M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

ZADANIA

.

POZIOM ROZSZERZONY

C

: 180

Z

1

Granica jednostronna lim

x→−0,5−

3+24x3

(2x+1)2 jest równa

A)+∞ B) 9 C) 0 D)−∞

Z

2

Liczba 1₋2 sin2₍₋75◦_{)jest równa}

A)−√₂3 B)−1₂ C) 1₂ D) √₂3

Z

3

Suma rozwi ˛aza ´n równania|x2−8| +2x =0 jest równa

A) 0 B)−6 C) 2 D)−4

Z

4

Niesko ´nczony ci ˛ag geometryczny (an) jest okre´slony w nast˛epuj ˛acy sposób: a1 = 2₃ oraz

an+1= 35·an dla n > 1. Suma wszystkich wyrazów tego ci ˛agu jest równa

A) 5₃ B) 10₉ C) ₁₀9 D) 9₅

Z

5

Okr ˛ag(x−27)2+ (y+70)2 =4 jest styczny do prostej

A) y= −x B) y= −6₅x C) 4x+3y=0 D) 12x+5y=0

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z

6

Liczby rzeczywiste x, y spełniaj ˛a warunki: x > 1, y > 1 oraz x3 > _y3+1. Wyka ˙z, ˙ze

praw-dziwa jest równo´s´c 1 log_x(x3+y3) · 1 log_y(x3−y3) = 1 log_y(x3+y3) · 1 log_x(x3−y3) . 3

Rozwa ˙zamy wszystkie liczby naturalne pi˛eciocyfrowe zapisane przy u ˙zyciu cyfr 0, 3, 5, 7, 9, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sum˛e wszystkich takich liczb.

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z

8

Dwa okr˛egi przecinaj ˛a si˛e w punktach M i N. Przez punkt A pierwszego okr˛egu prowadzi-my proste AM i AN, przecinaj ˛ace drugi okr ˛ag w punktach B i C. Udowodnij, ˙ze styczna w punkcie A do pierwszego okr˛egu jest równoległa do prostej BC.

A B C N M 5

Udowodnij, ˙ze dla ka ˙zdej liczby całkowitej k i dla ka ˙zdej liczby całkowitej m liczba k8m2

−

k2m8jest podzielna przez 36.

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z

10

W pudełku znajduj ˛a si˛e 4 kule czarne i 6 kul białych. Rzucamy dwa razy monet ˛a. Je´sli otrzy-mamy 2 reszki, losujemy z pudełka kolejno bez zwracania 2 kule. W pozostałych przypad-kach losujemy trzy kule. Oblicz prawdopodobie ´nstwo, ˙ze w´sród wylosowanych kul jest dokładnie jedna kula czarna.

W równoległoboku boki maj ˛a długo´sci 3 i 7, a jedna z przek ˛atnych ma długo´s´c 6. Oblicz cosinus k ˛ata ostrego pod jakim przecinaj ˛a si˛e przek ˛atne tego równoległoboku.

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z

12

Rozwi ˛a ˙z równanie

sin x+sin 2x+sin 3x=cos x+cos 2x+cos 3x.

Przedłu ˙zenia ramion AD i BC trapezu równoramiennego ABCD przecinaj ˛a si˛e w punkcie S _{= (−}14, 15₎. Wyznacz współrz˛edne wierzchołków B i D tego trapezu, je ˙zeli A _{= (−}8,

−15)i C = (−9, 14).

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z

14

W ostrosłupie prawidłowym czworok ˛atnym ABCDS o podstawie ABCD wysoko´s´c jest rów-na h, a k ˛at mi˛edzy s ˛asiednimi ´sciarów-nami bocznymi ostrosłupa ma miar˛e α. Oblicz obj˛eto´s´c tego ostrosłupa.

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z

15

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których równanie 9x2+ (6m+9)x+m2+3m

−10 =0

ma dwa ró ˙zne ujemne rozwi ˛azania x₁, x2spełniaj ˛ace nierówno´s´c x2₁+x2

2 6 659.

③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA ´N ZMATEMATYKI

Z

16

Z odcinka drutu o długo´sci 4 m wykonano ramk˛e w kształcie rombu z jedn ˛a przek ˛atn ˛a (zobacz rysunek).

Jaka powinna by´c długo´s´c tej przek ˛atnej, aby pole powierzchni tego rombu było najwi˛eksze mo ˙zliwe?