prof. Domańskiego

(1)

Analiza dla informatyk´ow 2 DANI LI2 PaweÃl Doma´nski — szkicowe notatki do wykÃladu

WykÃlad 8

1. R´o˙zniczkowalno´s´c funkcji wielu zmiennych

Obecnie zajmiemy si¸e zdefiniowaniem poj¸ecia pochodnej odwzorowania

f : Rn_{→ R}m_{. Jak widzieli´smy proste odwzorowania to odwzorowania liniowe}

(albo odwzorowania afiniczne tj. suma odwzorowania liniowego i staÃlego). ró˙zniczkowanie mo˙zna najpro´sciej okre´slić jako lokalne (tj. w otoczeniu danego punktu=argumentu) przybli˙zanie odwzorowania odwzorowaniem a-finicznym. Pozwala to w otoczeniu danego argumentu zast¸apić dane odw-zorowanie prostszym (z maÃlym bÃl¸edem).

Zinterpretujemy najpierw poj¸ecie pochodnej funkcji jednej zmiennej tak aby poj¸ecie pochodnej funkcji wielu zmiennych “samo si¸e nasun¸eÃlo”.

Jak pami¸etamy f0_{(x) = lim} h→0 f (x + h) − f (x) h zatem f (x + h) − f (x) = f0_{(x)h + r(h)}

gdzie reszta r(h) jest “maÃla” i d¸a˙zy do zera szybciej ni˙z h → 0 czyli: lim h→0 |r(h)| |h| = 0. gdy˙z: |r(h)| |h| = |f (x + h) − f (x) − f0_(x)h| |h| = ¯ ¯ ¯ ¯f (x + h) − f (x)_h − f0(x) ¯ ¯ ¯ ¯ → 0 gdy h → 0 Odwzorowanie A : R → R dane wzorem Ah := f0_{(x)h jest liniowe i mamy}

r´owno´s´c:

f (x + h) − f (x) − Ah = r(h)

Czyli pochodna funkcji f : R → R w punkcie x jest liczb¸a ale te˙z mo˙ze by´c uto˙zsamiana z odwzorowaniem liniowym A : R → R takim, ˙ze

|f (x + h) − f (x) − Ah|

|h| =

|r(h)|

(2)

Definicja 1 Niech E ⊆ Rn _{b¸edzie zbiorem otwartym a f : E → R}m _b¸edzie

odwzorowaniem, x ∈ E. Je´sli istnieje odwzorowanie liniowe A : Rn _{→ R}m

takie, ˙ze

(∗) lim

h→0

kf (x + h) − f (x) − Ahk

khk = 0,

to m´owimy, ˙ze przeksztaÃlcenie f jest r´o˙zniczkowalne w punkcie x. Odw-zorowanie A nazywamy pochodn¸a odwzorowania f w punkcie x i oznaczamy:

f0_{(x) = A} _lub _{Df (x) = A.}

Je˙zeli f jest ró˙zniczkowalna w dowolnym punkcie x ∈ E, to mówimy, ˙ze f jest ró˙zniczkowalna na E.

Uwagi:

• Wyra˙zenie f (x + h) ma sens tylko dla takich h, ˙ze x + h nale˙zy do dziedziny E funkcji f . Zatem aby sensownie zdefiniować pochodn¸a dziedzina E musi otaczać punkt x — tj. ten punkt musi być zawarty w

E wraz z zpewnym otoczeniem, innymi sÃlowy x musi by´c we wn¸etrzu E.

• Norma w liczniku (∗) to norma w Rm _{a norma w mianowniku to norma}

w Rn_{. Nie ma znaczenia wybór konkretnej normy — równowa˙zno´sć}

norm gwarantuje, ˙ze niezale˙znie od normy funkcja b¸edzie lub nie b¸edzie r´o˙zniczkowalna i warto´s´c pochodnej si¸e nie zmieni.

• Pochodna w punkcie jest odwzorowaniem. Zatem funkcja pochodna jest funkcj¸a f0 _{: E → L(R}n_{, R}m_{). Przeciwdziedzina f}0 _{jest inna ni˙z f .} • Pochodna zdefiniowana powy˙zej nazywa sie czasem pochodn¸a zupeÃln¸a.

Natomiast Ah tj. warto´sć pochodnej w punkcie na przyro´scie h nazywa si¸e ró˙zniczk¸a odpowiadaj¸aça przyrostowi h.

• Warunek (∗) oznacza, ˙ze dla “maÃlych” h mo˙zna przybli˙zy´c przyrost funkcji f (x + h) − f (x) warto´sci¸a r´o˙zniczki f0_{(x)h tj. warto´sci¸a}

opera-tora liniowego f0_{(x) na wektorze h.}

(3)

Rozpiszmy

f (x + h) = f (x) + f0_{(x)h + r(h)}

zatem prawa strona bez reszty r(h) jest odwzorowaniem afinicznym zmiennej

h. Mo˙zna to napisa´c jeszcze:

f (w) = f (x) + f0_{(x)(w − x) + r(w − x)}

czyli funkcj¸e f w otoczeniu punktu x przybli˙zamy funkcj¸a

w 7→ f (x) + f0_{(x)(w − x)}

czyli funkcj¸a afiniczn¸a zmiennej w. Geometrycznie oznacza to, ˙ze jej wykres to wykres odwzorowania liniowego

h 7→ f0_(x)h

przesuni¸ety tak, ˙ze punkt (0, 0) przechodzi w punkt (x, f (x)). Wykres ten jest “pÃlaszczyzn¸a” i to w otoczeniu punktu x w pewnym sensie najbli˙zsz¸a wykresowi funkcji f . T¸e pÃlaszczyzn¸e nazywamy styczn¸a do wykresu funkcji

f .

Popatrzmy na wykres w pliku: styczna w8.nb

(4)

2. Elementarne wÃlasno´sci pochodnej

Czy powy˙zsza definicja jest poprawna? Aby si¸e o tym przekonać trzeba wykazać jednoznaczno´sć.

Twierdzenie 2 Niech E ⊆ Rn _{podzbi´or otwarty oraz f : E → R}m_{, x ∈ E}

dane. Niech teraz A1, A2 ∈ L(Rn, Rm) i niech równo´sć (∗) zachodzi zarówno

dla A = A1 jak i dla A = A2. W´owczas A1 = A2.

Przypomnijmy r´owno´s´c (∗):

(∗) lim

h→0

kf (x + h) − f (x) − Ahk

khk = 0

Prosty dow´od w ksi¸a˙zce SoÃltysiaka.

Podobnie jak dla pochodnych funkcji jednej zmiennej mamy:

Twierdzenie 3 Je´sli f : E → Rm _{na zbiorze otwartym E ⊆ R}n _{jest funkcj¸a}

r´o˙zniczkowaln¸a w punkcie x ∈ E, to f jest funkcj¸a ci¸agÃl¸a w punkcie x.

Dow´od: f (w) − f (x) = f0_{(x)(w − x) + r(w − x)} Gdy w → x to (w − x) → 0 czyli f0_{(x)(w − x) → 0} _{r(w − x) → 0} zatem f (w) → f (x)

i f jest ci¸agÃla w punkcie x 2

R´ownie˙z wÃlasno´sci arytmetyczne pochodnej funkcji wielu zmiennych s¸a takie same jak dla pochodnej funkcji jednej zmiennej:

Twierdzenie 4 Niech E ⊆ Rn _{b¸edzie zbiorem otwartym. Je´sli funkcje f, g :}

E → Rm _{s¸a r´o˙zniczkowalne w punkcie x ∈ E i a ∈ R to f + g oraz af s¸a}

r´ownie˙z r´o˙zniczkowalne oraz:

D(f + g)(x) = Df (x) + Dg(x), D(af )(x) = aDf (x)

Je´sli dodatkowo m = 1, tak˙ze funkcja f · g jest r´ozniczkowalna w punkcie x ∈ E, a przy zaÃlo˙zeniu g(x) 6= 0 tak˙ze funkcja f_g jest r´o˙zniczkowalna w punkcie x ∈ E oraz: D(f ·g)(x) = f (x)·g0_(x)+g(x)·f0_(x), _D µ f g ¶ (x) = g(x) · f0(x) − f (x) · g0(x) g(x)2 . 4

(5)

Dow´od jest analogiczny jak w przypadku jednej zmiennej.

PrzykÃlad: Pochodna odwzorowania liniowego A : Rn_{→ R}m_{. W´owczas:}

A(x + h) − A(x) = Ah

czyli

A(x + h) − A(x) − Ah = 0

Zatem A0_{(x) = A dla ka˙zdego x ∈ R}n_.

Pochodna funkcji staÃlej jest r´owna zeru wi¸ec pochodna funkcji afinicznej jest taka sama w ka˙zdym punkcie i r´owna odpowiedniemu odwzorowaniu liniowemu:

(6)

3. Obliczanie w praktyce pochodnych funkcji wielu zmiennych Stajemy teraz przed problemem jak w praktyce znale´zć pochodn¸a w punkcie. Wiemy, ˙ze ka˙zde odwzorowanie liniowe odpowiada pewnej macierzy wi¸ec problem ten oznacza, ˙ze chcemy nauczyć si¸e znajdywać macierze pochod-nej odwzorowania w punkcie. Jak znale´zć tak¸a macierz?

Zaczniemy od poj¸ecia pochodnej cz¸astkowej

Definicja 5 Niech f : E → Rm _{b¸edzie odwzorowaniem a E ⊆ R}n_zbiorem

ot-wartym. Niech ej oznacza j-ty wektor jednostkowy w Rn. Pochodn¸a cz¸astkow¸a

funkcji f wzgl¸edem j-tej zmiennej w punkcie x nazywamy liczb¸e: ∂f ∂xj (x) := lim t→0 f (x + tej) − f (x) t . Inne oznaczenie Djf = _∂x∂f_j.

Zwykle u˙zywamy tego poj¸ecia dla f : E → R, a wi¸ec dla funkcji o warto´sciach rzeczywistych (ew. zespolonych).

Uwaga: Pochodna cz¸astkowa f wzgl¸edem j-tej zmiennej to pochodna funkcji f (x1, . . . , xn), gdzie zmienne x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xn s¸a ustalone i

traktujemy f jako funkcj¸e jednej zmiennej xj.

Twierdzenie 6 (o macierzy pochodnej w punkcie) Niech E ⊆ Rn _bedzie

zbiorem otwartym, f : E → Rm _{bedzie funkcj¸a r´o˙zniczkowaln¸a w punkcie}

x ∈ E a f1, f2, . . . , fm b¸ed¸a jej funkcjami skÃladowymi. W´owczas macierz¸a

(wzgl¸edem baz jednostkowych w Rn_{i R}m_{) pochodnej f}0_{(x) funkcji f w punkcie}

x jest macierz pochodnych cz¸astkowych:

M =     ∂f1 ∂x1

(x)

∂f1 ∂x2

(x) . . .

∂f1 ∂xn

(x)

. . .

∂fm ∂x1

(x)

∂fm ∂x2

(x) . . .

∂fm ∂xn

(x)

   

Macierz M nazywa sie macierz¸a Jacobiego, a jej wyznacznik jakobianem i oznacza: ∂(f1,f2,...,fm)

∂(x1,x2,...,xn)

.

(7)

Teraz napiszmy: f0(x)h = Mh =       

P

_n j=1 ∂f∂x1j

(x)h

j

P

_n j=1 ∂f∂x2j

(x)h

j

. . .

P

_n j=1 ∂f∂xmj

(x)h

j        = n X j=1        ∂f1 ∂xj

(x)

∂f2 ∂xj

(x)

. . .

∂fm ∂xj

(x)

       hj Wprowad´zmy oznaczenia: dxj : Rn → R, dxj(x) = xj. W´owczas:

f

0

(x)h =

n

X

j=1







∂f1 ∂xj

(x)

∂f2 ∂xj

(x)

. . .

∂fm ∂xj

(x)







|

{z

}

=:_∂xj∂f(x)

dx

j

(h)

czyli f0_{(x)h =} n X j=1 ∂f ∂xj (x)dxj(h)

a poniewa˙z zachodzi to dla wszystkich h ∈ Rn _wi¸ec:

f

0

(x) =

n

X

j=1

∂f

∂x

j

(x)dx

j

|

{z

}

forma r´o˙zniczkowa

ÃLatwo zauwa˙zy´c, ˙ze (dx1, dx2, . . . , dxn) tworz¸a baz¸e przestrzeni form

lin-iowych L(Rn_{, R) zatem dla f : E → R (!!)}

Df (x) = n X j=1 ∂f ∂xj (x)dxj

(8)

PrzykÃlad: Pochodna funkcji i styczna do wykresu funkcji f : R2 _{→ R:} f (x, y) := e−x2_−y2 Obliczmy: ∂f ∂x = −2xe −x2_−y2 , ∂f ∂y = −2ye −x2_−y2 . Zatem f0(0, 0) = (0, 0), f0 µ 1 √ 2, 1 √ 2 ¶ = Ã − √ 2 e , − √ 2 e !

Styczna do wykresu funkcji f w punkcie (0, 0) ma r´ownanie:

z = 1 a w punkcie (_√1 2, 1 √ 2) ma r´ownanie: z = 1 e − √ 2 e µ x − √1 2 ¶ − √ 2 e µ y − √1 2 ¶

Dow´od twierdzenia o macierzy pochodnej: Ustalmy j. Poniewa˙z f jest r´o˙zniczkowalne w punkcie x wi¸ec dla h = tej, t ∈ R zachodzi:

f (x + tej) − f (x) = f0(x)(tej) + r(tej) gdzie kr(tej)k ktejk = kr(tej)k |t| = ° ° ° °r(te_t j) ° ° ° ° → 0 gdy t → 0 Zatem lim t→0 f (x + tej) − f (x) t = limt→0 µ f0(x)ej+ r(tej) t ¶ = f0(x)ej

Oczywi´scie po obydwu stronach powy˙zszej równo´sci wystepuj¸a wektory, wi¸ec równo´sć to równo´sć ich skÃladowych: czyli dla ka˙zdego k mamy:

lim t→0 fk(x + tej) − fk(x) t = k-ta skÃladowaf 0_(x)e j co ko´nczy dow´od. 2 8

(9)

Powstaje pytanie czy twierdzenie odwrotne równie˙z zachodzi: tj. czy ist-nienie wszystkich pochodnych zapewnia ró˙zniczkowalno´sć funkcji. Odpowied´z negatywna jest zilustrowana w pliku:

pochodne czastkowe w8.nb

Plik ten dotyczy funkcji:

f (x, y) :=

½ _xy

x2_+y2, dla (x, y) 6= 0;

0, dla (x, y) = 0.

Oczywi´scie dla x 6= (0, 0) wszystkie pochodne cz¸astkowe istniej¸a. Dla argu-mentu (0, 0):

f ((0, 0) + te1) − f (0, 0)

t =

f (t, 0) − f (0, 0)

t = 0

czyli ∂f_∂x(0, 0) = 0 i podobnie ∂f_∂y(0, 0) = 0. Jednak˙ze f0_{(0, 0) nie istnieje bo f}

jest nieci¸agÃla w punkcie (0, 0):

f (t, t) = t2

2t2 =

1

2 9 0 dla t → 0, t 6= 0. Mamy jednak nast¸epuj¸ace wa˙zne twierdzenie:

Twierdzenie 7 Niech E ⊆ Rn _{bedzie zbiorem otwartym. W´owczas}

odw-zorowanie f : E → Rm _{jest klasy C}1 _{(tzn. jest r´ozniczkowalna na E i}

funkcja f0 _{: E → L(R}n_{, R}m_{) jest ci¸agÃla) wtedy i tylko wtedy, gdy pochhodne}

cz¸astkowe skÃladowych:

∂fk

∂xj

: E → R

istniej¸a i s¸a ci¸agÃle dla k = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.