Przykáady szacowania efektywnoĞci podmiotów w ujĊciu

PowyĪsze podstawowe zaáoĪenia szacowania efektywnoĞci⁶ podmiotów dowolnego typu (przedsiĊbiorstw, jednostek samorządu terytorialnego lub in-nych instytucji⁷) zilustrowaü moĪna przy pomocy przykáadu jednowymiarowe-go. Analizowani czáonkowie populacji podmiotów obejmującej cztery jednostki:

I, II, III oraz IV, dysponują pojedynczym nakáadem produkcyjnym (x)⁸ i wytwa-rzają jeden produkt/efekt (y). Dane dotyczące poziomu produkcji i wykorzystania nakáadów w poszczególnych instytucjach zaprezentowane zostaáy w tabeli 1⁹.

Tabela 1. Nakáady i efekty dziaáania podmiotów w ujĊciu jednowymiarowym

Podmiot (DMU) Nakáad (x) Efekt dziaáania (y) EfektywnoĞü (y/x)

I 19 133 7

II 17 46 2,71 III 18 90 5 IV 12 30 2,5 ħródáo: opracowanie wáasne na podstawie J.B. Beasley, OR-Notes, Data Envelopment Analysis, http://people.brunel.ac.uk/~mastjjb/jeb/or/dea.html.

W ujĊciu bezwzglĊdnym najwyĪszą efektywnoĞcią produkcji charaktery-zuje siĊ pierwszy podmiot, w którym „statystycznie” efektem zastosowania po-jedynczego nakáadu jest wytworzenie 7 efektów, podczas gdy w najgorszej pod tym wzglĊdem instytucji IV na jeden wykorzystany nakáad przypada jedynie dwa i póá efektu. Zestawienie bezwzglĊdnych wskaĨników efektywnoĞci dziaáa-nia jednostek nie daje informacji o ksztaátowaniu siĊ wzglĊdnej efektywnoĞci w caáej grupie. W tym celu konieczne jest przedstawienie wszystkich obiektów w grupie w relacji do podmiotu, który najsprawniej dokonuje przeksztaácenia nakáadów w efekty (tj. podmiotu I). Wyniki oszacowania w tym zakresie pre-zentuje tab. 2. Podmiot I, którego miara efektywnoĞci wzglĊdnej wynosi 100%, jest obiektem (DMU) efektywnym wyznaczającym granicĊ efektywnoĞci, tj.

górne ograniczenie zbioru moĪliwoĞci produkcyjnych analizowanych instytucji.

6 Zaprezentowane przykáady liczbowe odnoszą siĊ do estymacji efektywnoĞci technicznej pod-miotów, czyli ich zdolnoĞci do wytworzenia maksymalnego efektu produkcji przy zastosowaniu posiadanej technologii produkcji (tj. nakáadów produkcyjnych).

7 Ocena efektywnoĞci moĪe równieĪ dotyczyü np. instytucji finansowych, oĞrodków zdrowia, instytucji edukacyjnych, uczelni wyĪszych, gospodarstw rolnych i innych.

8 Nakáadem produkcyjnym mogą byü np. posiadane przez przedsiĊbiorstwo zasoby kapitaáowe, liczba zatrudnionych lub jak w przypadku gospodarstw rolnych areaá ziemi.

9 ZaáoĪeniem implicite jest jednorodnoĞü zastosowanych nakáadów produkcyjnych i uzyskanych efektów produkcyjnych.

Tabela 2. Miary efektywnoĞci wzglĊdnej i bezwzglĊdniej podmiotów w ujĊciu jednowymiarowym

Podmiot EfektywnoĞü bezwzglĊdna (y/x) EfektywnoĞü wzglĊdna (w relacji do podmiotu I)

I 7,00 7/7 * 100% = 100%

II 2,71 2,71/7 * 100% = 38%

III 5,00 5/7 * 100% = 71%

IV 2,50 2,5/7 * 100% = 35%

ħródáo: jak w tabeli 1.

Wszystkie jednostki, znajdujące siĊ na tej granicy, charakteryzują siĊ efektywnoĞcią wzglĊdną na poziomie 100%. Kierując siĊ usytuowaniem tej gra-nicy jednostki nieefektywne (czyli wszystkie pozostaáe) mogą próbowaü mody-fikowaü wáasne poziomy nakáadów (lub efektów), tak aby znaleĨü siĊ na granicy maksymalnych moĪliwoĞci produkcyjnych, a tym samym podnieĞü swój wskaĨ-nik efektywnoĞci wzglĊdnej do poziomu 100%. ZaleĪnoĞü ta zostaáa zilustrowa-na graficznie (rys. 2) w kartezjaĔskiej przestrzeni dwuwymiarowej, w której zilustrowa-na osi rzĊdnych odáoĪone zostaáy wielkoĞci efektów produkcji kaĪdego z podmio-tów, a na osi odciĊtych nakáady produkcyjne. Odcinek OI áączący początek ukáadu wspóárzĊdnych i pozycjĊ podmiotu I, charakteryzującego siĊ najwyĪszą wzglĊdną efektywnoĞcią w grupie, wyznacza w ujĊciu jednowymiarowym gra-nicĊ efektywnoĞci (maksymalnych moĪliwoĞci produkcyjnych) badanej popula-cji, jest bowiem zbiorem punktów, dla których relacja efekt/nakáad przyjmuje wartoĞü 7¹⁰. Podmioty decyzyjne, znajdujące siĊ poniĪej granicy efektywnoĞci zostaáy zdominowane i są nieefektywne, tj. osiągają efektywnoĞü <0. Oznacza to, Īe istnieje bardziej optymalna kombinacja efektów, która moĪe byü uzyskana przy wykorzystaniu tej samej iloĞci nakáadów. Na wykresie zilustrowane zosta-áy moĪliwe kierunki modyfikacji proporcji nakáadów i efektów dla podmiotu III, który aby osiągnąü maksymalny poziom efektywnoĞci równy 100%, powinien przesunąü siĊ na odcinek III'III''. W rozumieniu ekonomicznym oznacza to koniecznoĞü redukcji nakáadów¹¹ lub zwiĊkszenia efektów dziaáalnoĞci¹². Na schemacie strzaákami oznaczone zostaáo przesuniĊcie po linii prostej do punktu III' lub III''. Wybór docelowego punktu III', oznacza przyjĊcie tzw. orientacji na efekty, w postaci dąĪenia do ich maksymalizacji, przy jednoczesnym zachowa-niu istniejącego poziomu nakáadów. Wybór punktu III'' oznacza przyjĊcie per-spektywy orientacji na nakáady, tj. proporcjonalnej redukcji nakáadów, przy za-chowaniu staáego (ceteris paribus) poziomu efektów. Punkty wewnątrz odcinka

10 Jest to jednoczeĞnie tangens kąta nachylenia odcinka OI.

11 W odniesieniu do nakáadów osobowych oznacza to zwolnienie czĊĞci personelu, w przypadku zasobów kapitaáowych rozwiązanie czĊĞci rezerw, zaĞ dla nakáadów rzeczowych pozbycie siĊ elementów wyposaĪenia (sprzedaĪ ruchomoĞci bądĨ nieruchomoĞci).

12 Poprzez np. naáoĪenie dodatkowych obowiązków na zatrudnionych pracowników lub zmianĊ organizacji pracy, bądĨ wyĪsze obciąĪenie posiadanych urządzeĔ produkcyjnych.

III'III'', reprezentują tzw. mieszane podejĞcie zakáadające brak jednoznacznego zorientowania na redukcjĊ nakáadów lub maksymalizacjĊ efektów – tĊ sytuacjĊ odzwierciedla np. punkt III'''.

Rysunek 2. Granica efektywnoĞci dla podmiotów w ujĊciu jednowymiarowym

ħródáo: A. Domagaáa, Metoda Data Envelopment Analysis jako narzĊdzie badania wzglĊdnej efektywnoĞci technicznej, Badania operacyjne i decyzje, nr 3-4, 2007, s. 25

Zaprezentowany powyĪej przykáad przybliĪa trzy najwaĪniejsze aspekty analizy efektywnoĞci – jej relatywnego ujĊcia na tle grupy rówieĞniczej, pojĊcie granicy efektywnoĞci (tj. maksymalnych moĪliwoĞci produkcyjnych) jako gru-py, do której dąĪyü powinny wszystkie jednostki w grupie oraz orientacjĊ analizy – na maksymalizacjĊ efektów (poziomu) produkcji lub oszczĊdnoĞü (minimalizacjĊ) posiadanych zasobów. UjĊcie jednowymiarowe z pojedynczymi nakáadem i efektem jest oczywiĞcie skrajnym uproszczeniem, niewystĊpującym w zastosowaniach rzeczywistych.

PowyĪszy przykáad moĪna rozszerzyü poprzez dodanie drugiego efektu¹³ dziaáalnoĞci podmiotów, pozostawiając jednoczeĞnie nadal pojedynczy zasób produkcyjny¹⁴. Dane dotyczące wielkoĞci nakáadów i efektów w analizowanych podmiotach wraz ze wskaĨnikami bezwzglĊdnej efektywnoĞci w relacji wybra-nego efektu do nakáadu prezentuje tabela 3.

13 Tj. w tym przypadku przyjmowane jest np. poĞrednie zaáoĪenie, Īe asortyment produkcji przed-siĊbiorstwa obejmuje wiĊcej niĪ jeden produkt.

14 Przykáad na podstawie J.B. Beasley, OR-Notes, Data Envelopment Analysis, http://people.brunel.ac.uk/~mastjjb/jeb/or/dea.html – oznacza to sytuacjĊ, gdy dwa nakáady pro-dukcyjne sáuĪą jako podstawa wytworzenia pojedynczego efektu dziaáania. W przypadku wiĊk-szej liczby nakáadów produkcyjnych nie jest moĪliwe przedstawienie sytuacji na dwuwymiaro-wym ukáadzie wspóárzĊdnych.

Tabela 3. Nakáady i efekty dziaáania podmiotów przy zaáoĪeniu 1 nakáadu i 2 efektów produkcji

Podmiot

(DMU) Nakáad (x) Efekt 1 (y) EfektywnoĞü (y/x)

Efekt 2 (z)

EfektywnoĞü (z/x)

I 19 133 7 60 3,16

II 17 46 2,71 30 1,76

III 18 90 5 65 3,61

IV 12 30 2,5 20 1,67

ħródáo: jak w tabeli 1.

UwzglĊdnienie dodatkowego elementu w postaci drugiego „produktu”

modyfikuje obraz caákowitej efektywnoĞci analizowanych podmiotów. W obec-nej sytuacji instytucja I nadal charakteryzuje siĊ najkorzystniejszą relacją zaan-gaĪowanych zasobów i wytworzonego produktu y, jednak najbardziej wydajna w odniesieniu do produktu z jest instytucja III, która z jednego nakáadu produk-cyjnego jest w stanie wygenerowaü ponad 3,6 produktów tego typu. Wizualna analiza danych w tabeli 3 pozwala równieĪ na podziaá badanej populacji na dwie stosunkowo jednorodne grupy – „liderów” charakteryzujących siĊ wysoką efek-tywnoĞcią wytwarzania obu produktów – moĪna do niej zaliczyü instytucje I i III oraz „pozostaáych” obejmujących podmioty II i IV, które są stosunkowo mniej wydajne w stosowaniu danego zasobu w celu uzyskania efektów¹⁵. Brak jednak w analizowanej grupie wyraĨnego lidera w odniesieniu do kombinacji obu wytwarzanych produktów. Pojawia siĊ zatem pytanie, który z rozpatrywa-nych podmiotów w grupie „liderów” I czy III charakteryzuje siĊ wyĪszą efek-tywnoĞcią globalną. Zaprezentowane rozwaĪania ilustrują trudnoĞü w ocenie caákowitej efektywnoĞci podmiotów w przypadku, tak jak to ma miejsce w typowych podmiotach gospodarczych, wystĊpowania wielu zasobów pro-dukcyjnych i wielu efektów produkcji. W rozpatrywanym przypadku pojedyn-czego zasobu produkcyjnego i dwóch efektów dziaáania moĪliwa jest graficzna analiza implikacji uzyskanych rezultatów liczbowych. Wyniki rozwaĪaĔ pre-zentuje rysunek 3.

15 Dla przykáadu podmiot I jest ponad 2,5 (=7/2,71) razy bardziej efektywny od instytucji II w procesie „produkcji” dobra y i niemal 1,8 (=3,16/1,76) razy bardziej efektywny w wytwarzaniu dobra z. NaleĪy jednak uwzglĊdniü fakt, iĪ podmiot III, który jest znacznie mniej efektywny od instytucji I (ponad 1,4 razy co wynika z relacji 7/5) w odniesieniu do produktu y jest jednoczeĞnie liderem w procesie produkcji dobra z. W stosunku do analizowanego powyĪej podmiotu oznacza to niemal 2,04 razy (=3,61/1,76) wiĊkszą wydajnoĞü w wytwarzaniu produktu z i jednoczeĞnie jedynie 1,84 (=5/2,71) razy wyĪszą efektywnoĞü w produkcji dobra y.

Rysunek 3. Granica efektywnoĞci dla podmiotów w ujĊciu 1 nakáadu i 2 efektów produkcji

ħródáo: jak w tabeli 1.

Na schemacie tym, na osi rzĊdnych odáoĪone zostaáy wielkoĞci efektyw-noĞci podmiotów (skalowane poziomem nakáadów x) w „produkcji” dobra y, a na osi odciĊtych – wartoĞci efektywnoĞci wytwarzania produktu z. Odcinki áączące obie osie ukáadu wspóárzĊdnych i przechodzące przez punkty reprezen-tujące pozycje podmiotów I i III tworzą tzw. granicĊ efektywnoĞci, tj. zbiór kombinacji punktów maksymalnych moĪliwoĞci produkcyjnych w danej grupie badanych jednostek. W ujĊciu matematycznym granica efektywnoĞci stanowi wypukáą otoczkĊ („obwiedniĊ”) wokóá zbioru danych. Granica efektywnoĞci reprezentuje zbiór „najlepszych praktyk” (benchmark), tj. standard dziaáalnoĞci biznesowej, do którego powinny dąĪyü wszystkie pozostaáe nieefektywne pod-mioty. W odniesieniu do rozpatrywanej grupy instytucji podmioty I i III budują granicĊ efektywnoĞci populacji, tj. ich wzglĊdna efektywnoĞü wynosi 100%¹⁶. RównieĪ w ujĊciu efektywnoĞci wzglĊdnej podmioty II i IV poáoĪone poza gra-nicą efektywnoĞci są zdominowane przez instytucje I i III.

Umiejscowienie poza granicą efektywnoĞci oznacza, iĪ wzglĊdna efek-tywnoĞü podmiotu w danej grupie ksztaátuje siĊ poniĪej wartoĞci 100%. Przy-káadowo analizując algebraicznie wyniki osiągniĊte przez podmiot II moĪna oszacowaü osiągniĊtą przez niego relacjĊ efektywnoĞci wytwarzania dóbr typu

16 Nie oznacza to oczywiĞcie, Īe bezwzglĊdna efektywnoĞü obu podmiotów nie moĪe wzrosnąü.

Jednak przy wykorzystaniu aktualnie posiadanej technologii produkcji podniesienie bez-wzglĊdnej efektywnoĞci nie jest moĪliwe.

y i z. Iloraz obu wielkoĞci wynosi 1,53 (2,71/1,76), jest jednoczeĞnie tangensem kąta nachylenia prostej áączącej punkt początku ukáadu wspóárzĊdnych i punkt na ukáadzie wspóárzĊdnych opisujący áączny wynik uzyskany przez instytucjĊ II.

Wszystkie podmioty leĪące na tej linii wykorzystują zbliĪoną mieszankĊ bizne-sową (business-mix), w której relacja osiągniĊtych efektów typu y do efektów typu z (skalowana przy pomocy wartoĞci wykorzystanych nakáadów x) ksztaátu-je siĊ na poziomie 1,53. Odcinek ten moĪna przedáuĪyü, tak aby nastąpiáo ksztaátu-jego przeciĊcie z granicą efektywnoĞci. Hipotetyczny podmiot poáoĪony w punkcie przeciĊcia obu prostych (II') wykorzystywaáby zatem identyczną technologiĊ produkcji jak instytucja II, uzyskując jednak przy tym efektywnoĞü na poziomie 100%. Przy pomocy prostych dziaáaĔ algebraicznych¹⁷ moĪliwe jest ustalenie wspóárzĊdnych tego punktu na granicy efektywnoĞci (w analizowanym przykáa-dzie jest to odpowiednio 3,51 efektu z na 1 nakáad produkcyjny typu x; oraz 5,2 efektu y na 1 nakáad produkcyjny) oraz oszacowanie dáugoĞci¹⁸ odcinków 0II i 0II', co pozwala na obliczenie wzglĊdnej efektywnoĞci podmiotu II w postaci ilorazu dáugoĞci 0II = 10,4 /0II' = 39,3 Æ 0,26. Oznacza to, Īe podmiot II przy posiadanych zasobach produkcji osiąga jedynie 26% swojej maksymalnej po-tencjalnej efektywnoĞci funkcjonowania. W celu przesuniĊcia w kierunku punk-tu na granicy efektywnoĞci konieczna jest proporcjonalna redukcja poziomu nakáadów (x) przy zachowaniu aktualnego poziomu „wytwarzania” dóbr y i z (w przypadku zastosowania orientacji na nakáady), podniesienie poziomu pro-dukcji (z zachowaniem niezmiennoĞci relacji obu efektów dziaáania Æ 1,53) przy jednoczesnym utrzymaniu obecnej intensywnoĞci wykorzystania posiada-nych Ğrodków produkcji (orientacja na maksymalizacjĊ efektów dziaáania) lub kombinacji obu wymienionych podejĞü. JednoczeĞnie konieczna jest jedno-znaczna interpretacja znaczenia miary efektywnoĞci uzyskanej przez nieefektyw-ny (tj. znajdujący siĊ poza granicą maksymalnieefektyw-nych moĪliwoĞci produkcyjnieefektyw-nych) podmiot. W przypadku podmiotu II wspóáczynnik efektywnoĞci na poziomie 29% nie oznacza, iĪ jest on w przybliĪeniu jedynie w niecaáych 30% tak efektyw-ny jak najlepsze instytucje w grupie. Oszacowaefektyw-ny poziom wskazuje na istnienie technologii produkcji stosowanej przez instytucje obecne na granicy efektywno-Ğci, która w przypadku zastosowania w podmiocie nieefektywnym pozwoliáaby mu na poprawienie swoich wyników i doáączenie do grupy podmiotów efektyw-nych. Jest to pojĊcie tzw. zbioru referencyjnego (reference set) obejmującego

17 MoĪna w tym celu wykorzystaü np. formuáĊ na ustalenie równania prostej przechodzącej przez dwa punkty ukáadu wspóárzĊdnych kartezjaĔskich A = (x1, y1) oraz B = (x2, y2) Æ (x2-x1)(y-y1) = (y2-y1)(x-x1), a nastĊpnie rozwiązaü ukáad równaĔ w celu znalezienia punktu przeciĊcia prostych.

18 Formuáa na obliczenie dáugoĞci odcinka przechodzącego przez punkty A i B o znanych wspóá-rzĊdnych: pierwiastek((x2-x1)² + (y2-y1)²).

zidentyfikowane najlepsze podmioty poáoĪone na granicy efektywnoĞci, które ze wzglĊdu na swoje charakterystyki (np. zbliĪony business-mix, wielkoĞü itp.) mogą byü uĪywane jako wzorzec dla jednostek nieefektywnych. W rozpatrywa-nym przykáadzie jako podmiot, który w najlepszy sposób odwzorowywaáby technologiĊ dziaáalnoĞci (produkcji) wykorzystywaną przez podmiot II, stosu-jąc dokáadnie ten sam business-mix, bĊdąc jednoczeĞnie w stanie osiągnąü 100% efektywnoĞü naleĪy wskazaü instytucjĊ II'. Problemem jest, Īe instytucja II' to w rzeczywistoĞci podmiot wirtualny, poniewaĪ jednostka o takich para-metrach produkcji nie istnieje. Oznacza to, iĪ jako zbiór referencyjny dla pod-miotu II sáuĪyü muszą jednostki poáoĪone „najbliĪej” jego hipotetycznego odpowiednika (II') na granicy efektywnoĞci. W bieĪącym przypadku zbiorem referencyjnym dla nieefektywnego podmiotu II są instytucje tworzące granicĊ efektywnoĞci, tj. I i III. OsiągniĊcie przez podmiot II granicy efektywnoĞci wymaga zastosowania odpowiedniej kombinacji technologii produkcji stosowa-nej przez obie efektywne instytucje. W rozpatrywanym przykáadzie stosunek dáugoĞci odcinków áączących punkty I i II' oraz III i II' do dáugoĞci odcinka áą-czącego pozycje obu podmiotów efektywnych (I i III) to odpowiednio 0,79 i 0,21. Oznacza to, Īe wirtualny podmiot II' powinien wykorzystaü waĪoną tech-nologiĊ produkcji skáadającą siĊ w 79% z technologii podmiotu I i 21%

z technologii podmiotu III.

3.2. Systematyka iloĞciowych metod pomiaru efektywnoĞci podmiotów