M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

ZADANIA

.

POZIOM PODSTAWOWY

4KWIETNIA2020

Zadania zamkni˛ete

Z

1

Liczba log√

2 

log_0,5(sin 135◦)jest równa

A) 1₂ B)−2 C) 2 D)−1₂

Z

2

Liczba naturalna n=158·163w zapisie dziesi˛etnym ma

A) 14 cyfr B) 15 cyfr C) 11 cyfr D) 8 cyfr

Z

3

Liczba 8116:√33

9− 13·2713 jest równa

A) 323 B) 30 C) 3−13 D) 3−1

Z

4

W trakcie testów drogowych samochód numer 1 poruszał si˛e ze stał ˛a pr˛edko´sci ˛a v1 i poko-nał tras˛e o 20% dłu ˙zsz ˛a, ni ˙z samochód nr 2, który poruszał si˛e ze stał ˛a pr˛edko´sci ˛a v2. Czas w jakim samochód nr 2 pokonał swoj ˛a tras˛e był o 25% krótszy, ni ˙z czas w jakim swoj ˛a tras˛e pokonał samochód nr 1. Stosunek pr˛edko´sci v1

v2 jest równy

A) 1 B) ₁₀9 C) 24₂₅ D) 4₅

Z

5

Para liczb x_{= −}2 i y _{= −}1 jest rozwi ˛azaniem układu równa ´n(3x−a2y = −2 ax+3y=1, dla

A) a= 2₃ B) a =2 C) a= −2₃ D) a = −2

Z

6

Równanie (x−1)(_xx+₊2₃)(x−3) =0

A) ma trzy ró ˙zne rozwi ˛azania: x = −1, x =2, x = −3. B) ma trzy ró ˙zne rozwi ˛azania: x =1, x = −2, x =3.

C) ma dwa ró ˙zne rozwi ˛azania: x= −1, x =2. D) ma dwa ró ˙zne rozwi ˛azania: x =1, x = −2.

Z

7

Do wykresu funkcji liniowej f(x) = −(√5+m)xnie nale ˙zy ˙zaden punkt o obu współrz˛ed-nych dodatnich. Wynika st ˛ad, ˙ze

A) m 6−√5 B) m 6√5 C) m > −√5 D) m >−5√5

Z

8

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli b˛ed ˛acej wykresem funkcji kwadratowej g. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (−3, 2).

-5 -2 +1 x -2 -1 +1 +2 y W -3 +3 -3 -4

Zbiorem warto´sci funkcji g jest przedział

A)(−∞, 2i B) −9₂, 5₂ C)h−3,+∞) D)(−∞, 3i

Z

9

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f s ˛a liczby −5 i 6, a miejscami zerowymi funkcji g(x) = f(x+a)s ˛a liczby 1 i 12. Wynika st ˛ad, ˙ze

A) a= −6 B) a= −5 C) a=5 D) a =6

Z

10

Zbiorem rozwi ˛aza ´n nierówno´sci x(x−2√2) > x−2√2 jest zbiór A)₍₋∞,−2√2) ∪ (1,+∞) B)(1,+∞)

C)(−∞,−1) ∪ (2√2,+∞) D)(−∞, 1) ∪ (2√2,+∞)

Z

11

Wyra ˙zenie(2x+3)(3−2x) − (2−3x)2zapisa´c mo ˙zna w postaci

Z

12

Dany jest niesko ´nczony rosn ˛acy ci ˛ag geometryczny(an)o wyrazach dodatnich. Iloraz q tego ci ˛agu jest jednym z pierwiastków równania kwadratowego x2+x−1 = 0. Zatem warto´s´c wyra ˙zenia a2019 a2021+a2020 jest równa A)−1 B)√5 C) √5−1 2 D) 1

Z

13

Dany jest ci ˛ag arytmetyczny(x+1, 2x+1, 3x+1, 4x+1, 6x+2). Wtedy

A) x =1 B) x =0 C) x=2 D) x= −1

Z

14

Warto´s´c wyra ˙zenia 3 cos2₂₄◦_{+2 cos}2₆₆◦_+sin2₂₄◦_{jest równa}

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Z

15

Punkty B, C i D le ˙z ˛a na okr˛egu o ´srodku S i promieniu r. Punkt A jest punktem wspólnym prostych BC i SD, a odcinki AB i SC s ˛a równej długo´sci. Miara k ˛ata BCS jest równa 42◦

(zobacz rysunek). Wtedy

A

B

D

C

S

r

r

r

r

r

α

Z

16

Dany jest romb o boku długo´sci 4 i polu równym 8. K ˛at rozwarty tego rombu ma miar˛e

Z

17

Proste o równaniach y = x

2m −mi x = (3m−4)y+ms ˛a równoległe, gdy

A) m= 2₃ B) m= −1₄ C) m =4 D) m= −5

Z

18

Boki równoległoboku s ˛a zawarte w prostych o równaniach: x _{= −}5, x = 4, y = x−2,

y =x+3. Pole tego równoległoboku jest równe

A) 45 B) 22, 5√2 C) 45√2 D) 22,5

Z

19

W układzie współrz˛ednych punkt S= (42, 56)jest ´srodkiem odcinka KL, którego jednym z ko ´nców jest punkt K= (6, 8). Zatem

A) L = (84, 112) B) L = (24, 32) C) L= (78, 104) D) L= (90, 120)

Z

20

Dane s ˛a punkty o współrz˛ednych A = (−7, 11)oraz B= (−4, 7). ´Srednica okr˛egu wpisane-go w sze´sciok ˛at foremny o boku AB jest równa

A) 10 B) 5 C) 5√3 D) 5√₂3

Z

21

W grupie 50 kobiet i 50 m˛e ˙zczyzn przeprowadzono ankiet˛e, w której zadano pytanie o liczb˛e ksi ˛a˙zek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poni ˙zszej tabeli.

Liczba ksi ˛a˙zek 0 1 2 3 4 5 Liczba osób 19 21 24 21 7 8

W trakcie analizy tych danych zauwa ˙zono, ˙ze kobiety przeczytały ´srednio o dwie ksi ˛a˙zki wi˛ecej ni ˙z m˛e ˙zczy´zni. ´Srednia liczba przeczytanych ksi ˛a˙zek przez jednego ankietowanego m˛e ˙zczyzn˛e jest równa

A) 1,5 B) 1 C) 2 D) 2,5

Z

22

Pole powierzchni całkowitej pewnego sto ˙zka jest 5 razy wi˛eksze od pola powierzchni pew-nej kuli. Promie ´n tej kuli jest taki sam jak promie ´n podstawy tego sto ˙zka. Tworz ˛aca tego sto ˙zka jest nachylona do podstawy pod k ˛atem α takim, ˙ze

Z

23

Podstaw ˛a ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długo´sci 12. Kraw˛ed´z boczna DS jest pro-stopadła do podstawy i ma długo´s´c 9 (zobacz rysunek).

9

12

A

B

C

D

S

Pole ´sciany BCS tego ostrosłupa jest równe

A) 180 B) 108 C) 54 D) 90

Z

24

Wszystkich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie wyst˛epuj ˛a cyfry: 5, 2, 4, 8, 7, jest

A) 500 B) 625 C) 250 D) 200

Z

25

W grupie 24 osób (m˛e ˙zczyzn i kobiet) jest 3 razy wi˛ecej kobiet ni ˙z m˛e ˙zczyzn. Z grupy tej losujemy 2 osoby. Prawdopodobie ´nstwo wylosowania ka ˙zdej osoby jest takie samo. Praw-dopodobie ´nstwo zdarzenia polegaj ˛acego na tym, ˙ze wylosowano osoby ró ˙znej płci to

Z

26

Wyznacz najwi˛eksz ˛a liczb˛e całkowit ˛a spełniaj ˛ac ˛a nierówno´s´c: 2x(√8₋x) _>√3 16(x

− √

8).

Z

27

Z

28

Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli a>b >3, to ab+6>2b+3a.

Z

29

Do´swiadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczn ˛a sze´scienn ˛a kostk ˛a do gry. Oblicz prawdopodobie ´nstwo zdarzenia polegaj ˛acego na tym, ˙ze otrzymamy sum˛e oczek równ ˛a 17.

Z

30

Wierzchołki A i C trójk ˛ata ABC le ˙z ˛a na okr˛egu o promieniu r, a ´srodek S tego okr˛egu le ˙zy na boku AB trójk ˛ata (zobacz rysunek). Prosta BC jest styczna do tego okr˛egu w punkcie C, a ponadto_|∡ACB_{| =}120◦. Wyka ˙z, ˙ze_|AC_{| =}r√3.

A

S

C

Z

31

Prosta x = 25₃ jest osi ˛a symetrii paraboli b˛ed ˛acej wykresem funkcji kwadratowej y = f(x). Do wykresu tego nale ˙zy punkt o współrz˛ednych ₋52₃, 16
. Wyznacz wszystkie rozwi ˛azania równania f(x) = 16.

Z

32

Ci ˛ag arytmetyczny(a_n)jest okre´slony dla ka ˙zdej liczby naturalnej n > 1. Ró ˙znic ˛a tego ci ˛agu jest liczba r = −3, a ´srednia arytmetyczna pocz ˛atkowych siedmiu wyrazów tego ci ˛agu: a1, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, jest równa

−28.

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ci ˛agu.

Z

33

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójk ˛atny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i kraw˛e-dziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Przez kraw˛ed´z AB poprowadzono płasz-czyzn˛e nachylon ˛a do płaszczyzny podstawy pod k ˛atem 30◦. Płaszczyzna ta przecina

kra-w˛ed´z CF w punkcie P. Oblicz pole trójk ˛ata ABP je ˙zeli obj˛eto´s´c ostrosłupa ABCP jest równa 9√3. A B C D E F P

Z

34