M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

.

POZIOM ROZSZERZONY

C

: 180

Z

1

Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniaj ˛acych nierów-no´s´c|3x+6|69.

1

x

k

A) k= −10 B) k= −5 C) k= −6 D) k= −4

Z

2

Wyra ˙zenie (n+2_n!)!·(_·n!n−2)! dla liczby naturalnej n > 2 jest równe A) n2−4 B)(n2−4)(n2−1) C) n2+3n+2

n2−n D)

n+2 n

Z

3

Która z poni ˙zszych funkcji nie ma minimum lokalnego ani maksimum lokalnego? A) f(x) = |log_0,5x| B) f(x) = π−x C) f(x) = |sin x| D) f(x) = x5+x2

Z

4

Z

5

Ile jest liczb naturalnych pi˛eciocyfrowych, których iloczyn cyfr jest dodatni ˛a liczb ˛a zło ˙zon ˛a?

A) 59029 B) 59028 C) 89980 D) 89979

Z

6

Liczby −7,−1, 5, 11 s ˛a miejscami zerowymi wielomianu czwartego stopnia W(x). Wyka ˙z,

˙ze dla dowolnej liczby rzeczywistej x spełniona jest równo´s´c W(2−x) =W(2+x).

Oblicz pole trójk ˛ata utworzonego przez prost ˛a x−y+6=0, o´s Ox oraz styczn ˛a do wykresu

funkcji f(x) = (x+3)(x+1)(x−2)w punkcie o pierwszej współrz˛ednej x= −2.

Z

8

W półkole o promieniu r wpisano trapez równoramienny o przek ˛atnej długo´sci d. Oblicz długo´s´c krótszej podstawy trapezu.

A

B

C

D

Wyka ˙z, ˙ze dla ka ˙zdej liczby całkowitej n liczba n3_{+5n jest podzielna przez 6.}

Z

10

Grup˛e 12 uczniów, w´sród których jest 6 dziewczynek i 6 chłopców podzielono na 3 rów-noliczne grupy. Oblicz prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze w ka ˙zdej z utworzonych grup b˛edzie tyle samo dziewcz ˛at.

Trzy parami styczne kule o promieniach równych r znajduj ˛a si˛e w walcu w ten sposób, ˙ze ka ˙zda z kul jest styczna do obu podstaw walca, oraz do jego powierzchni bocznej. Oblicz obj˛eto´s´c walca.

Z

12

Rozwi ˛a˙z równanie 3 sin x tg x=2√3 sin x+3 cos x w przedzialeh0, 2πi.

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których równanie x2_{+ (2m}

−1)x+m+m2 =

0 ma dwa ró ˙zne rozwi ˛azania rzeczywiste x1, x2 spełniaj ˛ace warunek: x2₁+x2

2 6 x31+x32+

10m.

Liczby a, b, c maj ˛a t˛e własno´s´c, ˙ze ka ˙zdy z ci ˛agów:(a, b, c₎, ₍a₊1, b₊2, c₊4₎i₍a

−2, b+1,

c

−13)jest ci ˛agiem geometrycznym. Oblicz a, b, c.

Przyprostok ˛atna AB trójk ˛ata prostok ˛atnego ABC jest zawarta w prostej o równaniu 2y+

x+6 =0, a ´srodek jego przeciwprostok ˛atnej BC ma współrz˛edne S= (9, 0). Oblicz współ-rz˛edne wierzchołka C je ˙zeli cos ∡ACB= 3√₁₀10.

Dany jest prostok ˛atny arkusz kartonu o długo´sci 64 cm i szeroko´sci 40 cm. Po dwóch stro-nach tego arkusza wyci˛eto prostok ˛aty, w których stosunek boków jest równy 1:2 (zacienio-wane prostok ˛aty na rysunku).

Nast˛epnie zagi˛eto karton wzdłu ˙z linii przerywanych, tworz ˛ac w ten sposób prostopadło-´scienne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długo´sci boków wyci˛etych prostok ˛atów, dla któ-rych obj˛eto´s´c otrzymanego pudełka jest najwi˛eksza. Oblicz t˛e obj˛eto´s´c.