M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

ZADANIA

.

POZIOM ROZSZERZONY

C

: 180

Zadania zamkni˛ete

Z

1

Suma

2022+20, 22+0, 2022+0, 002022+ · · ·

wszystkich wyrazów niesko ´nczonego ci ˛agu geometrycznego liczb rzeczywistych jest równa

A) 202200 B) 67400₃₃ C) 67400 D) 20220₉₉

Z

2

Granica ci ˛agu lim

n_→+∞  2n2₋₁ 2n+1 − n 2 n₊1  jest równa A) 1 B) 2₃ C) 1₃ D) 1₂

Z

3

Liczba x =log₃6+log₉4+log₂₇8 jest równa

A) log₃48 B) log₉48 C) log₃24 D) log₉24

Z

4

Niech A i B b˛ed ˛a takim zdarzeniami losowymi, ˙ze P(B_{) =} 0, 7 i P₍B_\ A_{) =} 0, 3. Wtedy prawdopodobie ´nstwo warunkowe P(A_|B₎jest równe

A) 3₇ B) 4₇ C) 5₇ D) 6₇

Oblicz granice jednostronne funkcji f(x) = √x+3− √

x+7

x w punkcie x =0.

Z

6

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru a, dla których równanie|x−7| = (a+2)2−9 ma dwa ró ˙zne rozwi ˛azania dodatnie.

Na bokach trójk ˛ata zbudowano kwadraty o polach P1, P2i P3(zobacz rysunek)

P

P

P

Z

8

Wykres funkcji y= 5_x przesuni˛eto o wektor→v = [2, k]i otrzymano wykres funkcji y= ax+11 x+d .

Wyznacz a, d i k.

Wyka ˙z, ˙ze sin(x 2+30◦)sin( x 2 −30◦) cos(x 2+30◦)cos( x 2−30◦) = 1−2 cos x 1+2 cos x. 7

Z

10

Funkcja f okre´slona jest wzorem f(x) = x4−8₃x3+ 3₂x2−13x+7 dla ka ˙zdej liczby

rzeczy-wistej x. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które s ˛a równoległe do prostej o równaniu 7x+y+3=0.

Oblicz miar˛e k ˛ata mi˛edzy stycznymi do okr˛egu x2_+y2_{+8x+2y+12 =0 poprowadzonymi}

przez punkt A = (−1, 0).

Trzy ró ˙zne liczby całkowite tworz ˛a ci ˛ag geometryczny o ilorazie b˛ed ˛acym ujemn ˛a liczb ˛a cał-kowit ˛a. Je ˙zeli najmniejsz ˛a z tych liczb zwi˛ekszymy o 16, to liczby te (w tej samej kolejno´sci) s ˛a kolejnymi wyrazami ci ˛agu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

Z pudełka, w którym jest 13 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 13, losujemy bez zwracania 5 kul. Oblicz, jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze w´sród wylosowanych kul jest dokładnie jedna para kul z sum ˛a numerów równ ˛a 14.

Z

14

Podstaw ˛a ostrosłupa ABCDS jest czworok ˛at wypukły ABCD, w którym|AB_{| =}10, _|AD_{| =} 11 oraz cos ∡DAB = 4₅. Ka ˙zda z kraw˛edzi bocznych ostrosłupa ma długo´s´c 6. Oblicz

wyso-ko´s´c ostrosłupa.

Z

15

Wykres funkcji kwadratowej f(x) = (1−m)x2−mx+m2 przecina o´s Ox w punktach A

i B, które le ˙z ˛a po dwóch ró ˙znych stronach osi Oy. Wyznacz t˛e warto´s´c parametru m, dla której iloczyn odległo´sci punktów A i B od pocz ˛atku układu współrz˛ednych jest najmniejszy mo ˙zliwy. Dla wyznaczonej warto´sci m oblicz sum˛e odległo´sci punktów A i B od pocz ˛atku układu współrz˛ednych.