M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

ZADANIA

.

POZIOM ROZSZERZONY

C

: 180

Zadania zamkni˛ete

Z

1

Liczba punktów wspólnych wykresów funkcji y=x−2 i y= |log₂x| −1 jest równa

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Z

2

Liczba cos4₁₅◦_+sin4₁₅◦ _{jest równa}

A) 1 B) 7₈ C) 1₂ D) 3₂

Z

3

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pochodnej y= f′(x)funkcji y = f(x).

-5 -1 +1 +5 x -1

+1 y

y=f'(x)

Wynika st ˛ad, ˙ze

A) f(−6) < f(−5) B) f(−5) < f(0) C) f(7) > f(0) D) f(6) > f(5)

Z

4

Z talii 52 kart wylosowano jedn ˛a kart˛e. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze wylosowano dam˛e je ˙zeli wiadomo, ˙ze wylosowana karta nie jest ani kierem ani królem?

A) ₁₃1 B) ₁₂1 C) ₃₅3 D) ₃₇3

Z

5

Uzasadnij, ˙ze 5log711 ₌11log75.

Z

6

Oblicz granic˛e lim n→+_∞ _(n+3)2 n+2 − n2+1 n+3  . 3

Z

7

Zbiór A ma t˛e własno´s´c, ˙ze poprzez usuwanie z niego jednego lub dwóch elementów mo ˙zna utworzy´c 190 ró ˙znych zbiorów. Ile elementów ma zbiór A?

Z

8

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x3, która przecina o´s Ox w jednym punkcie:(−4, 0).

Z

9

Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli a<b 6 ₋2, to a3 2+a4 >

b3 2+b4.

Z

10

Na bokach BC, AC i AB trójk ˛ata ABC wybrano odpowiednio punkty D, E i F. Wyka ˙z, ˙ze je-˙zeli okr˛egi opisane na trójk ˛atach AFE i BDF s ˛a styczne, to punkt F le ˙zy na okr˛egu opisanym na trójk ˛acie CED.

Z

11

Przek ˛atna AC równoległoboku ABCD tworzy z jego bokami k ˛aty o miarach 30◦_{i 45}◦_{. Oblicz}

stosunek |BD_|2

|AC_|2 kwadratów długo´sci przek ˛atnych tego równoległoboku.

Z

12

Punkt S jest punktem przeci˛ecia si˛e przek ˛atnych równoległoboku ABCD, a punkt P jest takim punktem boku BC tego równoległoboku, ˙ze |BP_| : _|PC_{| =} 3. Oblicz współrz˛edne spodka wysoko´sci opuszczonej z wierzchołka A tego równoległoboku na prost ˛a CD, je ˙zeli

−→ AB_{= [}4, 4_],DS−→ _{= [}3,₋3_]i P ₌ 7 2, 72
. 9

Z

13

Dany jest niesko ´nczony ci ˛ag geometryczny(a_n), który zawiera zarówno wyrazy dodatnie, jak i ujemne, w którym a1=2, oraz drugi, czwarty i pi ˛aty wyraz s ˛a kolejnymi wyrazami ci ˛a-gu arytmetycznego. Wyka ˙z, ˙ze suma sze´scianów wszystkich wyrazów ci ˛a˛a-gu(a_n)jest równa sumie kwadratów wszystkich wyrazów tego ci ˛agu.

Z

14

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniaj ˛ace równanie cos x+sin 3x=sin x+cos 3x.

Z

15

Wyka ˙z, ˙ze dla dowolnej liczby rzeczywistej x spełniona jest nierówno´s´c 1

4x4+ 1

3x3>3x2−16.

Z

16

W kul˛e o promieniu długo´sci R wpisano sto ˙zek o maksymalnej obj˛eto´sci. Oblicz obj˛eto´s´c tego sto ˙zka.