Kryterium Leibniza zbieżności szeregów naprzemiennych

(1)

Kryterium Leibniza

zbieżności szeregów

naprzemiennych

Autorzy:

Katarzyna Czyżewska

2019

(2)

Kryterium Leibniza zbieżności szeregów naprzemiennych

Autor: Katarzyna Czyżewska

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: Kryterium Leibniza

Kryterium Leibniza

Jeżeli ciąg jest malejący, nieujemny i , to szereg naprzemienny jest zbieżny.

Komentarz Komentarz

Kryterium Leibniza stosujemy dla szeregów naprzemiennych wtedy, gdy nie działa WK bezwzględnej zbieżności, czyli w przypadku, gdy szereg naprzemienny nie jest bezwzględnie zbieżny. Jeżeli okazuje się, że szereg, który nie jest bezwzględnie zbieżny, jest zbieżny, to mamy zbieżność warunkową tego szeregu.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Ponieważ szereg jest szeregiem naprzemiennym, badamy bezwzględną zbieżność szeregu, czyli zbieżność

szeregu .

Ponieważ szereg dla ma wyrazy nieujemne, korzystamy z kryterium porównawczego .

Szereg jest szeregiem harmonicznym rozbieżnym, zatem szereg jest rozbieżny, czyli szereg nie jest zbieżny bezwzględnie.

Będziemy teraz korzystać z Kryterium Leibniza, niech .

Ciąg jest dodatni, malejący i , czyli z kryterium Leibniza szereg jest zbieżny, a zatem jest zbieżny warunkowo.

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Zbadaj zbieżność szeregu .

Rozwiązanie: Ponieważ szereg jest szeregiem naprzemiennym, badamy bezwzględną zbieżność szeregu, czyli zbieżność szeregu .Wiemy, że z kryterium całkowego szereg jest rozbieżny, co pokazaliśmy w module kryterium całkowe zbieżności i rozbieżności szeregów przykład 1, a zatem szereg nie jest bezwzględnie zbieżny. Dla potrzeb Kryterium Leibniza, niech .Dla , ciąg jest dodatni, malejący i

, czyli z kryterium Leibniza szereg jest zbieżny, zatem jest zbieżny warunkowo.

( )

a

n

lim

n→∞

a

n

= 0

∑

∞n=1

(−1

)

n

a

n

∑

∞ n=1 (−1) n n+ n√

∑

∞ n=1 (−1) n n+ n√

=

∑

∞ n=1

∣

(−1) n n+ n√

∣

∣ ∑

∞n=1 n+ n1√

∑

∞ n=1 n+ n1√

n ≥ 1

=

≤

1 2n n+n1 n+ n1√

∑

∞ n=1 n1

∑

∞n=1 n+ n1√

∑

∞ n=1 (−1) n n+ n√

=

a

n _{n+ n}1_√

( )

a

n

lim

n→∞ _{n+ n}1_√

= 0

∑

∞n=1 (−1) n n+ n√

∑

∞ n=2 (−1) n n ln n

∑

∞ n=2 (−1) n n ln n

∑

∞ n=2 n ln n1

∑

∞n=2 n ln n1

∑

∞ n=2 (−1) n n ln n

=

a

n _{n ln n}1

n ≥ 2

( )

a

n

= 0

lim

n→∞ _{n ln n}1

∑

∞n=2 (−1) n n ln n

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Zbadaj zbieżność szeregu .

Rozwiązanie: Szereg jest szeregiem naprzemiennym, więc najpierw badamy zbieżność bezwzględną, czyli zbieżność szeregu . Ponieważ , możemy skorzystać z kryterium ilorazowego wybierając ciąg . Liczymy granicę ilorazu, korzystając ze znanej granicy .

. Szereg jest szeregiem harmonicznym rozbieżnym, czyli szereg jest rozbieżny, a zatem szereg nie jest zbieżny bezwzględnie. Niech

i będziemy korzystać z Kryterium Leibniza. Ciąg jest dodatni, malejący i , czyli z kryterium Leibniza szereg jest zbieżny, a zatem jest zbieżny warunkowo.

UWAGA

Uwaga 1:

Przy badaniu tylko zbieżności nie musimy badać bezwzględnej zbieżności szeregu.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:07:26

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=e1fb2ce3cfdb29d5feb334125175b9d5

Kryterium Leibniza zbieżności szeregów naprzemiennych