Mieczysław Cichoń
prof. UAM dr hab. Mieczysław Cichoń 2019/20201
Poprawność metody Fouriera.
Cała - opisana wcześniej - metoda będzie prawdziwa pod pewnymi warunkami. Jedne z nich, co naturalne, dotyczą założeń o funkcjach występujących w zagadnieniu, inne do-tyczą problemu zbieżności uzyskanego szeregu oraz szeregów pierwszych i drugich jego pochodnych - dla uzyskanie rozwiązania klasycznego muszą być jednostajnie zbieżne. Po-damy teraz proste warunki przy których zbieżność taka zachodzi.
Przypomnijmy, że badając zagadnienie struny uzyskaliśmy
u(x, t) = ∞ X n=1 un(x, t) = ∞ X n=1 Ancos( anπ l t) + Bnsin( anπ l t) sin(nπ l x), gdzie An= 2 l Z l 0 ϕ(s) sin(nπ l s)ds, Bn= 2 anπ Z l 0 ψ(s) sin(nπ l s)ds. Oczywiście |un(x, t)| ¬ |An| + |Bn|. Obliczamy pochodne ∂ ∂tun(x, t) = anπ l − Ansin( naπ l t) + Bncos( naπ l t) sin(nπ l x), wynika, że |∂ ∂tun(x, t)| ¬ naπ l |An| + |Bn| .
Podobnie możemy zbadać drugie pochodne:
∂2 ∂t2un(x, t) ¬ naπ l 2 |An| + |Bn| ; ∂ ∂xun(x, t) ¬ nπ l |An| + |Bn| ∂2 ∂x2un(x, t) ¬ nπ l 2 |An| + |Bn| .
To jednak pochodne wyrażeń pod znakiem szeregu, my musimy zastosować twierdzenie o różniczkowalności szeregów funkcyjnych. Aby uzyskać jednostajną zbieżność wspomnia-nych wyżej szeregów wystarczy pokazać (kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżnosci szeregów funkcyjnych!), że zbieżne są szeregi liczbowe
∞ X n=1 nk|An| oraz ∞ X n=1 nk|Bn|, dla k = 0, 1, 2.
Oczywiście (ale właściwie dlaczego?) wystarczy pokazać zbieżność tych szeregów dla
k = 2. Pokażemy teraz zbieżność szeregu
∞
X
n=1
n2|An| przy dodatkowym założeniu, że
funkcja ϕ posiada czwartą pochodną, pochodna ta jest funkcją całkowalną i ponadto
Mieczysław Cichoń
Przyjmując λn= nπ l mamy An = 2 l Z l 0 ϕ(s) sin(λns)ds.Całkując czterokrotnie przez części otrzymamy
Z l 0 ϕ(s) sin(λns) ds = − 1 λn ϕ(s) cos(λns) l 0 + 1 λn Z l 0 ϕ0(s) cos(λns) ds = 1 λn Z l 0 ϕ0(s) cos(λns) ds = 1 λ2 n ϕ0(s) sin(λns) l 0 − 1 λ2 n Z l 0 ϕ00(s) sin(λns) ds = − 1 λ2 n Z l 0 ϕ00(s) sin(λns) ds = 1 λ3 n ϕ00(s) cos(λns) l 0 − 1 λ3 n Z l 0 ϕ000(s) cos(λns) ds = − 1 λ3 n Z l 0 ϕ000(s) cos(λns) ds = − 1 λ4 n ϕ000(s) sin(λns) l 0 + 1 λ4 n Z l 0 ϕ(4)(s) sin(λns) ds = 1 λ4 n Z l 0 ϕ(4)(s) sin(λns) ds. Stąd |An| = 2 l 1 λ4 n Z l 0 ϕ(4)(s) sin(λns) ds ¬ 2l 3 n4π4 Z l 0 |ϕ(4) (s)| ds = 1 n4C, gdzie C = 2l 3 π4 Z l 0 |ϕ(4) (s)| ds. W konsekwencji ∞ X n=1 n2|An| ¬ C ∞ X n=1 1 n2,
skąd - na mocy kryterium porównawczego - wynika natychmiast, że badany szereg
∞
X
n=1
n2|An|
jest zbieżny. Analogicznie możemy pokazać, że szereg
∞
X
n=1
n2|Bn| jest zbieżny. Oczywiście,
przy przyjętych założeniach, tym bardziej szeregi
∞ X n=1 n|An| oraz ∞ X n=1 n|Bn| są zbieżne.
Na mocy kryterium Weierstrassa to pociąga jednostajną zbieżność szeregu wraz z jego po-chodnymi. Oczywiście, takie kryterium stanowi jedynie warunek wystarczający i oznacza, że metoda Fouriera przy przyjętych założeniach o funkcjach ϕ i ψ jest poprawna.
W teorii szeregów Fouriera mamy wiele innych - ZNACZNIE lepszych wyników, po-zwalających na istotne osłabienie przyjętych tu założeń o funkcjach ϕ i ψ.
