1
Elementy teorii mnogo±ci A. Mróz
1. Wypisz elementy poni»szych zbiorów.
(a) {1, 2, 3}, (b) {a, {a}},
(c) ∅, (d) {∅}, (e) {1, 2, 3, 2, 1}, (f) {1, {1}, ∅, {1}, {1, 1}, {1, 2}}, (g) {x ∈ N0 : x ≤ 5}, (h) {x ∈ N0 : x = 2}, (i) {x ∈ R : x2+ x − 2 = 0}, (j) {x ∈ R : x2+ x + 1 = 0}, (k) {x ∈ Q : x2+√2x = 0}, (l) {n ∈ N : (∃ c∈Nn = 3c) ∧ x < 13}, (m) {n ∈ N : n|10 ∧ n|15}, (n) {n ∈ N : 1 < n ≤ 20 ∧ (∀k∈N (k|n ⇒ (k = 1 ∨ k = n)) )}. (o) {2n : n ∈ {1, 2, 3} }, (p) {n2 : n ∈ {m ∈ N : 3|m ∧ m < 10} }.
2. Wska» przykªad takich a, b, c ∈ N, »e zbiór { {a}, {a, b}, {a, b, c} } ma 3 elementy (odpowied-nio 2 elementy, 1 element).
3. Sprawd¹, czy pomi¦dzy zbiorami A i B zachodz¡ relacje inkluzji i wyznacz A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A oraz A ÷ B. (a) A = {1, 2, 3, 4}, B = {−2, −1, 0, 1, 2}, (b) A = {n ∈ N0 : n ≤ 3}, B = {n ∈ N0 : n > 3}, (c) A = {0, 1}, B = ∅, (d) A = {1, {1}, {2}}, B = {{1}, {2}}, (e) A = {1, {1}, {1, 2}, {{1, 1}, 2} }, B = {1, {1}, {1, 2, 1}, {1}, 1, {{1}, 2} }, (f) A = [0, 6] B = [−2, 3) ∪ [5, ∞), (g) A = {x ∈ R : x < 2}, B = {n ∈ N0 : n ≤ 3},
4. Rozwa»my nast¦puj¡ce podzbiory zbioru liczb caªkowitych: A = {n ∈ Z : 2|n}, B = {n ∈ Z : ∼ 2|n}, C = {n ∈ Z : n < 20}. Opisz zbiory A0, A ∪ B, A ∩ B, A \ B, A \ C, B ∩ C, C0, A ∩ (B \ C), A ÷ B.
5. Rozwa»my nast¦puj¡ce podzbiory zbioru liczb rzeczywistych: A = {x ∈ R : (x − 1)2< 1},
B = {x ∈ R : |x − 3| ≥ 2}, C = {x ∈ R : x2 = 14}. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A ∪ C, (A ∩ B)0, B ∩ C, A \ C, A0∩ C, C \ B, (A ∪ C) \ B, B \ C, A \ (B \ C).
6. Rozwa»my zbiór X wszystkich wielok¡tów i jego nast¦puj¡ce podzbiory: A - zbiór wielok¡tów foremnych,
B - zbiór trójk¡tów,
C - zbiór gur posiadaj¡cych co najmniej jeden k¡t prosty.
Opisz gury nale»¡ce do zbiorów: A ∩ B, A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ C0, B ∩ C, A ∩ C, B \ (A ∩ C),
C0∩ A.
7. Wska» przykªady zbiorów A, B oraz C takich, »e poni»sze równo±ci nie s¡ prawdziwe. (a) (A ∩ B) ∪ (C ∩ B) = B, (b) A \ (B ∩ C) = (A ∪ B) \ C,
(c) (A ∪ B) \ (B ∩ C) = A ∩ C, (d) (A ∪ B) \ (B ∪ C) = (A ∪ C) \ B. 8. Wyka», »e poni»sze równo±ci s¡ prawdziwe dla dowolnych zbiorów A, B, C.
(a) A0∪ B0= (A ∩ B)0, (b) A0∩ B0 = (A ∪ B)0,
(c) A ÷ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B), (d) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B, (e) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), (f) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
2 9. Czy stwierdzenie je»eli A 6= B oraz B 6= C to A 6= C jest prawdziwe dla dowolnych
zbiorów A, B i C?
10. Sprawd¹, czy poni»sze równo±ci s¡ prawdziwe dla dowolnych zbiorów A, B takich, »e A ⊂ B. (a) A ∩ B = A, (b) A ∪ B = A, (c) A \ B = ∅,
(d) B \ A = B, (e) (A ∪ B) \ B = ∅, (f) (A ∩ B) ∪ B = B. 11. Wyznacz iloczyny kartezja«skie A × B oraz B × A, dla
(a) A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, (b) A = {1, 2}, B = {0}, (c) A = {1, 2, 3}, B = ∅, (d) A = (−1, 2], B = [3, 5], (e) A = [−1, 1] ∪ [2, 3), B = [−2, −1] ∪ [0, 1], (f) A = {x ∈ R : |x| ≥ 2}, B = {x ∈ R : x < −1 ∨ x ≥ 2}, (g) A = N, B = {x ∈ R : x ≥ 2}.
12. Zilustruj gra cznie zbiory
(a) {(x, y) ∈ A × B : x < y}, gdzie A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 2, 4}, (b) {(x, y) ∈ A × B : x + y = 1}, gdzie A = B = {−2, −1, 0, 1, 2}, (c) {(x, y) ∈ A × B : x − y ≥ 1}, gdzie A = [−3, 3], B = [−4, 4], (d) {(x, y) ∈ A × B : x2+ y2 ≥ 4}, gdzie A = [−1, 1], B = R.
13. Wypisz elementy zbioru {0, 1} × {1} × {1, 2, 3}. 14. Zilustruj gra cznie zbiory
(a) [0, 1] × [0, 1] × [0, 1],
(b) [−1, 1] × [−1, 1] × ([0, 1] ∪ [2, 3]),
(c) ([0, 1] ∪ [4, 5]) × ([0, 1] ∪ [4, 5]) × ([0, 2] ∪ [4, 6]).
15. Wyka», »e dla dowolnych zbiorów A, B, C i D prawdziwe s¡ nast¦puj¡ce równo±ci: (a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), (b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C), (c) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C), (d) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D). 16. Znajd¹ zbiór pot¦gowy 2X dla zbiorów
(a) X = {1}, (b) X = {1, 2, 3}, (c) X = ∅,
(d) X = {∅}, (e) X = {1, {2}, {2, 3}}, (f) X = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}} }. 17. Znajd¹ S∞
n=1An oraz T∞n=1Andla nast¦puj¡cych zbiorów An:
(a) An= [−n, n], (b) An= (0,n1), (c) An= [0, 1 + 1n], (d) An= [(−1)n, 5 + (−1)n], (e) An= (−1n, n2], (f) An= {x ∈ R : sin x = n}.
18. Znajd¹ Si∈IAi oraz Ti∈IAi, gdy
(a) I = [0, ∞), Ai = {x ∈ R : i ≤ x},
