Ciągi rzeczywiste i teoria zbieżności

(1)

1 / 18

Analiza Matematyczna. Ci ˛

agi rzeczywiste i teoria zbie˙zno ´sci

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Ci ˛

agi rzeczywiste i teoria zbie˙zno ´sci

•Ci ˛agi rzeczywiste i teoria zbie˙zno´sci •Definicja •Ograniczone i nieograniczone •Zbie˙zno´s´c •Monotoniczne •Kryterium Cauchy’ego

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

(3)

Definicja ci ˛

agów

•Ci ˛agi rzeczywiste i teoria zbie˙zno´sci •Definicja •Ograniczone i nieograniczone •Zbie˙zno´s´c •Monotoniczne •Kryterium Cauchy’ego 3 / 18

Definicja 1. Je˙zeli ka˙zdej liczb ˛e naturalnej

1, 2, 3, . . . , n, . . .

jest podporz ˛adkowana liczba rzeczywista

x

_n, to zbiór numerowanych liczb rzeczywistych

x

1

, x

2

, x

3

, . . . , x

n

, . . .

nazywa si ˛e ci ˛agiem

rzeczywistym. Liczby rzeczywiste

x

_n nazywaj ˛a si ˛e elementami ci ˛agu

{ x

n

}

.

Przyklady

Przykład 2. _•

1 n2

= 1,

₂12

,

1 32

, . . .

, •

{ 1 + (−1)

n

} = 0, 2, 0, 2, . . .

.

(4)

Działania na ci ˛

agach

Definicja 3. 1. Ci ˛ag

{ x

_n

± y

_n

}

nazywa si ˛e sum ˛a (ró˙znic ˛a) ci ˛agów

{ x

_n

}

i

{ y

_n

}

,

2. Ci ˛ag

{ λx

_n

}

nazywa si ˛e iloczynem liczby rzeczywistej

λ

i ci ˛agu

{ x

_n

}

.

3. Ci ˛ag

{ x

_n

y

_n

}

nazywa si ˛e iloczynem ci ˛agów

{ x

_n

}

i

{ y

_n

}

. 4. Niech

y

_n

6= 0

dla

n = 1, 2, . . .

Ci ˛ag

n

xn yn

o

nazywa si ˛e ilorazem ci ˛agów

{ x

_n

}

i

{ y

_n

}

.

Uwaga 4. Je˙zeli w definicji 3.4

y

_n

= 0

tylko dla sko ´nczonej ilo´sci

n

, to mo˙zna okre´sli´c

n

xn

yn

o

(5)

Ci ˛

agi ograniczone i nieograniczone

Definicja 5. Ci ˛ag

{ x

_n

}

nazywa si ˛e ograniczonym z góry (z dołu), je˙zeli

∃M ∈ R

(

m ∈ R

), takie ˙ze ka˙zdy element ci ˛agu spełnia nierówno´s´c

x

_n

6 M

(

x

_n

>

m

).

Ci ˛ag, ograniczony z dołu i z góry nazywa si ˛e ograniczonym. Oznaczenie:

x

_n

= O(1)

(przy

n → ∞

).

Lemat 6. Ci ˛ag

{ x

_n

}

jest ograniczonym

⇐⇒ ∃A ∈ R

, takie ˙ze

∀n = 1, 2, 3, . . . |x

n

| 6 A

.

{ x

_n

}

nazywa si ˛e nieograniczonym, je˙zeli

∀A ∈ R, A > 0 ∃x

n, takie ˙ze

|x

n

| > A

.

Przykład 8. 1. Ci ˛ag

1, 2, 1, 4, 1, 6, . . . , 1, 2n, . . .

jest nieograniczonym.

(6)

Ci ˛

agi niesko ´nczenie du˙ze

{ x

_n

}

nazywa si ˛e niesko ´nczenie du˙zym, je˙zeli

∀A ∈ R, A > 0 ∃n ∈ N

, takie ˙ze

∀n > N |x

_n

| > A

. Oznaczenie:

lim

n→∞

x

n

= ∞

.

Innymi słowy: poczynaj ˛ac od pewnego

n

wszystkie

x

_n nale˙z ˛a do otoczenia niesko ´nczono´sci.

Definicja 10. _•

lim

n→∞

x

n

= +∞

je˙zeli

∀A ∈ R, A > 0 ∃n ∈ N

,

takie ˙ze

∀n > N x

_n

> A

(poczynaj ˛ac od pewnego

n

wszystkie

x

_n nale˙z ˛a do otoczenia plus niesko ´nczono´sci).

•

lim

n→∞

x

n

= −∞

je˙zeli

∀A ∈ R, A > 0 ∃n ∈ N

, takie ˙ze

∀n > N x

n

< −A

(poczynaj ˛ac od pewnego

n

wszystkie

x

n

nale˙z ˛a do otoczenia minus niesko ´nczono´sci).

Przykład 11. 1.

1, 2, 1, 4, 1, 6, . . . , 1, 2n, . . .

2.

{ (−2)

n

}

3.

n

2

(7)

Ci ˛

agi niesko ´nczenie małe

{ x

_n

}

nazywa si ˛e niesko ´nczenie małym, je˙zeli

∀ε ∈ R, ε > 0 ∃n ∈ N

, takie ˙ze

∀n > N |x

_n

| < ε

. Oznaczenia:

lim

n→∞

x

n

= 0

,

x

n

= o(1)

(przy

n → ∞

).

Innymi słowy: poczynaj ˛ac z pewnego

n

wszystkie

x

_n nale˙z ˛a do otoczenia zera.

Przykład 13. Ci ˛ag

q, q

2

, . . . , q

n

, . . .

jest niesko ´nczenie du˙zym przy

(8)

Wła ´sciw ´sci ci ˛

agów niesko ´nczenie małych

Twierdzenie 14. _• Suma niesko ´nczenie małych ci ˛agów jest ci ˛agiem niesko ´nczenie małym.

• Ró˙znica niesko ´nczenie małych ci ˛agów jest ci ˛agiem niesko ´nczenie małym.

• Iloczyn ci ˛agu ograniczonego i ci ˛agu niesko ´nczenie małego jest ci ˛agiem niesko ´nczenie małym.

• Ci ˛ag niesko ´nczenie mały jest ograniczonym.

• Iloczyn ci ˛agów niesko ´nczenie małych jest ci ˛agiem niesko ´nczenie małym.

• Je˙zeli ci ˛ag jest stałym (

x

_n

= const

) i niesko ´nczenie małym, to

x

n

= 0

.

• Je˙zeli ci ˛ag

{ x

_n

}

jest niesko ´nczenie du˙zym, to ci ˛ag

n

1 xn

o

(poprawnie okre´slony poczynaj ˛ac z pewnego

n

) jest niesko ´nczenie małym.

(9)

Ci ˛

agi zbie˙zne

{ x

_n

}

nazywa si ˛e zbie˙znym, je˙zeli istnieje liczba rzeczywista

a ∈ R

, taka ˙ze ci ˛ag

{ x

_n

− a }

jest niesko ´nczenie

małym. Liczba

a

nazywa si ˛e granic ˛a ci ˛agu. Oznaczenie

lim

n→∞

x

n

= a

lub

x

n n

−→

→∞

a.

{ x

_n

}

a ∈ R

, taka ˙ze

∀ε > 0

istnieje numer

N ∈ N

, taki ˙ze

∀n > N

zachodzi nierówno´s´c

|x

_n

− a| < ε

.

{ x

_n

}

a ∈ R

, taka ˙ze w dowolnym otoczeniu (

ε

-otoczeniu)

punktu

a

znajduj ˛a si ˛e wszystkie elementy ci ˛agu

{ x

_n

}

poczynaj ˛ac od pewnego

n

.

Definicja 18. Ci ˛ag, który nie jest zbie˙znym, nazywa si ˛e rozbie˙znym.

Przykład 19.

0, 33333 . . . 3

|

{z

}

n razy

−→

n→∞ 1 3

.

(10)

Wła ´sciwo ´sci ci ˛

agów zbie˙znych

Twierdzenie 20. _• Ci ˛ag zbie˙zny ma dokładnie jedn ˛a granic ˛e.

• Ci ˛ag zbie˙zny jest ograniczonym.

• Suma (ró˙znica, iloczyn) zbie˙znych ci ˛agów jest ci ˛agiem zbie˙znym do sumy (ró˙znicy, iloczynu) granic.

• Je˙zeli

lim

n→∞

y

n

6= 0

, to ci ˛ag

n

1 yn

o

jest okre´slony poczynaj ˛ac z pewnego

n

i jest ograniczony.

• Je˙zeli

lim

n→∞

y

n

6= 0

, i ci ˛ag

{ x

n

}

jest zbie˙zny, to iloraz

n

xn

yn

o

jest okre´slony poczynaj ˛ac z pewnego

n

i jest zbie˙znym do ilorazu granic.

• Je˙zeli

{ x

_n

}

jest zbie˙znym i poczynaj ˛ac z pewnego

n

x

_n

>

b

(

x

_n

6 b

), to

lim

(11)

Wła ´sciwo ´sci ci ˛

agów zbie˙znych, cd.

• Je˙zeli ci ˛agi

{ x

_n

}

i

{ y

_n

}

s ˛a zbie˙zne i poczynaj ˛ac z pewnego

n

x

_n

>

y

_n, to

lim

n→∞

x

n

>

n

lim

→∞

y

n.

• Je˙zeli ci ˛agi

{ x

_n

}

i

{ y

_n

}

s ˛a zbie˙zne,

lim

n→∞

x

n

= lim

n→∞

y

n

i poczynaj ˛ac z pewnego

n

x

_n

>

z

_n

>

y

_n, to ci ˛ag

{ z

_n

}

jest zbie˙znym do tej samej granicy.

(12)

Ci ˛

agi monotoniczne

Definicja 21. _• Ci ˛ag

{ x

_n

}

nazywa si ˛e rosn ˛acym, je˙zeli

x

n

< x

n+1 dla

n = 1, 2, 3, . . .

.

• Ci ˛ag

{ x

_n

}

nazywa si ˛e malej ˛acym, je˙zeli

x

_n

> x

_n+1 dla

n = 1, 2, 3, . . .

.

• Ci ˛ag

{ x

_n

}

nazywa si ˛e niemalej ˛acym, je˙zeli

x

_n

6 x

_n+1 dla

n = 1, 2, 3, . . .

.

• Ci ˛ag

{ x

_n

}

nazywa si ˛e nierosn ˛acym, je˙zeli

x

_n

>

x

_n+1 dla

n = 1, 2, 3, . . .

.

• Ci ˛ag nazywa si ˛e monotonicznym, je˙zeli jest on nierosn ˛acym lub niemalej ˛acym.

(13)

Twierdzenie o ograniczonym ci ˛

agu monotonicznym

(14)

Twierdzenie o przedziałach zst ˛epuj ˛

acych

Definicja 23. Ci ˛ag przedziałow

[a

1

, b

1

], [a

2

, b

2

], . . .

nazywa si ˛e

ci ˛agiem przedziałów zst ˛epuj ˛acych, je˙zeli

1.

a

_n

6 a

_n+1,

b

_n+1

6 b

_n dla

n = 1, 2, 3, . . .

, 2.

lim

n→∞

(b

n

− a

n

) = 0

.

Twierdzenie 24. Ci ˛ag przedziałów zst ˛epuj ˛acych ma dokładnie jeden punkt nale˙z ˛acy do ka˙zdego przedziału ci ˛agu.

(15)

Liczba

e

•Ci ˛agi rzeczywiste i teoria zbie˙zno´sci •Definicja •Ograniczone i nieograniczone •Zbie˙zno´s´c •Monotoniczne •Kryterium Cauchy’ego 15 / 18 Twierdzenie 25.

lim

n→∞

1 +

1 n

n

= e =

2, 718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 . . .

(16)

Przybli˙zone obliczenie pierwiastka

•Ci ˛agi rzeczywiste i teoria zbie˙zno´sci •Definicja •Ograniczone i nieograniczone •Zbie˙zno´s´c •Monotoniczne •Kryterium Cauchy’ego Twierdzenie 26. Niech

x

_n+1

=

1₂

x

_n

+

_xa n

,

n = 1, 2, 3 . . .

, gdzie

a > 0

,

x

1

> 0

. Wtedy

lim

n→∞

x

n

=

√

a.

Dowód. 1.

x

_n

> 0

. 2.

x

_n+1

=

√ a 2

xn √ a

+

√ a xn

>

√

a

bowiem

t + 1/t > 2

. 3. xn+1 xn

=

1 2

1 +

_xa2 n

6

1

.

Wi ˛ec ci ˛ag jest malej ˛acym (dla

n > 2

) i ograniczonym z dołu i jego granica spełnia równanie

x =

1₂

x +

a

x

(17)

lim

n→∞ t n n! •Ci ˛agi rzeczywiste i teoria zbie˙zno´sci •Definicja •Ograniczone i nieograniczone •Zbie˙zno´s´c •Monotoniczne •Kryterium Cauchy’ego 17 / 18 Twierdzenie 27.

lim

n→∞

t

n

n!

= 0.

Dowód.

1. Poczynaj ˛ac od pewnego

n

zachodzi nierówo´s´c

|t| < n + 1

. 2. xn+1

xn

=

t

n+1

< 1

poczynaj ˛ac od pewnego

n

.

Wi ˛ec ci ˛ag jest malej ˛acym poczynaj ˛ac od pewnego

n

i ograniczonym z dołu i go granica spełnia równo´s´c

x = x lim

n→∞ |t|

(18)

Dowolne ci ˛

agi. Kryterium Cauchy’ego zbie˙zno ´sci ci ˛

agu

Twierdzenie 28. Ci ˛ag

{ x

_n

}

jest zbie˙znym

Ciągi rzeczywiste i teoria zbieżności

Analiza Matematyczna. Ci ˛

agi rzeczywiste i teoria zbie˙zno ´sci

Ci ˛

agi rzeczywiste i teoria zbie˙zno ´sci

Definicja ci ˛

agów

1, 2, 3, . . . , n, . . .

x

x

, x

, x

, . . . , x

, . . .

x

{ x

}

Przyklady



= 1,

,

, . . .

{ 1 + (−1)

} = 0, 2, 0, 2, . . .

Działania na ci ˛

agach

{ x

± y

}

{ x

}

{ y

}

{ λx

}

λ

{ x

}

{ x

y

}

{ x

}

{ y

}

y

6= 0

n = 1, 2, . . .

n

o

{ x

}

{ y

}

y

= 0

n

n

o

Ci ˛

agi ograniczone i nieograniczone

{ x

}

∃M ∈ R

m ∈ R

x

6

M

x

>

m

x

= O(1)

n → ∞

{ x

}

⇐⇒ ∃A ∈ R

∀n = 1, 2, 3, . . . |x

| 6 A

{ x