Zajecia

Egzamin z Podstaw Matematyki 4 lipca 2009 seria 1

...

Imi¦ Nazwisko Grupa Nr. indeksu

Zad 1. (12 p.)

Napisz zaprzeczenie zdania: [(p ∨ q) ⇒ r] ∧ (r ⇒ p) w taki sposób by znak negacji nie staª przed »adnym nawiasem. Dla jakich warto±ci zda« p, q i r zaprzeczenie to jest faªszywe?

Zad 2. (18 p.)

Niech An b¦dzie odcinkiem 1 +_2n1 , 3 − _n+11

. Opisz zbiory: a) ∩5 n=2An, b) ∪7n=2An c) ∩∞ n=1An, d) ∪∞n=4An. Zad 3. (18 p.)

Udowodnij lub znajd¹ kontrprzykªad na nast¦puj¡ce twierdzenia: a) ∀n∈N 5n − 6 6= n2 b) ∃t∈R t + 2 = t2+ 1

c) ∀n∈N ∃t∈R n + t = n2 d) ∃t∈R ∀n∈N t + n = n2

gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, za± R zbiór liczb rzeczywistych. Zad 4. (18 p.)

Niech ϕ : R → R b¦dzie okre±lona wzorem: ϕ(x) = x 2_{− 2x, x ≤ 0} −1 2x, x > 0 a) Napisz wzór na ϕ−1 b) Napisz wzór na ϕ ◦ ϕ. Zad 5. (18 p.)

Na zbiorze liczb naturalnych N wprowadzamy relacj¦ τ: (a, b) ∈ τ ≡ a4 = b4.

Sprawd¹ czy τ jest relacj¡: a) antysymetryczn¡ b) relacj¡ równowa»no±ci, c) porz¡dkiem. Zad 6. (16 p.) Niech g = 1 2 3_{6 8 2 10 5 9 1 3 7}4 5 6 7 8 9 10₄  h = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 7 4 5 1 9 10 6 8 2  b¦d¡ elementami grupy S10

a) Przedstaw g i h−1 _{w postaci iloczynów cykli rozª¡cznych,}

b) Oblicz rz¦dy elementów: g, h−1 _{i gh,}

c) Które z elementów: g, h i gh s¡ permutacjami parzystymi, d) Sprawd¹ czy gh = hg.

Egzamin z Podstaw Matematyki 4 lipca 2009 seria 2

...

Imi¦ Nazwisko Grupa Nr. indeksu

Zad 1. (12 p.)

Napisz zaprzeczenie zdania: [(p ∨ q) ⇒ r] ∨ (r ⇒ p) w taki sposób by znak negacji nie staª przed »adnym nawiasem. Dla jakich warto±ci zda« p, q i r zaprzeczenie to jest faªszywe?

Zad 2. (18 p.)

Niech An b¦dzie odcinkiem 1 +_2n1 , 3 − _n+11

 . Opisz zbiory: a) ∩6 n=2An, b) ∪7n=1An c) ∩∞ n=2An, d) ∪∞n=3An. Zad 3. (18 p.)

Udowodnij lub znajd¹ kontrprzykªad na nast¦puj¡ce twierdzenia: a) ∀n∈N 6 − 5n 6= n2 b) ∃t∈R t + 2 = t2+ 4

c) ∀t∈R ∃n∈N t + n = n2 d) ∃n∈N ∀t∈R t + n = n2

gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, za± R zbiór liczb rzeczywistych. Zad 4. (18 p.)

Niech ϕ : R → R b¦dzie okre±lona wzorem: ϕ(x) =  1 2x, x ≤ 0 x2+ 2x, x > 0 a) Napisz wzór na ϕ−1 b) Napisz wzór na ϕ ◦ ϕ. Zad 5. (18 p.)

Niech τ ∈ R × R b¦dzie relacj¡ okre±lon¡ wzorem: τ = {(x, y) ∈ R × R | y = |x|}

a) Narysuj wykres τ.

b) Zbadaj czy τ jest: i) relacj¡ symetryczn¡, ii) porz¡dkiem, iii) funkcj¡. c) Opisz τ−1_. Zad 6. (16 p.) Niech g = 1 2 3_{6 8 5 10 2 9 7 3 1}4 5 6 7 8 9 10₄  h = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 7 4 5 1 9 2 10 8 6  b¦d¡ elementami grupy S10

a) Przedstaw g i h−1 _{w postaci iloczynów cykli rozª¡cznych,}

b) Oblicz rz¦dy elementów: g, h−1 _{i gh,}

c) Które z elementów: g, h i gh s¡ permutacjami parzystymi, d) Sprawd¹ czy gh = hg.