Zastosowania całek oznaczonych w fizyce

(1)

Zastosowania całek

oznaczonych w fizyce

Autorzy:

Witold Majdak

(2)

Zastosowania całek oznaczonych w fizyce

Autor: Witold Majdak

Podamy teraz niektóre z zastosowań całek oznaczonych w fizyce. Załóżmy, że pewien punkt porusza się w momencie z prędkością chwilową opisaną równaniem . Zmienną prędkość punktu w całym czasie poruszania się tego punktu określa więc pewna funkcja .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o drodze przebytej przez punkt materialny w przedziale czasu

o drodze przebytej przez punkt materialny w przedziale czasu

Drogę przebytą przez punkt w pewnym przedziale czasowym ze zmienną prędkością wyrażamy za pomocą wzoru

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Pociąg zaczyna nagle hamować w chwili i jego prędkość w chwili wynosi dopóki się nie zatrzyma. Obliczyć drogę hamowania.

Najpierw wyznaczmy czas, po którym pociąg się zatrzymał, czyli osiągnął prędkość

Rozwiązując ostatnie równanie otrzymujemy

więc pociąg zatrzyma się po sekundach. Teraz wystarczy zastosować wzór na długość drogi poruszającego się obiektu:

Zatem droga hamowania to 64 m.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: o pracy wykonanej przy przesuwaniu punktu materialnego wzdłuż

o pracy wykonanej przy przesuwaniu punktu materialnego wzdłuż

prostej

Pracę wykonaną przy przesuwaniu pewnego obiektu ze zmienną siłą po prostej , pokrywającej się z kierunkiem siły, od punktu do punktu wyrażamy wzorem

A

t

0

= v( )

v

0

t

0

A

v(t)

s

A

t ∈ [ , ]

t

1

t

2

v(t)

s = v(t) dt.

∫

t1 t2

= 0

t

0

t

v(t) = (20 − 5 )

t

23 m_s

v(t) = 0

v(t) = 20 − 5 = 0.

t

23

t

23

t

= 4,

= 8,

8 s = (20 − 5 ) dt = (20t − 5 ⋅

∫

) = 160 − 3 ⋅ 32 = 64.

0 8

t

23 3 5

t

5 3

∣∣

8 0

W

F(x)

OX

x = a

x = b

W = F(x) dx.

∫

a b

(3)

Podamy teraz wzory na obliczanie momentów statycznych i momentów bezwładności oraz środka ciężkości trapezu krzywoliniowego :

Załóżmy, że trapez jest figurą jednorodną (masa jest rozłożona na nim równomiernie), której gęstość powierzchniowa (tj. masa przypadająca na jednostkę pola) jest stała.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 3:

Twierdzenie 3: o momentach statycznych i momentach bezwładności trapezu

o momentach statycznych i momentach bezwładności trapezu

krzywoliniowego

Moment statyczny i moment bezwładności trapezu względem osi wyrażaja się za pomocą wzorów

Moment statyczny i moment bezwładności trapezu względem osi wyrażają się za pomocą wzrorów

TWIERDZENIE

Twierdzenie 4:

Twierdzenie 4: o środku ciężkości trapezu krzywoliniowego

o środku ciężkości trapezu krzywoliniowego

Środek ciężkości trapezu , którego pole wynosi jest punktem o współrzędnych zadanych wzorami

WNIOSEK

Wniosek 1: o środku ciężkości figury płaskiej

Środek ciężkości figury płaskiej danej następująco:

o polu równym ma współrzędne

T

T = {(x, y) ∈

R

2

: 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b}.

T

ρ

M

x

I

x

T

OX

= ρ

(x) dx,

= ρ

(x) dx.

M

x 1₂

∫

a b

f

2

_I

_x 1 3

∫

a b

f

3

M

y

I

y

T

OY

= ρ xf(x) dx,

= ρ

f(x) dx.

M

y

∫

a b

I

y

∫

a b

x

2

C = ( , )

x

C

y

C

T

S = f(x) dx

∫

a b

=

,

=

.

x

C M_ρSy

y

C M_ρSx

A

A = {(x, y) ∈

R

2

: (x) ≤ y ≤ (x), a ≤ x ≤ b}

_f

1

f

2

S

=

,

=

.

x

C x( (x)− (x)) dx ∫ a b f2 f1 S

y

C ( (x)− (x)) dx 1 2∫ a b f2 2 f12 S

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Znajdźmy momenty bezwładności (względem obu osi układu współrzędnych) oraz środek ciężkości jednorodnego trójkąta o gęstości którego wierzchołki mają współrzędne .

Dany trójkąt jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych zawartych w osiach układu i przeciwprostokątnej zawartej w prostej . Możemy go zatem zapisać w następujący sposób:

Policzmy więc momenty bezwładności zbioru , korzystając z odpowiednich wzorów:

Dla obliczenia współrzędnych środka ciężkości potrzebujemy znaleźć momenty statyczne względem obu osi oraz pole powierzchni trójkąta . Pamiętamy, że pole powierzchni trójkąta możemy wyznaczyć za pomocą całki:

natomiast momenty statyczne wyznaczamy ze wzorów

Środek ciężkości jest więc punktem o współrzędnych

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:55:57

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=99ec6508515c166232b9d17152501bc7

Autor: Witold Majdak

ρ = 1,

A = (0, 0), B = (2, 0), C = (0, 4)

y = −2x + 4

T = {(x, y) ∈

R

2

: 0 ≤ y ≤ −2x + 4, 0 ≤ x ≤ 2}.

T

I

x

I

y

=

1 _{3 ∫}

(−2x + 4 dx = ( − )(−2x + 4

= − (− ) =

,

0 2

)

3

1

3

1

8 )

4

∣∣

2 0

1 24 4

4

32

3 =

∫

(−2x + 4) dx = (−2 + 4 ) dx = ( −

+

) = − ⋅ + ⋅ = .

0 2

x

2

_∫

0 2

x

3

_x

2

1 2 x

4

4 3 x

3

∣∣

2 0

1 2 2

4

4 3 2

3

8

3 T

T

S = (−2x + 4) dx = (− + 4x) = −4 + 8 = 4,

∫

0 2

x

2

∣∣

2 0

M

x

M

y

=

1 _{2 ∫}

(−2x + 4 dx = (

− 8 + 16x) = (

− 32 + 32) =

,

0 2

)

2

1

2

4 3 x

3

x

2

∣∣

2 0

1

2

4 3 2

3

16

3 = x(−2x + 4) dx = (−2 + 4x) dx = ( −

∫

+ 2 ) = −

+ 8 = .

0 2

∫

0 2

x

2

2 3 x

3

x

2

∣∣

2 0

16

3

8

3 C = ( ⋅ , ⋅ ) = ( , ).

8 3 14 163 14 23 43