4.2. MIEJSCA ZEROWE I POSTAĆ ILOCZYNOWA FUNKCJI KWADRATOWEJ
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zaleŜy od znaku
∆
.
Znak wyróŜnika
∆
>
0
∆
=
0
∆
<
0
Liczba miejsc
zerowych
dwa miejsca zerowe
a
b
x
a
b
x
2
;
2
2 1∆
+
−
=
∆
−
−
=
jedno miejsce
zerowe
a
b
x
2
0−
=
nie ma miejsca
zerowego
Przykład 4.2.1. Oblicz miejsca zerowe funkcji kwadratowej:
a)
y
=
4
x
2−
4
x
+
1
Rozwiązanie
Komentarz
1
;
4
;
4
=
−
=
=
b
c
a
( )
−
4
2−
4
⋅
4
⋅
1
=
0
=
∆
Wypisujemy współczynniki funkcji kwadratowej i obliczmy
∆
.
( )
2
1
8
4
4
2
4
0=
−
−
⋅
=
=
x
PoniewaŜ jedno miejsce zerowe, które obliczmy ze wzoru∆
=
0
,
to funkcja kwadratowa maa
b
x
2
0−
=
b)
y
=
−
x
2+
x
Rozwiązanie
Komentarz
0
;
1
;
1
=
=
−
=
b
c
a
( )
1
0
1
4
1
2−
⋅
−
⋅
=
=
∆
Wypisujemy współczynniki funkcji kwadratowej i obliczmy
∆
.
( )
( )
0
2
0
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2 1=
−
=
−
+
−
=
−
⋅
+
−
=
=
−
−
=
−
−
−
=
−
⋅
−
−
=
x
x
PoniewaŜ
∆
>
0
,
to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, które obliczmy ze wzorua
b
x
a
b
x
2
;
2
2 1∆
+
−
=
∆
−
−
=
c)
y
=
−
x
2−
2
Rozwiązanie
Komentarz
2
;
0
;
1
=
=
−
−
=
b
c
a
( ) ( )
1
2
8
4
0
2−
⋅
−
⋅
−
=
−
=
∆
Wypisujemy współczynniki funkcji kwadratowej i obliczmy
∆
.
Brak miejsc zerowych
PoniewaŜ∆
<
0
,
to funkcja kwadratowa nie ma j miejsc zerowych.Postać iloczynowa funkcji kwadratowej ( rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki
liniowe).
Znak wyróŜnika
∆
>
0
∆
=
0
∆
<
0
Postać iloczynowa
y
=
a
(
x
−
x
1)(
x
−
x
2)
y
=
a
(
x
−
x
0)
2nie ma postaci
iloczynowej
Przykład 4.2.2. Wyznacz miejsca zerowe funkcji:
a)
y
=
(
x
−
1
)(
x
+
5
)
Rozwiązanie
Komentarz
1
1=
x
x
2=
−
5
Z postaci iloczynowejy
=
a
(
x
−
x
1)(
x
−
x
2)
funkcji kwadratowej odczytujemyx
1; x
2b)
y
=
2
(
x
+
1
)
2Rozwiązanie
Komentarz
1
0=
−
x
Z postaci iloczynowej(
)
2 0x
x
a
y
=
−
funkcji kwadratowej odczytujemy 0x
c)
y
=
2
x
(
x
+
1
)
Rozwiązanie
Komentarz
0
1=
x
x
2=
−
1
Z postaci iloczynowejy
=
a
(
x
−
x
1)(
x
−
x
2)
funkcji kwadratowej odczytujemyx
1; x
2Przykład 4.2.3. Podaną funkcję zapisz w postaci iloczynowej:
a)
y
=
−
2
x
2−
x
+
1
Rozwiązanie
Komentarz
1
;
1
;
2
=
−
=
−
=
b
c
a
( )
−
1
2−
4
⋅
( )
−
2
⋅
1
=
9
=
∆
Wypisujemy współczynniki funkcji kwadratowej i obliczmy
∆
.
( )
( )
( )
( )
1
4
4
4
3
1
2
2
9
1
2
1
4
3
1
2
2
9
1
2 1−
=
−
=
−
+
=
−
⋅
+
−
−
=
=
−
−
=
−
⋅
−
−
−
=
x
x
PoniewaŜ
∆
>
0
,
to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, które obliczmy ze wzorua
b
x
a
b
x
2
;
2
2 1∆
+
−
=
∆
−
−
=
(
1
)
2
1
2
+
−
−
=
x
x
y
Zapisujemy funkcję kwadratową w postaci iloczynowej korzystając ze wzoru
(
x
x
1)(
x
x
2)
a
Przykład 4.2.4. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji kwadratowej.
Podaj wzór tej funkcji.
Rozwiązanie
Komentarz
1
;
2
21
=
−
x
=
−
x
Z wykresu funkcji odczytujemy miejsca zerowe .(
+
2
)(
+
1
)
=
a
x
x
y
Odczytanex
1; x
2wstawiamy do wzoru(
x
x
1)(
x
x
2)
a
y
=
−
−
( )
0
,
2
Z wykresu odczytujemy punkt przecięcia paraboli z osią OY(
0
2
)(
0
1
)
2
=
a
+
+
1
2
2
=
=
a
a
Współrzędne punktu
( )
0
,
2
wstawiamy zax
iy
w równaniuy
=
a
(
x
+
2
)(
x
+
1
)
i obliczamya.
(
+
2
)(
+
1
)
=
x
x
y
Zapisujemy funkcję kwadratową w postaciiloczynowej.
ĆWICZENIA
Ć
wiczenie 4.2.1. Podaj miejsca zerowe funkcji kwadratowej:
a)
(1pkt.)
y
=
2
(
x
+
3
)(
x
−
5
3
)
b) (1pkt.)
y
=
−
x
(
x
+
6
)
c)
(1pkt.)
y
=
3
(
x
−
2
)
2Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie miejsc zerowych funkcji.
1
Ć
wiczenie 4.2.2.
.Przedstaw funkcję w postaci iloczynowej:
a)
(2pkt.)
y
=
x
2−
3
x
−
4
b)(2pkt.)
y
=
−
x
2+
2
x
−
1
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1Podanie miejsc zerowych funkcji.
1
2
Zapisanie funkcji w postaci iloczynowej
1
Ć
wiczenie 4.2.3
. (3pkt.)
Napisz wzór ogólny funkcji kwadratowej , do wykresu której naleŜy
punkt
A
=
(
−
1
,
2
)
i która ma dwa miejsca zerowe
x
1=
3
;
x
2=
−
2
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1Zapisanie równania paraboli w postaci iloczynowej
1
2 Podanie współczynnika
