Zajecia

(1)

Zadanie 1.

Dla relacji

R = {(x, y) ∈ R × R | x + y = 1}, S = {(x, y) ∈ R × R | |x| + y = 1},

i) narysuj wykresy

R

oraz

R−1

(odp.

S

oraz

S−1

),

ii) sprawdź czy

R

(odp.

S

) jest relacją symetryczną,

iii) sprawdź czy

R

oraz

R−1

(odp.

S

oraz

S−1

) są funkcjami.

i)

−1 1 2 3 −2 −1 0 1 2 x y wykresR= R−1 −2 −1 1 2 −2 −1 0 1 2 x y wykresS −2 −1 1 2 −2 −1 0 1 2 x y wykresS−1

ii)

R

symetryczna,

S

nie,

iii)

R= R−1

funkcja,

S

funkcja,

S−1

nie.

Zadanie 2.

Dla

X= {2, 3, 6, 11, 12, 18, 24, 30}

oraz relacji

R ⊂ X × X

danej

warunkiem

mRn↔ m|n

znajdź elementy minimalne i maksymalne.

Odp.

minimalne=

{2, 3, 11}

, maksymalne=

{11, 18, 24, 30}

Zadanie 3.

Stosując indukcję matematyczną udowodnij, że

i)

0 + 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1) 2 ,

ii)

03+ 13+ . . . + n3 = n(n + 1) 2 2 ,

iii)

1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + . . . + n · n! = (n + 1)! − 1,

1

(2)

iv)

3|22n_{− 1,} Zadanie 4.

Dla funkcji

f: R → R

danej wzorem

f(x) = x2− 2x − 3

znajdź

i)

f({−1, 3}),

ii)

f([1, +∞)),

iii)

f((2, +∞)),

iv)

f((0, +∞)),

v)

f(R),

vi)

f−1(−4),

vii)

f−1(−3),

viii)

f−1((−3, +∞)),

ix)

f−1((−∞, −3]),

x)

f−1((−4, +∞)),

xi)

f−1([−5, +∞)),

xii)

f−1(R).

Czy funkcja

f

jest różnowartościowa? Czy jest „na”? Zmodyﬁkuj dziedzinę i

przeciwdziedzinę tak, aby stała się bijekcją oraz znajdź funkcję odwrotną.

Odp.

(3)

−2 −1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 x y wykres funkcjif

i)

f({−1, 3}) = {0},

ii)

f([1, +∞)) = [−4, +∞),

iii)

f((2, +∞)) = (−3, +∞),

iv)

f((0, +∞)) = [−4, +∞),

v)

f(R) = [−4, +∞),

vi)

f−1(−4) = {1},

vii)

f−1(−3) = {0, 2},

viii)

f−1((−3, +∞)) = (−∞, 0) ∪ (2, +∞),

ix)

f−1((−∞, −3]) = [0, 2],

x)

f−1((−4, +∞)) = R \ {1},

xi)

f−1([−5, +∞)) = R,

xii)

f−1(R) = R.

Funkcja

f

nie jest różnowartościowa ani „na”. Funkcja

g

o dziedzinie

[1, +∞)

oraz przeciwdziedzinie

[−4, +∞)

zadana takim samym wzorem jest bijekcją.

Funkcja odwrotna to

g−1(x) = 2+√16+4y 2 .

(4)

Zadanie 5.

Funkcję

f, g, h: R → R

dane są wzorami

f(x) = 3x−1, g(x) = x3, h(x) = max(x, 3).

Wyznacz

f◦ f, f ◦ g, g ◦ f, g ◦ h, (f ◦ g) ◦ h, f ◦ (g ◦ h)

.

Odp.(f ◦f )(x) = 3(3x−1) −1_,(f ◦g)(x) = 3x3−1,(g◦f )(x) = 33(x−1),(g◦h)(x) = max(x, 3)3_,_{((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ (g ◦ h))(x) = 3}max(x,3)3 −1

.

Zadanie 6.

Funkcja

f: R → R

dana jest wzorem

f(x) =

2 − x x <1 4 − 3x x ≥ 1

i) narysuj wykres funkcji,

ii) podaj wzór

f−1_.

iii) podaj wzór

f ◦ f. Odp.

i)

−3 −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 x y wykres funkcjif

ii)

f−1(x) = _4−x 3 x <1 2 − x x ≥ 1

iii)

(f ◦ f )(x) = 4 − 3(2 − x) x < 1 2 − (4 − 3x) x ≥ 1 = −2 + 3x x < 1 −2 + 3x x ≥ 1 = −2 + 3x

Zadanie 7.

Dla zbioru

X = {1, 2, 3, 4}

podaj przykład funkcji

f: X → X,

lub uzasadnij, dlaczego taka funkcja nie istnieje

4

(5)

i) nie jest bijekcją,

ii) jest różnowartościowa ale nie jest „na”,

iii) jest „na” ale nie jest różnowartościowa,

iv)

f 6= idX,

v)

f ◦ f = idX

ale

f 6= idX,

vi)

f ◦ f ◦ f = idX

ale

f 6= idX,

vii)

f ◦ f ◦ f ◦ f = idX

ale

f 6= idX

oraz

f ◦ f 6= idX.

Zadanie 8.

Znajdź wzór funkcji odwrotnej, określ dziedzinę i

przeciwdzie-dzinę

i)

f(x) = 1 2x−4,

ii)

f(x) = x−1 x+1,

iii)

f(x) = 2x−1_{+ 1.} Odp.

i)

f(x) = _2x1 + 2,

dziedzina

f

=

R_{\ {2}}

, przeciwdziedzina

_f

=

R_{\ {0}}

,

ii)

f(x) = 1+x_1−x,

dziedzina

f

=

R_{\ {−1}}

, przeciwdziedzina

f

=

R_{\ {1}}

,

iii)

f(x) = log₂(x − 1) + 1,

dziedzina

f

=

R

, przeciwdziedzina

_f

=

_{(1, +∞)}

.

Zadanie 9.

Wykaż, że dla

a, b, c∈ N>0

i)

max{a, min{b, c}} = min{max{a, b}, max{a, c}},

ii)

NWW(a, NWD(b, c)) = NWD(NWW(a, b), NWW(a, c)).