§12. Grafy planarne 83 nii prostej? Oczywiście pętli i krawędzi wielokrotnych nie m o ż n a n a r y s o w a ć za p o m o c ą odcinków, ale K. W a g n e r w 1936 roku i I. F a r y w 1948 roku udowod nili, niezależnie od siebie, że każdy planarny graf prosty może być narysowany za pomocą odcinków; szczegóły d o w o d u m o ż n a znaleźć w książce C h a r t r a n d a i Le śniaka [8].
Nie wszystkie grafy są p l a n a r n e , co pokazuje n a s t ę p u j ą c e twierdzenie: T W I E R D Z E N I E 12.1. Grafy Kz^ i K$ są nieplanarne.
Uwaga. P o d a m y d w a d o w o d y tego twierdzenia. Pierwszy, p r e z e n t o w a n y t e r a z , jest d o w o d e m k o n s t r u k t y w n y m . D r u g i dowód, k t ó r y p o z n a m y w paragrafie 13, jest wnioskiem z twierdzenia E u l e r a .
Dowód. P r z y p u ś ć m y najpierw, że graf jest planarny. Ponieważ Kz,z ma cykl u —* v —> w —> x —> y —> z —> u długości 6, więc każdy r y s u n e k płaski musi zawierać t e n cykl, n a r y s o w a n y w p o s t a c i sześciokąta, t a k j a k na r y s u n k u 12.2.
R y s u n e k 12.2 R y s u n e k 1 2 . 3
K r a w ę d ź wz m u s i leżeć w całości w e w n ą t r z lub w całości na z e w n ą t r z tego sześciokąta. Z a j m i e m y się p r z y p a d k i e m , w k t ó r y m krawędź wz leży w e w n ą t r z sze ściokąta — d r u g i p r z y p a d e k jest p o d o b n y . P o n i e w a ż krawędź ux nie m o ż e przeciąć krawędzi wz, musi leżeć na z e w n ą t r z sześciokąta; prowadzi to do sytuacji poka zanej na r y s u n k u 12.3. W t e d y j e d n a k jest niemożliwe n a r y s o w a n i e krawędzi vy, gdyż przecięłaby o n a albo krawędź ux, albo krawędź wz. To daje n a m oczekiwaną sprzeczność.
P r z y p u ś ć m y t e r a z , że graf K5 jest planarny. P o n i e w a ż K5 ma cykl v —• w —• i - * i / - t z - > ! ) długości 5 , każdy r y s u n e k p ł a s k i tego grafu m u s i zawierać t e n cykl. n a r y s o w a n y w p o s t a c i pięciokąta, t a k j a k na r y s u n k u 12.4.
K r a w ę d ź wz musi leżeć w całości w e w n ą t r z tego pięciokąta l u b w całości na zewnątrz niego. Z a j m i e m y się tylko pierwszym p r z y p a d k i e m , gdy krawędź wz leży
118 6. Kolorowanie grafów
R y s u n e k 18.1
od vl i Vj) musi mieć s t o p i e ń 2. Mianowicie, jeśli w jest p i e r w s z y m wierzchołkiem
na d r o d z e z vx do Vj s t o p n i a większego niż 2, to m o ż n a p o m a l o w a ć wierzcho
łek w kolorem i n n y m niż c, i Cj, powodując, że wierzchołki vt i Vj nie b ę d ą już
p o ł ą c z o n e d r o g ą leżącą całkowicie w CtJ (por. rys. 18.2). M o ż e m y więc założyć, że dla dowolnych i oraz j s k ł a d o w a CtJ s k ł a d a się tylko z drogi prowadzącej od wierzchołka Vi do wierzchołka Vj.
R y s u n e k 18.2 R y s u n e k 18.3
M o ż e m y również założyć, że dwie drogi p o s t a c i dj i Cji (gdzie i ^ l) m a j ą tylko j e d e n wierzchołek wspólny, mianowicie Vj. G d y b y b o w i e m x był i n n y m wierzchołkiem w s p ó l n y m , to moglibyśmy go p r z e m a l o w a ć na kolor różny od c,,
Cj i ci (por. rys. 18.3). co spowodowałoby, że wierzchołki v\ i Vj nie byłyby już p o ł ą c z o n e drogą.
Aby zakończyć dowód, wybierzmy dwa wierzchołki niesąsiednie vi \ Vjl i niech
y będzie wierzchołkiem koloru Cj sąsiadującym z wierzchołkiem v\. Niech Z 7^ j i r o z w a ż m y wierzchołek vi. D r o g a Cu łącząca wierzchołki Vi i vi ma tę własność, że wszystkie wierzchołki na tej d r o d z e są pokolorowane kolorami Ci i c; oraz wszyst kie (oprócz vi i vi) m a j ą w składowej Cu stopień 2. Z a t e m z a m i a n a kolorów c, i c\
1Takie istnieją, gdyż graf G nie jest grafem pełnym. Ostatni fragment dowodu w oryginale
