Rachunek calkowy

RACHUNEK CAŠKOWY 1. Obliczy¢ caªki: 1) R x(x − 1)(x − 2) dx, 2) R (x2_{− x + 1)}2_{x dx, 3)} R x(√x−x2 3√_x) 4 √ x dx, 4) R √ x−√3_x x2 dx, 5) R _x (x2_+a2₎n dx, 6) R ₁ √ 2x−3dx, 7) R x2√2x3_{− 3 dx, 8) R xe}x2 dx, 9) R sin x cos x dx, 10) R ln x_x dx, 11) R √x 1−x4 dx, 12) R xe x_dx, 13) R x sin x dx, 14) R exsin x dx, 15) R ln x dx, 16) R (ln x)2_{dx, 17) R arc tg x dx, 18) R tg x dx,} 19) R _{sin x}1 dx, 20) R x_x24+1₊₁dx, 21) R ₁ √ 1+ex dx, 22) R √ 1 x2_+xdx, 23) R _xex (1+x)2 dx, 24) R ln(sin x) sin2_x dx, 25) R eax_{cos bx dx, 26) R e}√x_{dx, 27) R x}√_a2_{+ x}2_dx, 28) R ln(x +√1 + x2_{) dx, 29) R x ln(x + 1) dx, 30) R x}3_e−x2 dx, 31) ∗R x2√a2_{+ x}2_dx.

2. Znale¹¢ caªki uªamków prostych: a) A (x−a), A (x−a)k, k > 1 b) Bx+C (x2_+a2₎, Bx+C (x2_+a2₎n, n > 0

oraz w postaci ogólnej: c) A

(ax+b)k,

Bx+C

(x2_+px+q), ∆ < 0.

3. Obliczy¢ caªki z funkcji wymiernych: 1) R _x4₊₆₄1 dx, 2) R _2x5_+6x3₊₁ x4_+3x2 dx, 3) R _cx+d ax+bdx, 4) R x 2x2_−3x−2dx, 5) R 6x−1 3x2_−x+2dx, 6) R x−3 x2_−6x−5dx, 7) R _2x2_+9x−51 dx, 8) R _11x−1 3x2_−5x−2dx, 9) R ₁ 9x2_−12x+4dx, 10) R _9x−5 9x2_−6x+1dx, 11) R ₁ x2_+bdx, 12) R ₁ 2x2₊₉dx, 13) R _(x−k)12_+bdx, 14) R ₁ 2x2_−12x+27 dx, 15) R _x+1 2x2_+6x+5dx, 16) R x (x+1)(x+2)(x−3)dx, 17) R x3₊₁ x3_−5x2_+6xdx, 18) R 1 x3₊₁dx, 19) R _x41₊₁dx, 20) R ₁ (x+1)(x+2)2_(x+3)2 dx, 21) R ₁ x4_+x2₊₁dx, 22) R _(x2_+x+1)(x1 2_−x+1)dx, 23) R _x2₊₁ x4_+x2₊₁dx, 24) R _x4₊₁ x6₊₁dx.

4. Obliczy¢ caªki, stosuj¡c odpowiednie podstawienie: 1) R x+ q x+2 x−1+1 x3₊₂q3 x+2 x−1 dx, 2) R ₁ √ x2_+bdx, 3) R ₁ √ ax2_+bx+cdx, 4) R √ x+1−√x−1 √ x+1+√x−1dx, 5) R ₁ 1−√1−2x−x2 dx, 6) R ₁ x+√x2_+xdx, 7) R x−√x2_+3x+2 x+√x2_+3x+2dx.

5. Obliczy¢ caªki z funkcji trygonometrycznych:

1) R sin4_{x dx, 2) R cos}7_{x dx, 3) R sin}n_{x dx,}

4) R _cos3sin x_{x−cos x}dx, 5)

R ₁

sin xdx, 6)

R _sin3_x

cos4_xdx,

7) R _{sin x cos}1 4_xdx, 8) R sin 5x cos x dx, 9) R cos x cos 2x cos 3x dx,

10) R 1 sin(x+a) sin(x+b)dx, 11) R 1 2+cos xdx, 12) R 1 sin6_{x cos}6_xdx,

13) R sin x cos x_1+sin4_x dx, 14)

R _{sin x cos x} sin x+cos xdx, 15) R _sin2_x 1+sin2xdx, 16) R _a2_sin2_x+b1 2_cos2_xdx, 17) R ₁ cos x+cos adx. 1

6. Udowodni¢, »e R1 0 arc tg x x dx = 1 2 R π₂ 0 t sin tdt.

7. Pokaza¢, »e dla dowolnej funkcji ci¡gªej f : [0; a] −→ R, a > 0, zachodzi Z a 0 f (x) dx = Z a 0 f (a − x) dx.

8. Niech f : [a; b] −→ R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡ i tak¡, »e ∀x∈[a;b] f (x) ≥ 0. Pokaza¢, »e:

Z b

a

f (x) dx = 0 ⇔ f = 0.

9. Pokaza¢, »e funkcja monotoniczna okre±lona na przedziale [a; b] jest caªkowalna w sensie Riemanna.

10. Pokaza¢, »e f : [0; 1] −→ R dana wzorem:

f (x) =1 , x 6= 1 n 0 , x = 1 n n ∈ N jest caªkowalna w sensie Riemanna oraz znale¹¢ R1

0 f (x) dx.

11. Obliczy¢ dªugo±¢ :

a) póªokr¦gu o promieniu 1;

b) ªuku okr¦gu o promieniu r opatrego na k¡cie t0;

c) krzywej γ : [0; 1] −→ R2_{, γ(t) = (t, t}2_);

d) krzywej y = ln x dla x ∈ [√3; 2√2].

12. Obliczy¢ obj¦to±ci bryª powstaªych z obrotu podanych gur T wokóª wskazanych osi: a) T : x ∈ [−π 2; π 2], 0 ≤ y ≤ cos x, OX; b) T : x ∈ [0;π

2], 0 ≤ y ≤ sin x + cos x, OX;

c) T : x ∈ [0; 1], 0 ≤ y ≤ e−x_{, OY .}

13. Obliczy¢ pola powierzchni bocznych bryª powstaªych z obrotu wykresów podanych funkcji wokóª wskazanych osi:

a) f(x) = x3, 0 ≤ x ≤ 1, OX;

b) f(x) = 2√x, 0 ≤ x ≤ 1, OY . 14. Obliczy¢ caªki niewªa±ciwe:

a) R₀+∞sin x dx, b) R₁+∞ _x1αdx, c) R+∞ −∞ 1 1+x2 dx, d) R+∞ 1 1 x2 dx, e) R₁+∞1_xdx, f ) R₋₁1 √ 1 1−x2 dx, g) R+∞ 0 arc tg x 1+x2 dx. 2