l x+1
x = __ d l x
x ; (4.1.2)
t qx = 1 – t px ; (4.1.3) gdzie:
lx – liczba osób żyjących w wieku x;
dx – liczba osób zmarłych w wieku x.
310 Ibidem, s. 319.
311 Korzysta się tu z tzw. zasady multiplikatywności.
312 M. Skałba, Ubezpieczenia na życie, Wydawnictwa Naukowo – Techniczne, Warszawa 1999, s. 21.
4.1. Tablice trwania życia i ich rola
151 Przykład 4.1.1.
Korzystając z tablic GUS (tablica 4.5) oblicz prawdopodobieństwo, że ubezpie-czony w wieku 36 lat:
a) przeżyje następny rok, b) przeżyje następne trzy lata, c) umrze w ciągu następnego roku.
Korzystając z wzoru 4.1.1:
a) p 36 = __ l l 3736 = ______ 97 956 98 074 = 0,9988 ; b) 3 p 36 = __ l l 39
36 = ______97 68698 074 = 0,9960 ;
c) q 36 = ___ d l 3636 = ______ 98 074 118 = 0,0012 lub q 36 = 1 − p 36 = 1 − 0,9988 = 0,0012 . Dla założonej technicznej stopy procentowej313 r wyznacza się czynnik dyskontujący v :
v = ____ 1 + r 1 ; (4.1.4)
który jest interpretowany jako wartość obecna314 jednostkowej płatności równej 1 jednostce pieniężnej (1 j.p.), płatnej za 1 rok.
W dalszej części rozdziału zastosowane zostaną następujące założenia i oznaczenia:
• świadczenie płatne jest na końcu roku, w którym nastąpiła śmierć ubez-pieczonego;
• Z to wartość obecna (bieżąca) świadczenia w momencie wykupienia ubezpieczenia wypłacanego na końcu roku śmierci;
• E(Z) to oczekiwana wartość obecna (bieżąca) świadczenia, tzw. jednora-zowa składka netto (net single premium) (skrót JSN).
313 Zakład ubezpieczeń na podstawie swoich danych statystycznych wyznacza pewną stopę procen-tową, na podstawie której kalkuluje składki ubezpieczeniowe. Jest to tzw. techniczna stopa procentowa.
Komisja Nadzoru Finansowego każdego roku publikuje maksymalną stopę techniczną, którą zakłady ubezpieczeń mogą używać do obliczeń.
314 Wartość obecna to wartość zaktualizowana na moment obecny, czyli moment obliczeń – sprzedaży ubezpieczenia. M. Skałba tłumaczy, że ten czynnik akumuluje kapitał „wstecz”. Zob. szerzej M. Skałba, Ubezpieczenia na życie…, s. 14.
4. Finansowe i aktuarialne zasady obliczania składek…
152