Obserwowalność układów dyskretnych niecałkowitego rzędu z opóźnieniem w wektorze stanu / PAR 2/2011 / 2011 / Archiwum / Strona główna | PAR Pomiary - Automatyka - Robotyka

dr inĪ. Rafaá Kociszewski Politechnika Biaáostocka

OBSERWOWALNOĝû UKàADÓW DYSKRETNYCH

NIECAàKOWITEGO RZĉDU Z OPÓħNIENIEM

W WEKTORZE STANU

W artykule rozpatrzono problem obserwowalnoĞci liniowych ukáadów dyskretnych dodatnich oraz standardowych niecaákowitego rzĊdu z jednym opóĨnieniem we wspóárzĊdnych stanu. Sformuáowano definicje i kryteria obserwowalnoĞci oraz zaproponowano metodĊ obliczania stanu początkowego rozpatrywanej klasy ukáadów. Gáówne kryteria sformuáowano dla ƒ  obserwowalnoĞci, bĊdącej n_ przypadkiem szczególnym obserwowalnoĞci.

OBSERVABILITY OF DISCRETE-TIME FRACTIONAL ORDER SYSTEMS WITH STATE DELAY

In the paper the observability problem for the positive and the standard linear discrete-time fractional order system with one state delay is presented. Necessary and sufficient conditions for ƒ  observability are formulated and proved. n_ A simple method for computing the initial condition is proposed. Considerations are illustrated by numerical examples.

1. WSTĉP

ObserwowalnoĞü, podobnie jak stabilno Ğü czy sterowalno Ğü, nale Īy do fundam entalnych pojĊü i problem ów teorii sterowania. Studium problematyki obserwowalnoĞci datuje si Ċ od roku 1960 [2]. Ogólnie obserwowalnoĞü jest wáaĞciwoĞcią ukáadu sterowania, która polega na tym, Īe na podstawie zarejestrowanego sygna áu wyjĞciowego w okreĞlonym przedziale czasu moĪna wyznaczy ü (odtworzy ü) stan pocz ątkowy tego uk áadu. Znajom oĞü stanu jest istotna przy stosowaniu algorytmu estymacji minimalnokwadratowej.

W ram ach szeroko rozum ianej teorii uk áadów dynam icznych m oĪna wyró Īniü kilka klas ukáadów. S ą to uk áady standardowe, uk áady dodatnie czy intensywnie analizowane w ostatnich latach – uk áady nieca ákowitego rz Ċdu. Uk áady standardowe s ą najogólniejsz ą klasą uk áadów dynam icznych. Podklas Ċ uk áadów standardowych stanowi ą uk áady dodatnie, w których skáadowe wektorów wym uszeĔ, warunków pocz ątkowych, stanu i wyj Ğcia przyjmują tylko warto Ğci nieujem ne. Uk áady nieca ákowitego rz Ċdu s ą to natom iast uk áady, do opisu których wykorzystuje siĊ aparat rachunku róĪniczkowo-caákowego, zapoczątkowany w XVII wieku [6].

W niniejszym artykule rozpatrywany b Ċdzie problem obserwowalnoĞci ukáadów dyskretnych dodatnich i standardowych niecaákowitego rzĊdu z opóĨnieniem w wektorze stanu.

2. SFORMUàOWANIE PROBLEMU

W artykule b Ċdą stosowane nast Ċpujące oznaczenia: n mu ( n mu )



ƒ ƒ - zbiór m acierzy wymiaru n mu o elem entach rzeczywistych (nieujem nych) oraz ƒ ƒn nu1(ƒ ƒ_n _nu1); Z_ - zbiór liczb caákowitych dodatnich; In - macierz jednostkowa wymiaru n nu .

W r ozwaĪaniach przyjm iemy definicj Ċ ró Īniczko-caáki u áamkowego rz Ċdu podan ą przez Grünwalda-Letnikova w postaci (np. [3, 5]) ( ) 0 0 1 i _{( 1)} 1 i _, j i i j j i j j j x x x j h h D D D D D Z   § · '  _{¨ ¸} © ¹

¦

¦

(1)

gdzie Dƒ jest rzĊdem (niecaákowitym), h jest okresem próbkowania, i Z  jest numerem

próbki, dla której jest obliczana ró Īniczko-caáka. Wspóáczynniki ( )n j Z w (1) s ą zdefiniowane nastĊpująco [3] ( ) 1 dla 0 ( 1) ( 1) ( 1) dla 1,2,... ! j j j j j j D Z D D D ­ °° ® _{  } °  °¯ ! (2) lub ( ) ( ) ( ) 0 1; j 1 1 j 1, j 1,2,... j D D D D Z Z Z  §  · _{¨ ¸} © ¹ (3)

WeĨmy pod uwag Ċ liniowy uk áad dyskretny z opó Ĩnieniem zm iennych stanu, opisany poniĪszymi równaniami 1 0 1 1 , , i i i i x A x A x Bu i Z D    '    (4) , i i i y Cx Du (5) gdzie , n i

x ƒ u_iƒm, y_iƒp są wektoram i stanu, wym uszenia i odpowiedzi oraz

0 n n,

A ƒ u A₁ƒn nu , Bƒn mu , Cƒp nu , Dƒp mu . Warunki początkowe dla równania (4) są nastĊpujące

, 0 n ,1.

i

x_ ƒ i (6)

UwzglĊdniając definicj Ċ Grünwalda-Letnikova (przy h 1) oraz przyjm ując bez straty ogólnoĞci rozwa ĪaĔ, Īe 0ui (B 0, D 0) otrzym amy uk áad dyskretny opisany

1 1 0 0 1 1 0 ( 1) , i j i i j j x x A x A x i Z j D      § ·   _{¨ ¸}   © ¹

¦

(7) . i i y Cx (8)

Rozwiązanie równania stanu (7) przy warunkach początkowych (6) ma postaü [4]





1 0 1 1 2 1 1 0 i i i i n i j j x x A Z I x      )  )  

¦

) (9)

gdzie macierz )i (podstawowa) speánia równanie









1 1 0 1 2 1 3 , i i n i n j i j j A DI A Z I Z     )  )   

¦

) (10) z warunkiem początkowym 0 In; i 0 ) ) dla i0. (11)

Definicja 1. Uk áad (7), (8) nazywam y obserwowalnym w q krokach, je Īeli na podstawie

znajomoĞci warto Ğci odpowiedzi y₀, , ...,y₁ yq₁ w kolejnych q krokach, m oĪemy

jednoznacznie wyznaczyü stan x0ƒn oraz x1ƒn tego ukáadu.

Definicja 2. Ukáad (7), (8) nazywamy obserwowalnym, jeĪeli istnieje liczba naturalna q Z 

(qt taka, Īe ukáad ten jest obserwowalny w q krokach. 1)

Celem niniejszej pracy jest podanie kryteriów obserwowalno Ğci uk áadu dyskretnego niecaákowitego rz Ċdu (7), (8) oraz zale ĪnoĞci na wyznaczenie stanu pocz ątkowego (6) rozpatrywanego ukáadu dynamicznego.

3. GàÓWNY REZULTAT

3.1. ObserwowalnoĞü dodatniego ukáadu niecaákowitego rzĊdu

Definicja 4. [1, 3, 4] Uk áad (7), (8) nazywam y dodatnim jeĪeli dla dowolnych nieujem nych

warunków pocz ątkowych , n 0,1

i

x_ ƒ_ i i ka Īdego nieujem nego ci ągu steruj ącego ,

m i

u ƒ iZ, zachodzi xiƒn, yiƒp dla wszystkich iZ.

JeĪeli

to wspóáczynniki (3) są nieujemne, tj. [4] ( ) _{( 1)}j 1 _{0, 1,2,...} j j j j D D Z _Z _  § ·_! ¨ ¸ © ¹ (13) JeĪeli 0 D 1 oraz 0 1 2 ( ) n n, ( ) n n, A DI ƒ_u A Z I ƒ_u (14) to macierze (10) mają wszystkie elementy nieujemne, tj. [4]

, . n n

i i Z

u

 

) ƒ  (15)

Twierdzenie 1. [4] Ukáad (7), (8) dla 0 D 1 jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy

0 1 2

( ) n n, ( ) n n, p n.

A DI ƒ_u A Z I ƒ_u Cƒ_u Ŷ (16) Podstawiając (9) do równania wyjĞcia (8) otrzymamy





0 1 1 2 1.

i i i

y )C x  )C _ A Z I x_ (17) Dokonując nastĊpnie podstawieĔ dla i 0,1,...,q w (17) otrzymamy 1

0q q 0, y S x (18) gdzie 0 1 1 0 1 2 0 2 2 2 2 1 1 2 0 0 1 1 1 2 1 2 0 ( ) ( ) , , . ( ) q qp qp n n q q q q y C y C C A I x y C C A I y S x x y C C A I Z Z Z u        ª º ª º « » « _{) ) } » « » « » _{ª º} « »ƒ « ) )  »ƒ _{« »}ƒ « » « » _{¬ ¼} « » « » « » « _{) ) } » ¬ ¼ ¬ ¼  # # # (19)

Niech ek (k 1,2,...,n) bĊdzie k-tym wierszem macierzy jednostkowej In oraz a!0. Wiersz k

ae nazywam y wierszem m onomialnym (tylko jeden elem ent jest dodatni, pozosta áe s ą równe zero).

Twierdzenie 2. Uk áad dodatni (7), (8) jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy z

macierzy Sq o postaci (19) moĪna wybraü 2n liniowo niezaleĪnych wierszy monomialnych.

Dowód. Dowód wynika bezpoĞrednio ze wzoru (18) oraz definicji 1. Znaj ąc ciąg odpowiedzi

(8) wtedy i tylko wtedy, gdy m acierz Sq (19) zawiera 2n liniowo niezale Īnych wierszy

monomialnych. Ŷ

Przykáad 1. Zbadaü obserwowalnoĞü dodatniego ukáadu niecaákowitego rzĊdu z opóĨnieniem

(7), (8) o macierzach 0 1 0.5 0 0.8 0.125 0 0.25 0.142 0 0 0 0.333 0 , 0 0.1 0 , . 0 0.333 0 0 0 0.5 0.17 0 0.125 A A C   ª º ª º ª º « _ » « » _« » « » « » _{¬ ¼} «  » «  » ¬ ¼ ¬ ¼ (20) W rozpatrywanym ukáadzie n 3, p 2.

Na podstawie twierdzenia 1 dla rzĊdu D 0.5 mamy

3 3 3 3 0 1 2 0 0 0.80 0 0 0.25 0 0.17 0 , 0 0.225 0 . 0 0 0 0.17 0 0 A ID u A Z I u ª º ª º « » « »  _{« »}ƒ  _{« »}ƒ « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ (21) przy czym (0.5) 2 2 (1 0.5)0.5 0.125.₁ Z Z  t

Rozpatrywany uk áad o m acierzach (20) jest dodatni dla rz Ċdu D 0.5. àatwo m oĪna sprawdziü, Īe dla 0 D 0.5 lub 0.5 D 1 warunki twierdzenia 1 nie bĊdą speánione. Sprawdzimy czy rozpatrywany ukáad dodatni jest obserwowalny w q 3 krokach. Obliczając macierz (19) otrzymamy 3 1 0 1 2 3 2 1 1 2 3 0.142 0 0 0 0 0 0 0.333 0 0 0 0 0 0 0 0.113 0 0 0.035 ( ) 0 0.056 0 0 0.075 0 ( ) 0 0 0.035 0.019 0 0 0 0.084 0 0 0.012 0 q C S S C C A I C C A I Z Z ª º « » « » ª º _{« »} « _{) ) } » _{« »} « » _{« »} « ) )  » ¬ _{¼ « »} « » ¬ ¼ (22) przy czym 2 0 3 1 0 3 2 1 1 2 3 0 0 0 0.80 0 0 0.25 , 0 0.17 0 , ( ) 0 0.25 0 , 0 0 0 0.17 0 0 I A DI A Z I ª º ª º « » « » ) )  _{« »} ) )   ) _{« »} « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ (23) Macierz (22) nie zawiera 2n 6 liniowo niezale Īnych wierszy m onomialnych. Zawiera ona tylko 2 takie wiersze. Rozpatrywany uk áad nie jest obserwowalny. àatwo moĪna sprawdziü, Īe w wi Ċkszej liczbie kroków q uk áad tak Īe nie b Ċdzie spe ániaá warunków twierdzenia 2. ZauwaĪmy, Īe do spe ánienia warunku twierdzenia 2 potrzeba, aby m acierz 6 6

3

S ƒ_u (22) byáa m onomialna, co w ogólnym przypadku jest bardzo trudne do spe ánienia. W uk áadach dyskretnych niecaákowitego rzĊdu z opó Ĩnieniem istnieje wobec tego podobny problem jak

w przypadku ukáadów caákowitego rzĊdu [2]. Wynika on z faktu, Īe wystĊpujący w równaniu (18) wektor x₀ jest tzw. wektorem zupe ánego stanu pocz ątkowego, który sk áada si Ċ z chwilowych stanów pocz ątkowych (6). W celu jednoznacznego odtworzenia sk áadowych wektora (19) b Ċdziemy rozpatrywa ü tzw. n



ƒ obserwowalnoĞü, czyli obserwowalno Ğü wzglĊdem poszczególnych skáadowych x₀ (19).

Definicja. 4. Ukáad dodatni (7), (8) nazywam y n



ƒ obserwowalnym w q krokach, jeĪeli na podstawie znajomoĞci wartoĞci odpowiedzi y₀, , ...,y₁ yq₁ tego ukáadu w kolejnych q krokach,

moĪemy jednoznacznie wyznaczyü: a) stan ₀ n

x ƒ_ przy zaáoĪeniu x_1 0, b) stan ₁ n

x_ ƒ_ przy zaáoĪeniu x₀ 0.

Definicja 5. Ukáad dodatni (7), (8) nazywam y n



ƒ obserwowalnym, je Īeli istnieje liczba naturalna q Z  (qt1), taka Īe uk áad ten jest obserwowalny w q krokach (zgodnie

z definicją 4).

UwzglĊdniając wzory (17) - (19) oraz zaáoĪenia wynikające z definicji 4, otrzymamy:

0q q 0, y S x (24) 0q q 1, y S x_ (25) gdzie 0 1 1 2 2 0 0 1 1 0 1 0 1 2 2 1 1 2 0 1 1 2 1 2 , , , 0 ( ) ( ) , , , ( ) q qp qp n n q q q q qp qp n n q q q y C y C y C y S x y C y y C A I y C A I y S x y C A I Z Z Z u      u       ª º ª º « » « ₎ » « » « » « »ƒ « ) »ƒ ƒ « » « » « » « » « » « ₎ » ¬ ¼ ¬ ¼ ª º ª º « » « _{) } » « » « » « »ƒ « )  »ƒ ƒ « » « » « » « » « » « _{) } » ¬ ¼ ¬ ¼ # #   # # (26)

przy czym odpowiedĨ ₀q

y jest wywoáana warunkiem początkowym x₀, natomiast odpowiedĨ

0q

Twierdzenie 3. Uk áad dodatni (7), (8) jest n 

ƒ obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy z macierzy Sq oraz Sq o postaci (26) m oĪna wybra ü n liniowo niezale Īnych wierszy

monomialnych.

Dowód. Dowód jest podobny jak w twierdzeniu 2. Ŷ Lemat 1. JeĪeli uk áad (7), (8) jest n



ƒ obserwowalny, to jest on obserwowalny w q krokach, gdzie qt E n v[ / ], przy czym [ / ]E n v oznacza najm niejszą liczb Ċ ca ákowitą wiĊkszą lub równ ą /n v, gdzie v jest liczb ą liniowo niezale Īnych wierszy m acierzy C tego ukáadu.

Dowód. Ka Īda m acierz C)k, 0k ,1,...,q1 w m acierzy Sq (26) oraz ka Īda m acierz

1 2

( ),

l

C) A Z I 0l ,1,...,q2 w m acierzy S_q (26) m oĪe m ieü co najwy Īej v liniowo niezaleĪnych wierszy m onomialnych. Je Īeli wi Ċc uk áad dodatni (7), (8) jest

obserwowalny to N l Ŷ v.

Twierdzenie 4. Je Īeli uk áad dodatni (7), (8) jest n 

ƒ obserwowalny to znaj ąc ci ąg odpowiedzi ₀q qp

y ƒ_ oraz y₀qƒ_qp mo Īemy nieujem ny stan pocz ątkowy x₀ƒn_ oraz

1 n

x_ ƒ_ tego ukáadu wyznaczaü odpowiednio ze wzorów

1 0 qT q qT 0q, x ¬ªS S º_¼ S y (27) 1 1 qT q qT 0q. x_ ¬ªS S  º_¼ S y  (28)

Dowód. JeĪeli istnieje takie q, Īe rządSq n oraz rządSq n to wtedy m acierz T

q q

S S oraz

T

q q

S S  jest nieosobliwa. Podstawiaj ąc (24) i (25) do (27) i (28) otrzym amy odpowiednio

1

0 [ qT q] qT q 0 0

x S S  S S x x oraz x₁ [S S _qT _q]1S S x _qT _{q 1} x_1 co koĔczy dowód twierdzenia. Ŷ

Przykáad 2. NaleĪy zbadaü n



ƒ obserwowalnoĞü ukáadu rozpatrywanego w przyk áadzie 1, sprawdzając warunki twierdzenia 3 zgodnie z zaáoĪeniami definicji 4.

Aby okre Ğliü liczb Ċ kroków q wykorzystam y lem at 1. Zgodnie z tym lem atem m amy [ / ] 2.

qtE n v Oznacza to, Īe rozpatrywany uk áad m oĪe by ü obserwowalny w q 2 krokach. Wyznaczając macierze Sq, Sq (26) przy q 2 otrzymamy, Īe warunki twierdzenia

6 3 2 1 2 0.142 0 0 0 0.333 0 0 0 0.113 , 0 0.056 0 0 0 0.035 0 0.084 0 q C S S C C u  ª º « » « » ª º _{« »} « ₎ » _{« »ƒ} « » « » « ) » ¬ _{¼ « »} « » ¬ ¼ 6 3 2 0 1 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.035 ( ) . 0 0.075 0 ( ) 0.019 0 0 0 0.012 0 q S S C A I C A I Z Z u  ª º « » « » ª º « » « _{) } » _ƒ « » « » _{« »} « )  » ¬ _{¼ « »} « » ¬ ¼   ₍₂₉₎

Macierze (29) zawierają n 3 liniowo niezaleĪne wiersze monomialne. Rozpatrywany ukáad niecaákowitego rzĊdu o macierzach (20) jest obserwowalny.

Niech odpowiedĨ ukáadu przy x0 z0 oraz x1 0 ma postaü,

>

@

2 0 0 0.284 0.333 0.341 0.056 0.106 0.084 T q y y (30)

natomiast przy x1 z0 oraz x0 0 postaü odpowiedzi bĊdzie nastĊpująca

>

@

2 0 0 0 0 0.142 0.149 0.019 0.025 . T q y y (31)

àatwo moĪna sprawdziü, Īe macierze 1

2 2 2

[ T ] T

S S  S , [S S _{2 2}T ]1S zawierają elementy nieujemne. ₂T Dokonując podstawieĔ w (27), (28) i uwzglĊdniając (30) oraz (31) otrzymamy

1 1 _{2 3 2 3} 0 2 2 2 0 1 2 2 2 0 2 1 1 , 2 . 3 4 T T T T x S S  S y _ x_ S S  S y _ ª º ª º « » _{ª º} « » ª º ƒ ƒ ¬ ¼ « » ¬ ¼ « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼   _{  (32)}

Rozpatrywany ukáad dodatni niecaákowitego rzĊdu jest obserwowalny w q 3 krokach.

3.2. ObserwowalnoĞü standardowego ukáadu niecaákowitego rzĊdu

WeĨmy pod uwagĊ ukáad o równaniach (7), (8).

Twierdzenie 5. Ukáad (7), (8) jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba

0 n

x ƒ , x_1ƒn tego uk áadu, przy znanym ci ągu odpowiedzi y₀q mo Īna wyznaczy ü ze wzoru 1 0 0 1 . T T q q q q x S S S y x   ª º _{ª º} « » ¬ ¼ ¬ ¼ (33)

Dowód. Dowód jest podobny jak w twierdzeniu 4. Ŷ

Przykáad 3. NaleĪy zbadaü obserwowalnoĞü ukáadu dyskretnego z opóĨnieniem o macierzach

(20), rozpatrywanego w przykáadzie 1.

W przykáadzie 1 stwierdzono, Īe ukáad o m acierzach (20) jest dodatni dla D 0.5. Oznacza to, Īe przyjm ując 0 D 0.5 lub 0.5 D 1 ma my u káad standardowy. Zbadam y obserwowalnoĞü tego ukáadu przyjmując D 0.2.

àatwo sprawdzi ü, Īe m acierz Sq (19) przy q (przyk áad 1 ,2) nie m a pe ánego rz Ċdu 3

kolumnowego. Obliczając Sq (19) przy q 4 mamy

1 0 1 2 4 2 1 1 2 3 2 1 2 0.142 0 0 0 0 0 0 0.333 0 0 0 0 0 0.042 0 0.013 0.006 0 0.035 ( ) 0 0.043 0 0 0.059 0 ( ) 0.006 0 0.032 0.02 0 0.015 ( ) 0 0.065 0 0 0.007 0 0.068 0 0 0.05 0 0.003 0 0.016 0 0 0.0118 0 q C C C A I S S C C A I C C A I Z Z Z ª « « «  ª º « « _{) ) } » _ « « » « ) )  »   « _{) ) } » _ ¬ ¼  ¬ . º » » » » » « » « » « » « » « » « _»¼ (34)

PoniewaĪ rząd S₄ 2n 6 wiĊc rozpatrywany standardowy ukáad dyskretny dla D 0.2 jest obserwowalny w q 4 krokach.

Niech odpowiedĨ ukáadu zarejestrowana w q krokach ma postaü 4

>

@

4 0 0 0.028 0.333 0.391 0.076 0.127 0.05 0.02 0.039 . T q y y  (35)

Korzystając ze wzoru (33) przy macierzy (34) oraz (35) otrzymamy

>

@

1 0 4 4 4 4 0 1 2 1 3 1 2 4 .T T T x S S S y x   ª º _{ª º} « » ¬ ¼ ¬ ¼ (36) Wobec tego

>

@

>

@

0 2 1 3 , 1 1 2 4 . T T x x_ (37)

4. PODSUMOWANIE

W pracy rozpatrzono problem obserwowalno Ğci liniowych uk áadów dyskretnych dodatnich oraz standardowych nieca ákowitego rz Ċdu z jednym opó Ĩnieniem. Podano definicje oraz sformuáowano kryteria obserwowalno Ğci. Zaproponowano prost ą metodĊ wyznaczania stanu początkowego rozpatrywanej klasy ukáadów dynamicznych.

Kryteria obserwowalnoĞci dla ukáadu dodatniego uzyskano rozpatrując n 

ƒ obserwowalnoĞü tj. obserwowalno Ğü chwilow ą wzgl Ċdem poszczególnych sk áadowych wektora zupe ánego stanu początkowego.

Przedstawione rozwa Īania m oĪna uogólni ü na przypadek dodatniego jak i standardowego ukáadu nieca ákowitego rz Ċdu z wielokrotnym i opó Ĩnieniami zm iennych stanu i/lub sterowania.

Praca naukowa finansowana ze Ğrodków Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa WyĪszego.

5. BIBLIOGRAFIA

1. Guermah S., Djennoune S., Bettayeb M.: Controllability and observability of linear discrete-time fractional-order system. Int. J. Appl. Math. Com put. Sci. Vol. 18, No. 2, 2008, pp. 213-222.

2. Kalman R. E.: On the general theory of control system. Proc. of the 1 st _{W orld IFAC}

Congress, London: Butterworth, 1960.

3. Kaczorek T.: Reachability and controllability to zero of positive factional discrete-time systems. Machine Intelligence and Robotic Control. vol. 6, no. 4, pp. 139-143, 2004. 4. Kaczorek T.: Wybrane zagadnienia teorii ukáadów niecaákowitego rzĊdu. Oficyna W yd.

Politechniki Biaáostockiej, Biaáystok 2009.

5. Kociszewski R.: SterowalnoĞü i obserwowalnoĞü liniowych stacjonarnych ukáadów dodatnich dyskretnych z opóĨnieniami. Rozprawa doktorska, Politechnika Bia áostocka, Biaáystok 2008.

6. Miller K.S. Ross B.: An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. Willey, New York 1993.

7. Trzasko W.: Reachability and controllability of positive fractional discrete-time systems with delay. Journal and Automation, Mobile Robotics and Intelligent Systems, vol. 2, no. 3, pp. 43-47, 2008.

8. Vinagre B. M.: Fractional Calculus Fundamentals. Tutorial W orkshop #2. Fractional Calculus Applications in Autom atic Control and Robotics, 41 st IEEE Conf. on Decision and Control, Las Vegas, USA 2002.