11. Caªkowanie ci¡gów i szeregów funkcyjnych
w. 11.1 Oblicz granic¦ caªek lim n→∞ Z A x + 1 ny 2 l2(dxdy), gdzie A jest trójk¡tem o wierzchoªkach (1, 1), (2, 1), (1, 2). w. 11.2 Oblicz granic¦ caªek
lim n→∞ Z A 1 + x + y 5 n x l2(dxdy), gdzie A = {(x, y); 1 < x < 2; −1 < y − x < 1}. w. 11.3 Oblicz lim n→∞ Z An x2+ y2 2 n l2(dxdy), gdzie An= {(x, y); |x| ≤ 1 − n1, |y| ≤ 1 − 1n}.
w. 11.4 Obliczy¢ granic¦ caªek Z A (1 + x + y n ) n e−x−y−z l3(dxdydz). gdzie a) A = {(x, y, z); 0 < x + y < 1, z > 0}, b) A = {(x, y, z); 0 < x + y < 1, z > 0, x > 0, y > 0}. w. 11.5 (1996) Znajd¹, o ile istnieje, granic¦
lim
n→∞
Z
A
(1 − sinn(x + y))xy2 l2(dxdy), gdzie A = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1, x ≥ y2}.
w. 11.6 (1995) Niech fn(x, y) = pxn 2 + y2 I(0,∞)(xy) + (1 − x2− y2)nI(−∞,0](xy).Oblicz
limn→∞
R
Ufn(x, y)l
2(dxdy), gdzie U = {(x, y); x2+ y2 ≤ 1}.
w. 11.7 (1997) Oblicz, o ile istnieje, granic¦ lim n→∞ Z S n sinxyz n2 exp −x 2 − y2 4 − z l3(dxdydz), gdzie S = {(x, y, z); x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.
