STRESZCZENIE
W pracy przedstawiono badania eksperymentalne kinetyki sorpcji próbek z normowej zaprawy cementowej i betonu komórkowego, wykonanych w kształcie beleczek o wymiarach
~4cm×4cm×16cm. Próbki sorbowały wilgoć z otoczenia przez jedną powierzchnię czołową tak, aby warunki eksperymentu odpowiadały jednowymiarowemu przypadkowi dyfuzji.
W trakcie eksperymentu rejestrowano zmiany w czasie wskazań dwóch wag, na których opierały się końce beleczek za pośrednictwem podpór wykonanych z aluminiowych teowników. Następnie sformułowano współczynnikowe zadanie odwrotne w przypadku nieliniowej dyfuzji. Zadanie to rozwiązano przy wykorzystaniu metody różnic skończonych oraz algorytmów genetycznych. W efekcie uzyskano wielomiany czwartego stopnia, aproksymujące zmienność współczynnika dyfuzji wilgoci w zależności od jej stężenia w przypadku badanych materiałów budowlanych.
SŁOWA KLUCZOWE: dyfuzja, współczynnik dyfuzji wilgoci, metody odwrotne, algorytmy genetyczne.
1. WPROWADZENIE
W niniejszej pracy podjęto próbę oszacowania współczynnika dyfuzji wilgoci w zależności od wilgotności materiału. W rozważaniach ograniczono się do zakresu wilgotności otaczającego powietrza od 20 do 60%, któremu to zakresowi towarzyszy powstawanie na powierzchni wewnętrznej materiałów porowatych polimolekularnej warstwy adsorbatu. W analizowanym zakresie wilgotności dominującą rolę w przenoszeniu wody w materiale odgrywa dyfuzja objętościowa pary wodnej i dyfuzja powierzchniowa cieczy zaadsorbowanej na powierzchni porów i kapilar.
W pracy [9] wyznaczono średnie, w rozpatrywanym zakresie wilgotności, współczynniki dyfuzji i przejmowania wilgoci w przypadku czterech materiałów budowlanych (gipsu budowlanego, cegły ceramicznej, zaprawy cementowej oraz betonu komórkowego). Jak wiadomo współczynnik dyfuzji wilgoci nie jest wielkością stałą, lecz zmienia się wraz z wilgotnością materiału. Na fakt ten wskazują liczne badania ______________________
1 j.swirska@po.opole.pl
2 z.perkowski@po.opole.pl
eksperymentalne (np. [2, 3, 5]). W [1] znaleźć można propozycje różnych zależności współczynnika dyfuzji wilgoci od wilgotności materiału (np. funkcje liniowe, eksponencjalne, wymierne). Jednak w pracach o charakterze eksperymentalnym najchętniej stosowane są funkcje typu eksponencjalnego [6, 8].
W niniejszej pracy zaproponowano procedurę obliczeniową do wyznaczania zależności współczynnika dyfuzji wilgoci od wilgotności materiału, która wykorzystuje metodę różnic skończonych, algorytm genetyczny oraz wyniki kinetyki sorpcji próbek materiałów w kształcie beleczek. W procedurze tej założono, że współczynnik dyfuzji wilgoci jest aproksymowany wielomianem czwartego stopnia. Zrezygnowano więc z monotoniczności tego współczynnika narzucanej przez funkcje typu eksponencjalnego. Taka forma współczynnika dyfuzji może lepiej oddawać złożoność zjawisk i nakładanie się różnych mechanizmów transportu wilgoci, zachodzących w materiale kapilarno-porowatym.
Zaproponowany sposób wyznaczania współczynnika dyfuzji wilgoci jest zgodny z aktualnym trendem panującym w literaturze światowej, w której zaczynają przeważać metody bazujące na zadaniach odwrotnych i metodach optymalizacyjnych [2, 3, 4, 6, 8].
2. BADANIA EKSPERYMENTALNE
Badania eksperymentalne przeprowadzono na próbkach w kształcie beleczek o przekroju
~4cm×4cm, wykonanych z zaprawy cementowej o stosunku w/c równym 0,5 oraz betonu komórkowego o gęstości 600 kg/m3. Długość beleczek zaprawy wynosiła 160.1 cm, natomiast betonu komórkowego – 150.1cm. Zaprawa cementowa wykonana została na bazie cementu portlandzkiego popiołowego CEM II/B-V 32,5 R klasy 32,5 z dodatkiem lotnego popiołu krzemionkowego. Badania prowadzono każdorazowo na 3 próbkach danego materiału.
Szczegółowy opis przebiegu badań eksperymentalnych, wykorzystywanych w niniejszym artykule, znaleźć można w pracy [9]. Poniżej ograniczono się jedynie do podania podstawowych informacji. A mianowicie, przed rozpoczęciem badań, próbki wysuszono w suszarce do stałej masy w temperaturze 105oC. Po wysuszeniu przechowywano je w pomieszczeniu o wilgotności względnej powietrza równej 20 3%, przez okres około czterech miesięcy. Następnie próbki przełożono do komory klimatycznej, w której panowała temperatura 240.5oC i wilgotność 24 2%. Po ustabilizowaniu się masy powierzchnie próbek szczelnie obklejono taśmą izolacyjną, zostawiając wolną jedną powierzchnię czołową.
Do jednej z pobocznic beleczek przymocowano za pomocą kleju dwie podpory wykonane z teowników aluminiowych. Środniki teowników znajdowały się w odległości 1 cm od końców próbek. Po zaizolowaniu próbki ponownie przełożono do komory klimatycznej, w której ustawiono temperaturę 24oC oraz wilgotność 24% i kondycjonowano. Kiedy masa wszystkich z nich ustabilizowała się, zmieniono warunki wilgotnościowe panujące w komorze na 60%
i rozpoczęto badanie kinetyki sorpcji. Próbki ważono na wagach o dokładności 0.001 grama.
Ważąc poszczególne próbki, ustawiano je za pośrednictwem podpór na dwóch wagach i odczytywano wskazania każdej z nich. W dniu rozpoczęcia badań pomiar wykonano dwa razy w ciągu dnia, a następnie próbki ważono raz dziennie. Po zwolnieniu procesu sorpcji ważono je co dwa, trzy dni. Cały eksperyment trwał około 1.5 miesiąca. W tym czasie beton komórkowy zaadsorbował ponad 90%, a zaprawa cementowa – jedynie 10% wilgoci, jaką mogłyby maksymalnie zabsorbować we wspomnianych warunkach.
W rezultacie opisanych powyżej czynności, w przypadku każdej z trzech próbek poszczególnych materiałów budowlanych, otrzymano przyrosty ich masy w czasie ze wskazań dwóch wag (rys. 1 i 2), na których opierano je za pośrednictwem podpór. Przy czym próbki zawsze ustawiane były tak, że nieizolowana powierzchnia sorbująca znajdowała się nad wagą numer 1.
Wyznaczanie współczynnika dyfuzji wilgoci za pomocą algorytmów genetycznych 41
Rys. 1. Przyrosty wskazań wag 1 i 2 podczas sorpcji wilgoci przez beton komórkowy.
Rys. 2. Przyrosty wskazań wag 1 i 2 podczas sorpcji wilgoci przez zaprawę cementową.
3. MODEL MATEMATYCZNY
Bilansując sumaryczną masę pary wodnej i wilgoci powierzchniowej zgromadzonej w ciele kapilarno-porowatym, przy założeniu, że prędkość konwekcyjna równa się zeru oraz że gęstość mieszaniny (szkieletu, suchego powietrza, pary wodnej i wilgoci powierzchniowej) jest w przybliżeniu stała i równa gęstości suchego szkieletu, można otrzymać zależności:
W powyższych wzorach wprowadzono następujące oznaczenia: C – koncentracja masowa [kg/kg], D – współczynnik dyfuzji [m2/s], j – gęstość strumienia masy [kg/(m2∙s)], – gęstość [kg/m3], t – czas [s]. Natomiast indeksy górne m, s, v, w odnoszą się odpowiednio do suchego materiału, wilgoci zaadsorbowanej, pary wodnej oraz sumarycznej wilgoci. W przypadku jednowymiarowego przepływu, który realizowany był podczas opisywanego powyżej eksperymentu, równanie (1) przyjmie formę zależnościwaga nr 2
2 ,
której dyskretyzowana postać, zgodnie z ideą MRS, może być dana wzorem
Δ , natomiast wskaźniki dolne i oraz j odnoszą się odpowiednio do węzła przestrzennego i punktu czasowego zdyskretyzowanej przestrzeni
x , . t
W analizowanym przypadku warunek początkowy będzie miał postać
0, natomiast warunki brzegowe na zaizolowanym i nieizolowanym końcu próbki będą dane odpowiednio zależnościami w odległości Δx od jej końców, natomiast współczynnikiem przejmowania (emisji) wilgoci na brzegu próbki (surface emission coefficient) [m/s].
4. PROCEDURA OBLICZENIOWA
W niniejszej pracy przyjęto, że współczynnik dyfuzji wilgoci może być aproksymowany wielomianem czwartego stopnia
C aC 4 b
C 3 c
C 2 d
C e,Dw w w w w w (8) oraz że współczynniki przejmowania wilgoci na brzegach próbek są znane i równe 1,05∙10-6 w przypadku betonu komórkowego i 9,68∙10-9 w przypadku zaprawy cementowej [9].
Celem opisywanej tu procedury obliczeniowej było znalezienie takich wartości współczynników (a, b, c, d, e), które po podstawieniu do równań (4)-(7) dałyby takie rozkłady koncentracji wilgoci, że obliczone na ich podstawie przyrosty wskazań wag 1 i 2
Δm1o ,Δm2o
byłyby możliwie najbardziej zgodne z danymi eksperymentalnymi.Stopień dopasowania danego zestawu współczynników (a, b, c, d, e) do danych doświadczalnych oceniano na podstawie wartości funkcji sumy względnych Fw (w przypadku betonu komórkowego) lub bezwzględnych Fbw (w przypadku zaprawy cementowej) odchyleń kwadratowych pomiędzy wartościami zmierzonymi a obliczonymi:
Wyznaczanie współczynnika dyfuzji wilgoci za pomocą algorytmów genetycznych 43 pod uwagę wszystkie zmierzone wartości m1eks większe od 0.2 g i wszystkie odpowiadające im wartości m2eks. Za najlepszy zestaw współczynników uznawano taki, w przypadku którego funkcje Fw lub Fbw osiągały wartości minimalne. W ten sposób sprowadzono współczynnikowe zadanie odwrotne do typowego zadania optymalizacyjnego, w którym poszukuje się minimum funkcji Fw lub Fbw. Ponieważ w rozważanym zagadnieniu funkcje względnych i bezwzględnych odchyleń kwadratowych były funkcjami pięciu zmiennych niezależnych (a, b, c, d, e), dlatego zdecydowano się na zastosowanie, w celu znalezienia ekstremum Fw i Fbw, algorytmów genetycznych. Przy czym cały rozpatrywany zakres wilgotności materiału podzielono na cztery równe przedziały i w pierwszej kolejności, zamiast stałych (a, b, c, d, e), poszukiwano wartości współczynnika dyfuzji wilgoci na granicach tych przedziałów
D1w ,D2w ,D3w ,D4w ,D5w
, a dopiero na ich podstawie obliczano współczynniki występujące w wielomianie (8). Tak więc w analizowanym zagadnieniu dowolny osobnik i populacji (złożonej z n osobników) reprezentowany był przez wektor, którego składowe były wartościami współczynnika D na końcach rozważanych przedziałów w wilgotności
1 , 2 , 3 , 4 , 5
.D Natomiast populacja początkowa tworzona była
przez n-krotne losowanie składowych wektorów z przedziałów ustalonych na podstawie średnich wartości współczynników dyfuzji wilgoci D uzyskanych w pracy [9] w
Ocena populacji początkowej polegała na obliczeniu dla każdego z osobników wartości funkcji (9) lub (10). Za najlepszego uznawany był ten osobnik, dla którego funkcja celu osiągała wartość najmniejszą. Ostatecznie, w efekcie selekcji osobników, zostawali oni uszeregowani od najlepszego do najgorszego. Po uszeregowaniu osobników populacji początkowej przechodzono do tworzenia nowego pokolenia. Przebieg procesu powoływania nowej populacji i towarzyszące im operacje genetyczne zostały zaczerpnięty z pracy [9], przy czym liczebność populacji wynosiła tu 25 osobników, a standardowa liczba selekcji 50.
Dla każdej z próbek obliczenia wykonywano trzykrotnie. Za wynik ostateczny uznawano wartości otrzymane dla najlepszego osobnika ze wszystkich przeprowadzonych symulacji.
5. WYNIKI OBLICZEŃ
Program komputerowy do wyznaczania współczynnika D napisany został w w środowisku MATLABA. Program ten wykorzystywał izotermy sorpcji, otrzymane na podstawie wyników zamieszczonych w pracy [9], następujących postaci (odpowiednio w przypadku betonu komórkowego i zaprawy cementowej):
1 439589
1 05865
,gdzie przez oznaczono względną wilgotność powietrza.
W tablicy 1 zamieszczono wartości współczynników dyfuzji Dkw otrzymane w przypadku każdej z próbek obydwu analizowanych materiałów budowlanych. W tablicy tej podano również wartości koncentracji masowej wilgoci w materiale Ckw, którym odpowiadały wyznaczone wektory Dkw oraz wartości funkcji przystosowania Fw lub Fbw otrzymane dla danego zestawu współczynników Dkw.
Tablica 1. Wartości współczynników dyfuzji Dkwuzyskane dla poszczególnych materiałów budowlanych.
Materiał
średnia 0,27∙10-10 0,60∙10-10 0,95∙10-10 1,59∙10-10 1,25∙10-10 8,63
Tablica 2. Wartości współczynników wielomianu Dw
Cw dla poszczególnych próbek.Materiał a b c d e
próbka 1 101,5688 -9,0136 2,9871∙10-1 -4,3822∙10-3 2,4033∙10-5 próbka 2 187,1599 -16,7727 5,6137∙10-1 -8,3168∙10-3 4,6036∙10-5 beton
komórkowy
próbka 3 103,8270 -9,3851 3,1666∙10-1 -4,7271∙10-3 2,6356∙10-5 próbka 1 -2,1665∙10-3 2,0205∙10-4 -6,8180∙10-6 1,0267∙10-7 -5,0972∙10-10 próbka 2 -3,6972∙10-3 3,0355∙10-4 -8,3820∙10-6 9,3317∙10-8 -3,0867∙10-10 zaprawa
cementowa
próbka 3 -2,4573∙10-3 2,2396∙10-4 -7,2433∙10-6 1,0437∙10-7 -5,1799∙10-10
W tabeli 2 zestawiono wartości współczynników wielomianu (8) (a, b, c, d, e), otrzymane w przypadku każdej z próbek analizowanych materiałów budowlanych, przy wartościach Ckw i Dkw jak w tablicy 1. Natomiast na rysunkach 3 i 4 zilustrowano przebieg zmienności funkcji Dw(Cw) dla próbek odpowiednio betonu komórkowego i zaprawy cementowej. Linią pogrubioną, ciągłą narysowano wielomian odpowiadający wartościom średnim otrzymanym ze wszystkich próbek. Na rysunkach tych zamieszczono dodatkowo porównanie wykresów przyrostów wskazań wag 1 i 2 w czasie, wyznaczone na drodze eksperymentalnej i obliczone numerycznie przy wykorzystaniu współczynników zestawionych w tabeli 2. Porównanie te wykonano każdorazowo dla próbki nr 1 danego materiału budowlanego.
Wyznaczanie współczynnika dyfuzji wilgoci za pomocą algorytmów genetycznych 45
Rys. 3. a) Zmienność współczynnika dyfuzji wraz z koncentracją wilgoci dla próbek betonu komórkowego.
b) Przykładowe porównanie przyrostów wskazań wag próbki nr 1 wg pomiaru i obliczeń modelowych.
Rys. 4. a) Zmienność współczynnika dyfuzji wraz z koncentracją wilgoci dla próbek zaprawy cementowej.
b) Przykładowe porównanie przyrostów wskazań wag próbki nr 1 wg pomiaru i obliczeń modelowych.
6. WNIOSKI KOŃCOWE
Na rysunkach 3 i 4 można zaobserwować zupełnie odmienny przebieg zmienności funkcji Dw(Cw) w przypadku betonu komórkowego i zaprawy cementowej. O ile w przypadku pierwszego z tych materiałów można mówić o generalnej tendencji malejącej współczynnika dyfuzji wilgoci wraz z wilgotnością materiału (w analizowanym jej zakresie), to dla zaprawy cementowej występuje generalnie tendencja odwrotna – rosnąca. Ewentualne odchylenia od dominującej tendencji zmienności współczynnika Dw w przypadku obu rozważanych materiałów budowlanych mogą wynikać z nakładania się dwóch występujących tu mechanizmów dyfuzyjnych (objętościowego i powierzchniowego) oraz różnego ich udziału w globalnym transporcie masy na różnych etapach zawilgocenia tychże materiałów.
Beton komórkowy należy do grupy materiałów makroporowatych, w przypadku których dyfuzja objętościowa odgrywa decydującą rolę w transporcie par wodnej. Dlatego też zmniejszanie przekroju czynnego porów dostępnego dla pary wodnej, towarzyszące zawilgacania się materiału, powoduje spadek efektywnego współczynnika dyfuzji wilgoci.
Okresowy jego wzrost w przedziale koncentracji od 0,02 do 0,022 kg/kg może być spowodowany uruchomieniem się dyfuzji powierzchniowej i przejściowym zniwelowaniem spadku strumienia pary wodnej przez wzrastający strumień wilgoci powierzchniowej.
Współczynnik dyfuzji Dw [10-8 m2 /s]
Koncentracja masowa wilgoci C w [kg/kg]
próbka nr 1 próbka nr 2 próbka nr 3 średnia
Czas [h]
Przyrosty wskazań wag [g]
waga nr 1
waga nr 2
obliczone z pomiaru
a) b)
Współczynnik dyfuzji Dw [10-10 m2 /s]
próbka nr 1 próbka nr 2 próbka nr 3 średnia
Koncentracja masowa wilgoci C w [kg/kg]
a) b)
obliczone z pomiaru waga nr 1
waga nr 2
Przyrosty wskazań wag [g]
Czas [h]
Zaprawa cementowa należy do materiałów o porach drobniejszych niż beton komórkowy. Makro- i mezopory występują w niej, mniej więcej, w takiej samej ilości.
W materiale tym dyfuzja powierzchniowa będzie odgrywała więc większą rolę niż w betonie komórkowym. Stąd wzrost współczynnika Dw w zaprawie wraz z zawilgoceniem materiału, a więc wraz grubością filmu cieczy pokrywającego szkielet materiału (każda kolejna warstwa wilgoci jest bardziej ruchliwa). Natomiast zmniejszanie się wartości współczynnika dyfuzji wilgoci powyżej Cw równego około 0,033 kg/kg może być spowodowane osiągnięciem przez warstewkę wilgoci grubości granicznej, powyżej której pochodna ciśnienia rozklinowującego po grubości filmu przyjmuje wartość ujemną i strumień wilgoci powierzchniowej zaczyna płynąć zgodnie z gradientem grubości warstwy [7, 9]. Fakt ten będzie powodował zmniejszanie się wartości efektywnego współczynnika dyfuzji wilgoci Dw.
Piśmiennictwo
[1] Crank J.: The mathematics of diffusion, 2th ed., Oxford University Press, Oxford 1975.
[2] Cai L.: Determination of diffusion coefficient for sub-alpine fir, Wood Science and Technology, 39, 2005, 153-62.
[3] Danvind J., Ekevad M.: Local water vapour diffusion coefficient when drying Norway spruce sapwood, J. Wood Science, 52, 3, 2006, 195-201.
[4] Dincer I.: Moisture loss from wood products during dying – Part I: Moisture diffusivities and moisture transfer coefficients, Energy Sources, 20, 1998, 67-75.
[5] Garbalińska H.: Measurement of the mass diffusivity in cement mortar: use of initial rates of water absorption, Int. J. Heat and Mass Transfer, 45, 2002, 1353-1357.
[6] Garbalińska H., Kowalski S.J., Staszak M.: Linear and non-linear analysis of desorption processes in cement mortar, Cement and Concrete Research, 40, 2010, 752-762.
[7] Kubik J.: Przepływ wilgoci w materiałach budowlanych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Opolskiej, Opole, 2000.
[8] Olek W., Weres J.: Effects of the method o identification of the diffusion coefficient on accuracy of modelling bound water transfer in wood, Transport in Porous Media, 66, 2007, 135-144.
[9] Świrska-Perkowska J.: Adsorpcja i ruch wilgoci w porowatych materiałach budowlanych w warunkach izotermicznych, PAN KILiW, Studia z zakresu inż., 77, Warszawa, 2012.
DETERMINATION OF MOISTURE DIFFUSIVITY BY MEANS OF GENETIC ALGORITHMS
Summary
Tests on sorption kinetics in prismatic specimens (~4cm×4cm×16cm) of standard cement mortar and cellular concrete were presented. Moisture was absorbed by the specimens through the frontal, not insulated surfaces in the conditions corresponding to a one-dimensional case of diffusion. During the experiment the indications of two balances on which the ends of specimens were supported thanks to the small aluminium T-bars glued to them were recorded. Next, a coefficient inverse problem was formulated employing a non-linear model of diffusion. The problem consisted in finding a minimum of square error function for experimental and calculated (according to the model) data. It was solved by means of the finite difference method and genetic algorithms. As a result, values of coefficients for polynomials of the 4th degree describing the moisture contents – moisture diffusivity relation for the tested building materials were obtained.
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI RZESZOWSKIEJ Nr 283 Budownictwo i Inżynieria Środowiska z 59 (3/12/III) 2012
Marek TELEJKO1 Jerzy Z. PIOTROWSKI2
Politechnika Świętokrzyska, Kielce