Bezwzględna zbieżność szeregów

(1)

Bezwzględna zbieżność

szeregów

Autorzy:

Katarzyna Czyżewska

(2)

Bezwzględna zbieżność szeregów

Autor: Katarzyna Czyżewska

DEFINICJA

Definicja 1: Bezwzględna zbieżność szeregu

Mówimy, że szereg jest bezwzględnie zbieżny, jeżeli szereg jest zbieżny.

DEFINICJA

Definicja 2: Warukowa zbieżność szeregu

Mówimy, że szereg jest warunkowo zbieżny, jeżeli szereg jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Zbadaj bezwzględną zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Zauważmy, że , zatem jest szeregiem rozbieżnym, czyli nie jest

bezwzględnie zbieżny.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1: Warunek Konieczny (WK) bezwzględnej zbieżności szeregu

Jeżeli szereg jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, to jest szeregiem zbieżnym.

∑

∞ n=1

a

n

∑

∞n=1

| |

a

n

∑

∞ n=1

a

n

∑

∞n=1

a

n

∑

∞ n=1 cos nπn

cos nπ = (−1)

n

_∑

∞

₌

n=1

∣∣

cos nπn

∣∣ ∑

∞n=1 n1

∑

∞n=1 cos nπn

∑

∞ n=1

a

n

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Zbadaj zbieżnośc szeregu . Rozwiązanie:

Ponieważ szereg ma wyrazy ujemne, gdyż funkcja przyjmuje wartości ujemne, więc badamy zbieżność bezwzględną, czyli zbieżność szeregu .

Wiemy, że szereg ma wyrazy nieujemne bo , a zatem korzystamy z kryterium porównawczego

Szereg jest szeregiem harmonicznym zbieżnym, a zatem szereg jest zbieżny bezwzględnie, czyli jest szeregiem zbieżnym.

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Dla jakiej wartości parametru szereg jest zbieżny? Rozwiązanie:

Ponieważ nie znamy wartości parametru szereg może mieć wyrazy ujemne, więc badamy zbieżność bezwzględną, czyli zbieżność szeregu .

Ponieważ , możemy skorzystać z kryterium Cauchy'ego. Liczymy odpowiednią granicę .

Zatem dla szereg będzie zbieżny bezwzględnie, czyli dla szereg

jest szeregiem zbieżnym.

Zbadajmy, czy szereg jest zbieżny dla , czyli dla lub .

Dla badany szereg ma postać i jest rozbieżny, bo i nie spełnia WK

zbieżności szeregów.

Dla badany szereg ma postać i jest rozbieżny, bo

nie istnieje i też nie spelnia WK zbieżności szeregów.

Zauważmy jeszcze, że dla badany szereg jest rozbieżny, bo również nie

spełnia WK zbieżności szeregów.

∑

∞ n=1 sin (n!)n2+1

∑

∞ n=1 sin (n!)_n2₊₁

sin x

∑

∞ n=1

∣∣

sin (n!)n2+1

∣∣

∑

∞ n=1

∣∣

sin (n!)n2₊₁

∣∣

sin (n!)_n2₊₁

∣∣

≥ 0

≤

∣∣

sin (n!) +1 n2

∣∣

_n12

∑

∞ n=1 n12

∑

∞n=1 sin (n!)n2₊₁

a

∑

∞

(2a − 1

n=1 n+1₃n

)

3n

a

∑

∞

(2a − 1

n=1 n+1₃n

)

3n

(2a − 1

∑

∞ n=1

∣∣

n+13n

)

3n

∣∣

(2a − 1

≥ 0

∣∣

n+1 3n

)

3n

∣∣

=

⋅ |2a − 1 =

lim

n→∞ n+1₃n

|(2a − 1)|

3n

−

−−−−−−−−−−

−

√

n

lim

n→∞ √n+1 n 3

|

3 |2a−1| 3 3

|2a − 1 < 3

|

3

_{a ∈ ( (1 −}

1

_{) , (}

_{+ 1))}

2

√

3

12

√

3

3 (2a − 1

∑

∞ n=1 n+13n

)

3n

|2a − 1| = 3

√

3

_{a = (1 −}

₁

₎

2

√

3

3 a = (

12

√

3

3 + 1)

a = (

1

+ 1)

2

√

3

3 ∑

∞n=1 n+1₃n

⋅

3

n

lim

n→∞

(n + 1) = ∞

a = (1 −

1

)

2

√

3

3 ∑

n=1∞ n+13n

⋅

(−3)

n

=

∑

∞_n=1

(n + 1)(−1

)

n

(n + 1) ⋅ (−1

lim

n→∞

)

n

a ∈ (−∞, (1 −

1

)) ∪ ( (

+ 1) , +∞)

2

√

3

12

√

3

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Zbadaj zbieżność szeregu .

Rozwiąznie:

Szereg jest szeregiem naprzemiennym, bo przyjmuje wartości dodatnie. Zbadamy najpierw zbieżność bezwzględną szeregu, czyli zbieżność szeregu .

Ponieważ , a funkcja ma w przedziale wartości dodatnie, więc szereg ma wyrazy nieujemne. Możemy zatem skorzystać z kryterium porównawczego oraz nierówności , dla .

Wiemy, że dla , zatem dla .

Szereg jest szeregiem harmonicznym rzędu , czyli szeregiem zbieżnym, a zatem też jest szeregiem zbieżnym.

Czyli szereg jest bezwzględnie zbieżny, zatem jest szeregiem zbieżnym.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:07:26

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=489d149a2e93e652044f572f865e32a2

Autor: Katarzyna Czyżewska

(−1 tg

∑

∞ n=1

)

n n n√1

(−1 tg

∑

∞ n=1

)

n n n√1

tg

n n√1

tg

∑

∞ n=1 n n√1

∈ (0, )

1 n n√ π2

tgx

(0, )

π2

∑

∞n=1

tg

n n√1

tgx ≤ 2x

x ∈ (0, )

π 4

≤

1 n n√ π4

n ≥ 2

tg

n n√1

≤

n n√2

n ≥ 2

∑

∞ n=1 n n√1 32

∑

∞n=1

tg

n n√1

(−1 tg

∑

∞ n=1

)

n n n√1