Dr in. Rafa Kociszewski Politechnika Biaostocka
WYJCIOWA OSIGALNO I WYJCIOWA STEROWALNO
DODATNICH UKADÓW DYSKRETNYCH UAMKOWEGO RZDU
W pracy rozpatrzono problem wyjciowej osigalnoci oraz wyjciowej sterowalnoci dodatnich dyskretnych ukadów uamkowego rzdu. Sformuowano warunki konieczne i wystarczajce wyjciowej osigalnoci oraz wyjciowej sterowalnoci (w tym wyjciowej sterowalnoci do zera). Podano wzory do wyznaczania nieujemnych sterowa, które przeprowadzaj wektor wyjcia rozpatrywanych ukadów z zerowego i niezerowego stanu pocztkowego do nieujemnego wektora kocowego. Rozwaania zilustrowano przykadami liczbowymi.
OUTPUT REACHABILITY AND OUTPUT CONTOLLABILITY OF POSITIVE FRACTIONAL DISCRETE-TIME SYSTEMS
Necessary and sufficient conditions for the output reachability and output controllability for linear positive fractional discrete-time systems are formulated and proved. Simple methods for computation of the control sequences steering the output of the fractional system from zero and nonzero initial state to the desired value of the output are presented. Considerations are illustrated by numerical examples.
1. WSTP
Wyjciowa sterowalno ukadu standardowego (niedodatniego cakowitego rzdu) zostaa zdefiniowana po raz pierwszy w pracy [7]. Kryteria wyjciowej osigalnoci i sterowalnoci dyskretnych ukadów niedodatnich oraz dodatnich cigych i dyskretnych (cakowitego rzdu) bez opónie jak i z opónieniami mona znale np. w pracach [2, 3, 5, 6]. Problematyka wyjciowej osigalnoci lub sterowalnoci ukadu dodatniego ogólnie oznacza, e dla tego ukadu bdcego w zerowym stanie pocztkowym lub dowolnym nieujemnym stanie pocztkowym naley osign zadany nieujemny wektor wyjcia yf p.
W ostatnim okresie mona zaobserwowa wzrost zainteresowania ukadami uamkowego rzdu. Podstawy rachunku uamkowego rzdu oraz wybrane zastosowania rachunku uamkowego mona znale np. w pracach [8-13] oraz cytowanej tam literaturze. W pracy [1] podano warunki sterowalnoci i obserwowalnoci dyskretnych ukadów uamkowego rzdu. Problemowi osigalnoci i sterowalnoci do zera ukadów dodatnich uamkowego rzdu jest powicona praca [4] natomiast w publikacji [14] rozpatrywano problem osigalnoci i sterowalnoci ukadu dodatniego uamkowego rzdu z jednym opónieniem w wektorze stanu.
W niniejszej pracy zostanie rozpatrzony problem wyjciowej osigalnoci oraz wyjciowej sterowalnoci dodatnich ukadów dyskretnych uamkowego rzdu bez opónie. Zostan sformuowane warunki konieczne i wystarczajce odpowiednio wyjciowej osigalnoci i wyjciowej sterowalnoci. Zostan take podane proste wzory do wyznaczenia sterowania przeprowadzajcego wektor wyjcia rozpatrywanego ukadu z zerowego oraz niezerowego stanu pocztkowego x do dowolnego nieujemnego stanu kocowego0 yf.
2. WPROWADZENIE
W pracy bd stosowane nastpujce oznaczenia: N mu (N mu ) - zbiór macierzy rozmiaru
N mu o elementach rzeczywistych (nieujemnych) oraz 1 1
( );
N Nu N Nu
Z - zbiór liczba cakowitych dodatnich; I - macierz jednostkowa rozmiaru N NuN.
Przyjmiemy w dalszych rozwaaniach definicj róniczko-caki uamkowego rzdu podan przez Grünwalda-Letnikova w postaci (np. [4])
0 1 ( 1) , k n j k n k j j n x x j h § · ' ¨ ¸ © ¹
¦
(1)gdzie nR jest uamkowym rzdem, h jest okresem próbkowania, k jest numerem Z
próbki, dla której jest obliczana róniczko-caka. Symbol Newtona w (1) ma posta
1 dla 0 ( 1) ( 1) dla 1, 2,... ! j n j n n n j j j ° § · ° ® ¨ ¸ © ¹ ° °¯ ! (2)
W dalszych rozwaaniach przyjmiemy h 1.
Wemy pod uwag liniowy ukad dyskretny opisany w przestrzeni stanu równaniami
1 , , , n k k k k k k x Ax Bu k Z y Cx Du ' (3)
gdzie ,xk N ukm, yk s wektorami stanu, wymuszenia i odpowiedzi oraz p
, N N
A u BN mu , Cp Nu , Dp mu .
Korzystajc z definicji (1) moemy równania (3) napisa w poniszej postaci
1 1 1 1 ( 1) , , k j k k j k k j n x x Ax Bu k Z j § ·¨ ¸ © ¹
¦
(4) . k k k y Cx Du (5)Twierdzenie 1. [4] Rozwizanie równania stanu (4) ma posta
1 0 1 , k k k k i i x x Bu )
¦
) (6)przy czym ) jest okrelone zalenocik 1 1 1 1 2 ( ) ( 1) , k i k N k k i i n A I n i § · ) ) ¨ ¸) © ¹
¦
(7) dla ) 0 In. 3. SFORMUOWANIE PROBLEMUUkad uamkowego rzdu (4), (5) nazywamy wewntrznie dodatnim wtedy i tylko wtedy, gdy n
k
x i ykp, k dla dowolnych warunków pocztkowychZ x0 oraz wszystkich n
cigów wymusze ukm, k [4]. Z Twierdzenie 2. [4] Jeeli 0 d ton 1, 1 ( 1)i n 0 i § · ¨ ¸! © ¹ dla i 1, 2,... (8) Jeeli1 n 2 to 1 ( 1)i n 0 i § · ¨ ¸ © ¹ dla i 2, 3,...
Twierdzenie 3. [4] Jeeli 0 dn 1 oraz A I n N N Nu , to N N k u ) dla k 1, 2,... (9)
Twierdzenie 4. [4] Jeeli 0 dn 1, to ukad (4), (5) jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy ,
N N N
A I n u BN mu , Cp Nu , Dp mu . (10)
Definicja 1. Ukad uamkowego rzdu (4), (5) nazywamy wyjciowo osigalnym w q krokach jeeli dla kadego yf p istnieje liczba naturalna q i cig sterowaZ uim,
0,1,..., 1
i q taki, e yq1 yf p dla x0 0.
Definicja 2. Ukad uamkowego rzdu (4), (5) nazywamy wyjciowo sterowalnym do zera w
q krokach, jeeli dla dowolnych nieujemnych warunków pocztkowych x0 oraz N yf 0 istnieje cig sterowa ui , 0,1,...,m i q który przeprowadza wyjcie tego ukadu do 1, zera (yf ).0
Definicja 3. Ukad uamkowego rzdu (4), (5) nazywamy wyjciowo sterowalnym w q krokach, jeeli dla dowolnych nieujemnych warunków pocztkowych x0 istnieje cigN
sterowa ui , 0,1,...,m i q taki, e1 yq1 yf p.
Celem pracy jest sformuowanie analitycznych kryteriów wyjciowej osigalnoci oraz wyjciowej sterowalnoci liniowego dodatniego ukadu dyskretnego uamkowego rzdu (4), (5). Zostanie podany prosty wzór do wyznaczania nieujemnego cigu sterujcego, który przeprowadza wektor wyjcia rozpatrywanego ukadu do dowolnego yf p.
4. ROZWIZANIE PROBLEMU
4.1. Wyjciowa osigalno
Podstawiajc wzór (6) przy zerowym warunku pocztkowym (x0 ) do równania wyjcia0 (4) przy k otrzymamy q 1 2 1 2 1 0 0 , q q q f q i i q q i y y C Bu Du R u
¦
) (11)gdzie macierz R (wyjciowej osigalnoci) oraz wektor q u (wymusze) maj postaci 0q
0 1 2 3 0 1 , ,..., , p qm, q qm. q q q q u u R C B C B CB D u u u ª º « » « » ) ) ª º ¬ ¼ « » « » ¬ ¼ # (12)
Twierdzenie 5. Ukad uamkowego rzdu (4), (5) jest wyjciowo osigalny w q krokach wtedy i tylko wtedy, gdy macierz p qm
q
R u (12) zawiera p liniowo niezalenych kolumn monomialnych.
Dowód. Z definicji 1 oraz (11) wynika, e dla kadego nieujemnego p
f
y istnieje nieujemny cig wymusze u0q qm
wtedy i tylko wtedy, gdy macierz p qm q
R u (12) zawiera monomialn macierz (w kadym wierszu i w kadej kolumnie tylko jeden element jest dodatni, pozostae s równe zero) rozmiaru pup.
Z twierdzenia 5 oraz definicji 1 wynika, e jeeli rzd D oraz macierz p Dp mu zawiera
p liniowo niezalenych kolumn monomialnych, wówczas ukad uamkowego rzdu (4), (5)
jest wyjciowo osigalny w q kroku. Liczba q nie zaley od macierzy (1 ) n n, N
A I n u
, n m
Twierdzenie 6. Jeeli rzd C oraz p D to ukad uamkowego rzdu (4), (5) nie jest 0, wyjciowo osigalny.
Dowód. Jeeli D wówczas macierz 0, Rqp qmu (12) moemy zapisa w postaci
2 , 3 ,..., , 0 . p Nm
q q q
R C¬ª) B ) B B ¼ºu (13)
Wynika z tego, e jeeli rzd C , to warunek twierdzenia 5 nie jest speniony, poniewap
rzdRq p.
Twierdzenie 7. Jeeli ukad uamkowego rzdu (4), (5) jest wyjciowo osigalny oraz 1
[ ]
T T qm p
q q q
R R R u to cig wymusze ,u 0,1,...,i i q , który przeprowadza wyjcie tego 1 ukadu ze stanu okrelonego przez zerowy warunek pocztkowy do zadanego yq1 yf p
mona wyznacza ze wzoru
1
0 .
q T T
q q q f
u R ª¬R R º¼ y (14)
gdzie wektor u ma posta podan w (12). 0q
Dowód. Jeeli istnieje taka liczba naturalna q , e rzdZ Rq to p det [R Rq qT]1z0 i macierz R R RqT[ q Tq]1 jest dobrze okrelona. Jeeli R R RqT[ q qT]1qm p u oraz yf p to
0 .
q qm
u Podstawiajc (14) do (11) otrzymamy yq1 R R R Rq qT[ q qT]1yf yf.
4.2. Przyk ad 1
Dany jest dodatni ukad uamkowego rzdu opisany równaniami (4), (5) o macierzach
0.7 0 0 0 0 1 0 0 0 0.1 1 , 0 , , . 1 0 0 1 0 0 0.6 1 A B C D ª º ª º ª º ª º « » « » « » « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ (15)
Naley wyznaczy sterowanie, które przeprowadza wyjcie tego ukadu do
1 [4 5] . T
q f
y y
W rozpatrywanym ukadzie N 1,3, m 2.p Niech rzd uamkowy n 0.2. Zgodnie z twierdzeniem 4 mamy 3 3 0.5 0 0 0 0.3 1 . 0 0 0.4 N A I n u ª º « » « » « » ¬ ¼ (16)
Obliczajc macierz osigalnoci R ze wzoru (12) przy q q otrzymamy 4
>
@
2 4 4 2 1 0.7 1 0 0 , , , , 0 0 0 1 R )C B C) B CB D ª« º»u ¬ ¼ (17) przy czym ) 1 (A I n N ), ) 2 (A I n N )) 1 IN2n .
Macierz (17) zawiera p liniowo niezalene kolumny monomialne, wic zgodnie z 2 twierdzeniem 5 rozpatrywany ukad jest wyjciowo osigalny w q krokach. atwo4 sprawdzi, e 1 4 2
4[ 4 4] .
T T
R R R u Mona zatem poszukiwane sterowanie obliczy ze wzoru
(14). Dokonujc podstawie w (14) otrzymamy
>
@
1 4 4 0 4 4 4 1.88 2.68 0 5 . T T T f u R ª¬R R º¼ y (18) Wobec tego u0 1.88, u1 2.68, u2 0, u3 5.Celem sprawdzenia otrzymanych rezultatów, wyznaczymy najpierw wektory stanu x z k
równania (4). Podstawiajc k 0,1, 2, 3 w równaniu (4) otrzymamy
1 2 3 0 0 0 0 , 2.88 , 4 , 1.88 3.44 1.37 x x x ª º ª º ª º « » « » « » « » « » « » « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ (19)
Podstawiajc (19) do równania wyjcia (5) otrzymamy
0 1 2 3 0 0 1.88 4 , , , . 1.88 2.68 0 5 y ª« º» y ª« »º y ª« »º y ª º« » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ (20)
Cig sterowa (18) dla q zosta wyznaczony poprawnie, poniewa4 yq1 yf [4 5] .T
4.3. Wyjciowa sterowalno
Rozpatrzmy najpierw problem wyjciowej sterowalnoci do zera. W tym przypadku mamy 0 0,
x z 0.yf
Twierdzenie 8. Ukad uamkowego rzdu (4), (5) jest wyjciowo sterowalny do zera w q krokach wtedy i tylko wtedy, gdy ) Wtedy q 0. ui dla 0 i 0,1,...,q1.
Dowód. Z równania wyjcia (5) wynika, e yf wtedy i tylko wtedy, gdy 0 xf oraz 0 0
i
u dla i 0,1,...,q Wobec tego dowód twierdzenia przebiega podobnie jak w pracy 1. [4], w której rozpatrywano problem sterowalnoci do zera (xf ) ukadu uamkowego 0
Wniosek 1. Sterowalno do zera (wzgldem stanu) ukadu uamkowego rzdu (4), (5) implikuje jego wyjciow sterowalnoc do zera.
W pracy [4] wykazano, e warunek, który zosta podany w twierdzeniu 8 moe by speniony wtedy i tylko wtedy, gdy q oraz 2 ) 1 (A I n N ) Zatem zgodnie z wnioskiem 1, jeeli0. w ukadzie (4), (5) zachodzi ) 1 (A I n N ) , to ukad ten jest wyjciowo sterowalny do 0 zera w q krokach. 2
Jeeli x0 z i 0 yf z wówczas podstawiajc wzór (6) do równania wyjcia (5) przy 0 k q 1 otrzymamy 2 1 1 0 2 1 0 0 , q q q f q q i i q q q i y y x C Bu Du P R u )
¦
) (21) gdzie 1 0, q q P ) x (22)za ,Rq u maj posta podan w (12). 0q
Twierdzenie 9. Ukad uamkowego rzdu (4), (5) jest wyjciowo sterowalny w q krokach wtedy i tylko wtedy, gdy jest on wyjciowo sterowalny do zera oraz wyjciowo osigalny.
Dowód. Przeprowadzenie wektora wyjcia ukadu (4), (5) do zadanego yf p mona w ogólnym przypadku zrealizowa w dwóch etapach: sprowadzenie wyjcia z x0 z do zera 0 (yf ) – spenione warunki twierdzenia 8 i nastpnie przeprowadzenie wyjcia z 0 x0 do 0 dowolnego y – spenione warunki twierdzenia 5.f Z podanych wyej rozwaa wiadomo, e jeeli q oraz 2 ) 1 (A I n N ) to ukad (4), 0 (5) jest wyjciowo sterowalny do zera. Wynika z tego, e przy q mamy 2 P2 )1 0x . W 0 tym przypadku stan pocztkowy x0 tego ukadu nie wpywa na posta sterowania N
przeprowadzajcego wyjcie ukadu (4), (5) do dowolnego yq1 yf p. Moemy na tej podstawie sformuowa ponisze twierdzenie.
Twierdzenie 10. Jeeli ukad uamkowego rzdu (4), (5) jest wyjciowo osigalny, macierz 1
[ ]
T T qm p
q q q
R R R u oraz ukad ten jest wyjciowo sterowalny do zera w q krokach, to 2 cig wymusze ,u 0,1i i , który przeprowadza wyjcie tego ukadu do zadanego
1
p
q f
y y mona wyznacza ze wzoru
1 1 0 . q T T T T q q q f q q q q f u R ¬ªR R º¼ y P R ª¬R R º¼ y (23) gdzie wektor u ma posta podan w (12). 0q
4.4. Przyk ad 2
Dany jest dodatni ukad uamkowego rzdu opisany równaniem (4), (5) o macierzach
0.3 0 1 1 0 0 , , , . 0 0.3 0 0 1 1 A «ª º» B ª º« » C «ª º» D ª º« » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ (24)
Naley zbada wyjciow sterowalno tego ukadu.
W rozpatrywanym ukadzie N 1,2, m 2.p Zauwamy, e aby ukad o macierzach (24)
spenia warunek wyjciowej sterowalnoci do zera, to rzd uamkowy musi by n 0.3 za 2.
q Otrzymamy wówczas
1 A I nN 0.
) (25)
Rozpatrywany ukad jest wic wyjciowo sterowalny do zera w q krokach wtedy, gdy 2 rzd uamkowy n 0.3.
Sprawdzimy, czy ukad o macierzach (24) i n 0.3 jest wyjciowo osigalny. Obliczajc macierz R ze wzoru (12) przy q q otrzymamy 2
>
@
2 2 2 1 0 , . 0 1 R CB D ª« º»u ¬ ¼ (26)Macierz (26) jest monomialna, wic zgodnie z twierdzeniem 5 rozpatrywany ukad jest wyjciowo osigalny. Warunki twierdzenia 9 s wic spenione i ukad uamkowego rzdu o macierzach (24) jest wyjciowo sterowalny w q krokach.2
Wyznaczymy sterowanie, które w q krokach przeprowadza wyjcie rozpatrywanego 2 ukadu ze stanu okrelonego przez stan x0 [2 1]T do yq1 yf [3 4] .T
Macierz R R R2T[ 2 2T]1 R2 oraz 2 2u P2 )1 0x wic sterowanie mona wyznacza ze 0, wzoru (23). Dokonujc podstawie w (23) otrzymamy
>
@
1 2 2 0 2 2 2 3 4 . T T T f u R ª¬R R º¼ y (27) Wobec tego u0 3, u1 4.Celem sprawdzenia uzyskanych rezultatów, wyznaczymy najpierw wektory stanu x z k
równania (4). Przyjmujc k 0,1 w równaniu (4) otrzymamy
1 2 3 4 , . 0 0 x ª º« » x ª º« » ¬ ¼ ¬ ¼ (28)
Podstawiajc (28) do równania wyjcia (5) otrzymamy 0 1 2 3 , . 4 4 y ª º« » y ª º« » ¬ ¼ ¬ ¼ (29)
Cig sterowa (27) dla q zosta wyznaczony poprawnie, poniewa2 yq1 yf [3 4] .T
5. PODSUMOWANIE
W pracy rozpatrzono problem wyjciowej osigalnoci i wyjciowej sterowalnoci dodatnich ukadów dyskretnych uamkowego rzdu. Podano definicje oraz sformuowano proste warunki konieczne i wystarczajce wyjciowej osigalnoci oraz wyjciowej sterowalnoci, w tym wyjciowej sterowalnoci do zera. Podano wzory do wyznaczania nieujemnej sekwencji sterowa (wymusze), która przeprowadza wektor wyjcia rozpatrywanego ukadu uamkowego rzdu z zerowego oraz niezerowego stanu pocztkowego x do zadanego 0 yf. Przedstawione w pracy rozwaania mona uogólni dla dodatnich jak i niedodatnich ukadów dyskretnych uamkowego rzdu z opónieniami.
Prac wykonano w ramach grantu NN 514 1939 33 finansowanego przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyszego.
6. LITERATURA
1. Dzieliski A., Sierociuk D.: Controllability and observability of fractional order discrete
state-space systems, Proc. 13th IEEE IFAC Intern. Conf. Methods and Models in
Automation and Robotics 27-30 Aug. 2007. Szczecin, Poland, IEEE Conf. No. 12459. 2. Kaczorek T.: Teoria sterowania i systemów. PWN, Warszawa 1996.
3. Kaczorek T.: Output-reachability of positive linear discrete-time systems. Proc. of 7th Int. Workshop “Computational Problems of Electrical Engineering” CPEE’06, Odessa, Ukraine, 2006, pp. 64-68.
4. Kaczorek T.: Reachability and controllability to zero of positive fractional discrete-time
systems, Machine Intelligence and Robotic Control, vol. 6, No. 4, 2007.
5. Klamka J.: Sterowalno ukadów dynamicznych. PWN, Warszawa-Wrocaw 1990
6. Kociszewski R.: Output reachability and output controllability of linear discrete-time systems with delays in state and control. Recent Advances in Control and Automation,
eds. Malinowski K., Rutkowski L., Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2008, s. 93-102.
7. Kriendler E., Sarachik P.E.: On the concepts of controllability and observability of linear
systems. IEEE Trans. on Autom. Control, vol. 9, 1964, pp. 129-136.
8. Miller K. S., Ross B.: An introduction to the fractional calculus and fractional
differential equations. Willey, New York 1993.
10. Ostalczyk P.: The non-integer difference of the discrete-time function and its application
to the control system synthesis. Int. J. Syst, Sci. vol. 31, no. 12, 2000, pp. 1551-1561.
11. Podlubny I.: Fractional differential equations. San Diego: Academic Press, 1999.
12. Reyes-Melo M.E., Martinez-Vega J.J., Guerrero-Salazar C.A., Ortiz-Mendez U.:
Modelling and relaxation phenomena in organic dielectric materials. Application of
differential and integral operators of fractional order. J. Optoel. Adv. Mat. Vol. 6, no. 3, 2004, pp. 1037-1043.
13. Sjöberg M., Kari L.: Non-linear behavior of a rubber isolator system using fractional
derivatives. Vehicle Syst. Dynam. Vol. 37, no. 3, 2002, pp. 217-236.
14. Trzasko W.: Reachability and controllability of positive fractional discrete-time systems
with delay. Journal of Autom., Mobile Robotics&Intell. Systems, vol. 2, no. 3, 2008,
