M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

.

POZIOM ROZSZERZONY

13KWIETNIA2019

C

: 180

Z

1

Warto´s´c wyra ˙zenia _1+log1 23 +

1

1+log₃2 jest równa

A)−1 B) 0 C) 1 D) 2

Z

2

WektorA−→′B′ jest obrazem wektora−→ABw jednokładno´sci o ´srodku S i skali k = −1₂. Zatem A) A−→′B′ = 1₂BA−→ B)A−→′B′ = −1₂BA−→ C)A−→′B′ = 1₃BA−→ D) A−→′B′ = −1₃BA−→

Z

3

Najwi˛eksza warto´s´c funkcji f(x) =1+sin4x−cos4_{xokre´slonej dla x∈}R to

A) 1 B) √₂2 C)√2 D) 2

Z

4

Spo´sród poni ˙zszych nierówno´sci wska ˙z t˛e, któr ˛a spełniaj ˛a wszystkie liczby całkowite. A)_|2x₋15_{| >}1 B)_|4x+34| >3 C)|4x+38| >1 D)|2x−13| >3

Z

5

W rozwini˛eciu wyra ˙zenia(x+y+z)10współczynnik przy iloczynie x3y2z5jest równy A)(10₃)· (10₂)· (10₅) B)(10₃)· (10₂) C)(10₃)· (7₅) D)(10₃)· (8₂)

Z

6

Oblicz granic˛e jednostronn ˛a lim

x→−2−

x+1 log_0,4(3+x).

Z

7

Oblicz sum˛e kwadratów pierwiastków równania 3x4_−12x2_+5=0.

Wyka ˙z, ˙ze

sin(β+α)sin(β−α) = sin2β−sin2α.

Z

9

Na bokach AB, BC i CA trójk ˛ata ABC wybrano odpowiednio punkty K, L i M w ten sposób, ˙ze |BK_{| = |}BL_| i _|CL_{| = |}C M_|. Okr ˛ag opisany na trójk ˛acie KLM przecina bok AB tego trójk ˛ata w punkcie N takim, ˙ze|AN_{| < |}AK_|(zobacz rysunek).

A _B K N M L C Udowodnij, ˙ze|AN_{| = |}AM_|. 5

Dany jest niesko ´nczony ci ˛ag geometryczny(an)okre´slony dla n > 1, którego wyrazy s ˛a

nie-zerowe i iloraz q spełnia warunek: q ∈ (−1, 1). Suma S wszystkich wyrazów ci ˛agu(a_n),

su-ma S1wszystkich wyrazów ci ˛agu(an) o numerach nieparzystych oraz suma S2wszystkich

wyrazów ci ˛agu(an)o numerach parzystych s ˛a kolejnymi wyrazami ci ˛agu geometrycznego.

Oblicz q.

Z

11

Na osi liczbowej ka ˙zde dwie spo´sród 1000 kolejnych liczb naturalnych{1, 2, 3, . . . , 999, 1000}

poł ˛aczono odcinkiem. Nast˛epnie wybrano losowo jeden z tych odcinków. Oblicz prawdo-podobie ´nstwo zdarzenia polegaj ˛acego na tym, ˙ze do wylosowanego odcinka nale ˙zy liczba 307 (mo ˙ze te ˙z by´c jednym z jego ko ´nców). Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Obwód równoległoboku ABCD jest równy 26, miara jego k ˛ata rozwartego ABC jest równa 120◦, a promie ´n okr˛egu wpisanego w trójk ˛at ABD jest równy √3. Oblicz długo´sci boków

równoległoboku ABCD.

Z

13

Prosta y =ax+bjest styczna do wykresu funkcji y= x5+10x2₋7. Wyka ˙z, ˙ze a >₋15.

W sze´scian o kraw˛edzi 4 wpisano kul˛e styczn ˛a do trzech ´scian sze´scianu oraz przechodz ˛ac ˛a przez ´srodek sze´scianu. Oblicz promie ´n tej kuli.

Z

15

W trójk ˛acie ABC o polu 20 dane sa współrz˛edne dwóch wierzchołków: A = (−7,−1), B = (1, 3) oraz ´srodek S = (−2,−1) okr˛egu opisanego na tym trójk ˛acie. Wyznacz współrz˛edne

wierzchołka C.

Z

16

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których równanie x2_{+ (m−1)x−m}2₊₂₌₀

ma dwa rozwi ˛azania rzeczywiste x1i x2(x₁ 6=x₂), spełniaj ˛ace warunek

x3₁+x3₂ x₁x₂ <2.

Z

17

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które mo ˙zna wpisa´c okr ˛ag, i w któ-rych suma długo´sci dłu ˙zszej podstawy i ´srednicy okr˛egu wpisanego jest równa 6. Wyznacz wymiary tego spo´sród tych trapezów, który ma najmniejszy obwód. Oblicz ten obwód.